72与三角形有关的角跟踪联系及解析.docx
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72与三角形有关的角跟踪联系及解析
7.2与三角形有关的角
1.若一个三角形的三个内角不相等，则它的最小角不能大于（）
A.450B.600C.900D.1200
知识点：
三角形内角和定理
知识点的描述：
三角形三个内角的和为1800
答案：
B
详细解答：
一个三角形的三个内角不相等，则它的最小角不能大于600，否则每个角都大于600，那么内角和就大于1800，这是不可能的。
1．一个三角形的三个内角中，至少有（）．
A．一个锐角B．两个锐角C．一个钝角D．一个直角
答案：
B
详细解答：
一个三角形的三个内角中，至少有两个锐角，如果没有两个锐角就必然会是两个直角或两个钝角或是一个直角和一个钝角，那么内角和就大于1800，所以没有两个锐角是不可能的，所以一个三角形的三个内角中，至少有两个锐角。
2．己知△ABC中，∠A＝2∠B＝2∠C，则∠A的度数是（）．
A．90°B．30°C．（
）°D．45°
知识点：
三角形内角和定理
知识点的描述：
三角形三个内角的和为1800
答案：
A
详细解答：
因为∠A＝2∠B＝2∠C，所以设∠B＝∠C＝x°，∠A＝2x°，因为三角形三个内角的和为1800，所以2x°+x°+x°=1800，解得x=45，所以∠A＝90°
2．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝4∶2∶3，则∠A的度数是（）．
A．90°B．80°C．20°D．60°
答案B
详细解答：
因为∠A∶∠B∶∠C＝4∶2∶3，所以设∠A＝4x°，∠B＝2x°∠C＝3x°，因为三角形三个内角的和为1800，所以4x°+2x°+3x°=1800，解得x=20，所以∠A＝80°
3.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是（）
A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形
知识点：
三角形按角分类
知识点的描述：
三角形按角分类可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形三类。
三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角为钝角的三角形是钝角三角形，有一个角为直角的三角形是直角三角形，
答案：
C
详细解答：
假设∠A-∠B=∠C，那么∠A=∠B+∠C，又因为∠A+∠B+∠C=180°，
所以2∠A=180°，从而得∠A=90°，所以这个三角形是直角三角形。
3.在△ABC中,∠A=
∠B=
∠C,则此三角形是（）
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
答案：
B
详细解答：
因为∠A=
∠B=
∠C，所以假设∠A＝x°，则∠B=2x°，∠C=3x°，又因为∠A+∠B+∠C=180°，所以x°+2x°+3x°=1800，解得x=30，所以最大角∠C=90°，所以这个三角形是直角三角形。
4．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则图中互余的角有（）．
A．2对B．3对C．4对D．5对
知识点：
认识“双垂图”
知识点的描述：
“双垂图”是一个重要的图形，从图形中找到互余的角要抓住图形中的直角，一般有：
组成直角的两个锐角互余，直角三角形的两个锐角互余。
答案：
C
详细解答：
Rt△ABC中，∠B和∠C互余；Rt△ABD中，∠B和∠BAD互余；Rt△ADC中，∠C和∠DAC互余；因为∠BAC＝90°，所以∠BAD和∠CAD互余。
共四对。
4．已知，如图，DB、EC交于点A，∠B＝∠E＝90°，∠C＝42°，则求∠D的度数（）．
A．48°B．42°C．84°D．58°
答案：
B
详细解答：
Rt△ADE中，∠D和∠DAE互余;Rt△ABC中，∠C和∠BAC互余；又因为∠DAE=∠BAC，所以∠D＝∠C＝42°.
5.已知，如图，△ABC中，∠A＝54°，∠ABC＝48°，BD⊥AC，则∠DBC的度数（）．
A．48°B．54°
C．36°D．12°
知识点：
三角形内角和定理的应用
知识点的描述：
三角形内角和定理的一个重要应用就是求一个角的度数，一般把这个角放在一个三角形中，作为三角形的内角或外角，利用三角形的内角和定理。
答案：
D
详细解答：
在△ABD中，因为∠ADB＝90°，∠A＝54°，又因为∠A＋∠ABD＋∠ADB＝180°，所以∠ABD＝180°－∠ADB－∠A＝36°，又因为∠ABC＝48°，所以∠DBC＝48°－36°＝12°．
另一种解法：
△ABC中，已知两个内角的大小，根据三角形内角和定理可求出∠C，这样在△BCD中，又知道了∠C和∠CDB的大小，就可以求出∠DBC的度数．
注：
运用三角形内角定理求一个角必须先搞清楚这个角在哪个三角形中，这个三角形的三个内角中，已知哪些角．
5．如图，在△ABC中，已知AD是△ABC角平分线，DE是△ADC的高线，∠B＝600，∠C＝450，则∠ADE的度数（）．
A．37.5°B．52.5°C．62.5°D．75°
答案：
B
详细解答：
在△ABC中，∠B＝600，∠C＝450，所以∠BAC=180°－∠B－∠C＝180°－600－450=75°,又AD是△ABC角平分线，所以∠DAE=
×75°=37.5°,在△ADE中,∠AED=900，所以∠ADE=180°－900-∠DAE=180°－900-37.5°=52.5°
6．如图，已知∠DBA和∠ACE是△ABC的外角，则∠DBA＋∠ACE等于（）．
A．180°B．180°－∠AC．180°＋∠AD．以上答案都不对
知识点：
三角形的外角性质
知识点的描述：
三角形的外角等于和他不相邻的两个内角的和
答案：
C
详细解答：
∠DBA是△ABC的外角，则∠DBA=∠A+∠ACB;∠ACE是△ABC的外角，则∠ACE=∠A+∠ABC;则∠DBA＋∠ACE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°＋∠A
6.如图所示,在△ABC中,E,F分别在AB,AC上,则下列各式不能成立的是（）
A.∠BOC=∠2+∠6+∠A;B.∠2=∠5-∠A;C.∠5=∠1+∠4;D.∠1=∠ABC+∠4
答案：
C
详细解答：
A.∠BOC=∠2+∠BEC=∠2+∠6+∠A;B.∠5=∠2+∠A,所以∠2=∠5-∠A;
D.∠1是△BEC的外角，当然有∠1=∠ABC+∠4；只有C.∠5=∠1+∠4不能成立
7.如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，E在CA的延长线上，F在AB上，∠1与∠2的大小（）.
A.∠1＞∠2B.∠1=∠2C.∠1＜∠2D.不确定
知识点：
三角形的外角的性质
知识点的描述：
三角形的外角大于任何一个和他不相邻的内角
答案：
C
详细解答：
因为∠2是△ABC的外角，所以∠2＞∠BAC;
因为∠BAC是△AFE的外角，所以∠BAC＞∠1
所以∠1＜∠2
7．如图，P是△ABC内一点，判断∠BPC和∠A的大小关系是（）．
A.∠BPC＞∠AB.∠BPC=∠AC.∠BPC＜∠AD.不确定
答案：
A
详细解答：
延长BP交AC于D
因为∠BPC是△PDC的外角，所以∠BPC＞∠PDC;
因为∠PDC是△ABD的外角，所以∠PDC＞∠A
所以∠BPC＞∠A
8.已知三角形的三个外角的度数比为2:
3:
4,则它的最大内角的度数为（）
A.90°B.110°C.100°D.120°
知识点：
三角形的外角与相邻内角的关系
知识点的描述：
三角形的外角和与他相邻的内角互补
答案：
C
详细解答：
三角形的三个外角的度数比为2:
3:
4,所以可以假设三角形的三个外角度数分别为2k、3k、4k，因为三角形的外角和为3600，所以2k+3k+4k=3600，解得k=40°，因此三角形的最小外角为80°，则它的最大内角的度数为100°。
8．三角形一个外角等于和它相邻的内角的4倍，等于和它不相邻的一个内角的2倍，则这个三角形各角的度数是（）．
A．45°、45°、90°B．30°、60°、90°
C．36°、72°、72°D．25°、25°、130°
答案：
C
详细解答：
如图，不妨设∠DAB=4∠BAC=2∠B，若∠BAC=x°，则∠DAB=4x°，x°+4x°=180°，解得x°=36°，所以三角形的三个角为36°、72°、72°。
9.已知：
如图，∠A＝25°，∠CED＝95°，∠D＝40°，求∠B的度数（）．
A.20°B.160°C.120°D.65°
知识点：
求角度的问题、三角形的外角性质与内角和定理的综合
知识点的描述：
求一个角的度数往往是把这个角作为一个三角形的内角或作为一个三角形的外角，利用三角形的内角和定理和三角形的内外角的关系来求；三角形的外角等于和他不相邻的两个内角的和，三角形的内角和为180°。
答案：
A
分析：
∠ACB既是△ABC的内角，又是△CDE的外角，根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，可求出∠ACB，再根据三角形内角和定理可求出∠B．
详细解答：
在△CED中，因为∠ACB＝∠CED＋∠D，又因为∠CED＝95°，∠D＝40°，
所以∠ACB＝95°＋40°＝135°，
在△ABC中，因为∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
又因为∠A＝25°，∠ACB＝135°，
所以∠B＝180－（25°＋135°）＝20°
点评：
∠ACB既是△ABC的内角，又是△CDE的外角，通过它，我们能把这两个三角形中的一些角联系起来，同样，∠DCE既是△CDE的内角，又是△ABC的外角，也能联系两个三角形中的一些角．我们在分析角的数量关系，应从不同的角度分析图中各角所处的位置，然后选择适当的关系式加以运用．
9.一个零件的形状如图所示，按规定，∠BAC=900,∠B=210,∠C=200,检验工人量得∠BDC=1300,就断定这个零件不合格，请你运用所学知识说明是否合格.
A．合格B.不合格
答案：
B
点拨：
把实际问题转化为三角形的知识来解，关键是通过转化建立起数学模型.
详细解答：
依据三角形内角和定理的推论，连结AD并延长到点E，则∠CDE=∠C+∠1,∠BDE=∠B+∠2,∴∠CDE+∠BDE=∠C+∠1+∠B+∠2,即∠CDB=∠C+∠B+∠CAB.若零件合格，则有∠BDC=900+200+210=1310,而量得∠CDB=1300,∴零件不合格.
10.如图所示,在△ABC中（∠C>∠B）,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC,∠EAD、∠C、∠B的关系是（）
A.∠EAD=
（∠C+∠B）B.∠EAD=
（∠C-∠B）
C.∠EAD=∠C-∠BD.∠EAD=∠C+∠B
知识点：
应用三角形的内外角定理探求几个角之间的关系
知识点的描述：
探求几个角之间的关系，可先通过特殊值猜测几个角之间的关系，再应用三角形的内外角定理探求并证明这种关系
答案：
B
详细解答：
∵AD⊥BC,
∴∠BDA=90°,
∴∠BAD=90°-∠B,
又∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=
∠BAC=
（180°-∠B-∠C）,
∴∠EAD=∠BAD-∠BAE
=90°-∠B-
（180°-∠B-∠C）
=90°-∠B-90°+
∠B+
∠C
=
∠C-
∠B
=
（∠C-∠B）.
10．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的内角平分线，CE是∠ACB的外角平分线，BE、CE交于E点，试探究∠E与∠A的大小关系．（）
A.∠E=180°-∠AB.∠E==90°-
∠A
C.∠E=90°-∠AD.∠E＝
∠A
答案：
D
证明：
∵∠ACD＝∠A＋∠ABC，CE平分∠ACD
∴∠ECD＝
∠ACD＝
（∠A＋∠ABC）（角平分线的定义），
∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝
∠ABC（角平分线的定义）
∵∠ECD是△BCE的外角，∴∠E＝∠ECD－∠EBC＝
（∠A＋∠ABC）-
∠ABC=
∠A
11.已知：
如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的外角平分线，若∠DAC＝20°，则∠EAC等于（）
A.70°B.60°C.50°D.40°
知识点：
综合利用角平分线、平角、三角形的内外角定理解决有关的几何计算、论证、探求问题
知识点的描述：
只要正确理解有关的概念，正确的用几何语言描述这些概念，综合起来就可以得到题目的结论，如，AD是△ABC的角平分线，则∠DAC＝
∠BAC；AE是△ABC的外角平分线，则∠EAC＝
∠FAC.
答案：
A
分析：
∠FAC是△ABC的外角，∠FAC和∠BAC是邻补角，AE、AD分别是这两个角的角平分线，所以有AD⊥AE，已知∠DAC的度数，就容易求出∠EAC的度数了．
解：
因为∠BAF是平角，所以∠BAC＋∠FAC＝180°，
因为AD是平分∠BAC，AE是平分∠FAC，
所以∠DAC＝
∠BAC，∠EAC＝
∠FAC，
所以∠DAC＋∠EAC＝
∠BAC+
∠FAC=
×180°=90°，
又因为∠DAC＝20°，所以∠EAC＝70°．
点评：
三角形的外角和它相邻的内角是邻补角，这两个角的和是180°．
11.如图所示,将△ABC沿EF折叠,使点C落到点C′处,试探求∠1,∠2与∠C的关系（）
A.∠1-∠2=∠CB.∠1+∠2=∠C
C.∠1-∠2=2∠CD.∠1+∠2=2∠C
答案：
D
解:
∵∠1=180°-2∠CEF,∠2=180°-2∠CFE,
∴∠1+∠2=360°-2（∠CEF+∠CFE）
=360°-2（180°-∠C）
=360°-360°+2∠C
=2∠C.
12.如图所示,在△ABC中,∠A=70°,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,则∠BOC的度数（）.
A.115°B.135°C.125°D.110°
知识点：
综合利用角平分线、平角、三角形的内外角定理解决有关的几何计算、论证、探求问题
知识点的描述：
只要正确理解有关的概念，正确的用几何语言描述这些概念，综合起来就可以得到题目的结论.
答案：
C
详细解答：
在△ABC中,∠A=70°，所以∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°
已知BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,所以∠OBC+∠OCB=
（∠ABC+∠ACB）=
×110°=55°
在△OBC中,∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-55°=125°
12．如图，已知△ABC的∠B和∠C的外角平分线相交于D，∠A＝40°．则∠BDC的度数（）．
A.70°B.80°C.90°D.100°
答案：
A
详细解答：
∵∠ECB=∠A+∠CBA，∠FBC=∠A+∠ACB，
∴∠ECB+∠FBC=∠A+∠CBA+∠A+∠ACB
=∠A+（∠CBA+∠A+∠ACB）
=∠A+180°=40°+180°=220°
∵BD、CD分别平分∠FBC和∠ECB,
∴∠DBC+∠DCB=
（∠ECB+∠FBC）=
×220°=110°，
在△DBC中,∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-110°=70°
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