实际问题与一元二次方程练习一 学年人教版数学九年级上册.docx

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实际问题与一元二次方程练习一学年人教版数学九年级上册

21.3实际问题与一元二次方程练习

（一）

1．如图，某居民小区改造，计划在居民小区的一块长50米，宽20米的矩形空地内修建两块相同的矩形绿地，使得两块矩形绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，且两块矩形绿地的面积之和为原矩形空地面积的

，求人行通道的宽度是多少米？

2．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．

（1）若销售单价降低5元，那么平均每天销售数量为多少件？

（2）若该商店每天销售利润为1200元，问每件商品可降价多少元？

3．用54m长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为am的墙，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是1m，设与墙垂直的一边长为xm．

（1）当a＝41时，矩形菜园面积是320m2，求x；

（2）当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到400m2？

（3）若矩形菜园的面积是320m2，x的值只能取一个，试写出a的取值范围．

4．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．

（1）若参加聚会的人数为6，则共握手　　次，若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手　　次；

（2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数；

（3）小明由握手问题想到了一个数学问题：

若线段AB上共有m个点（不含端点A、B），线段总数为多少呢？

请直接写出结论．

5．安庆某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台．

（1）若该商场某天降价了5元，则当天可售出　　台，当天共盈利　　元．

（2）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？

（3）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？

如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由．

6．某小家电经销商销售一种成本为每个50元的台灯，当每个台灯的售价定为80元时，每周可卖出600个，为了尽可能让利于顾客，经销商决定降价销售．经市场调查发现，这种台灯每周的销量每增加100个，该台灯的售价相应降低2元．如果该经销商每周要获得利润22000元，那么这种台灯的售价应为多少元？

7．据统计，某市2018年某种品牌汽车的年产量为64万辆，到2020年，该品牌汽车的年产量达到100万辆．若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2018年开始五年内保持不变．

（1）求年平均增长率；

（2）求该品牌汽车2021年的年产量为多少万辆？

8．学校有一块长14米，宽10米的矩形空地，准备将其规划，设计图案如图，阴影应为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区为路面，且四周出口一样宽广且宽度不小于2米，不大于5米，路面造价为每平方米200元，绿化区为每平方米150元，设绿化区的长边长为x米．

（1）用x表示绿化区短边的长为　　米，x的取值范围为　　．

（2）学校计划投资25000元用于此项工程建设，求绿化区的长边长．

9．随着新冠病毒在全世界蔓延，口罩成为紧缺物资，甲、乙两家工厂积极响应政府号召，准备跨界投资生产口罩．根据市场调查，甲、乙两家工厂计划每天各生产6万片口罩，但由于转型条件不同，其生产的成本不一样，甲工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.6万元，乙工厂计划每生产1万片口罩的成本为0.8万元．

（1）按照计划，甲、乙两家工厂共生产2000万片口罩，且甲工厂生产口罩的总成本不高于乙工厂生产口罩的总成本的

，求甲工厂最多可生产多少万片的口罩？

（2）实际生产时，甲工厂完全按计划执行，但乙工厂的生产情况发生了一些变化．乙工厂实际每天比计划少生产0.5m万片口罩，每生产1万片口罩的成本比计划多0.2m万元，最终乙工厂实际每天生产口罩的成本比计划多1.6万元，求m的值．

10．2020年我县加大玫瑰产业的宣传，平阴玫瑰香飘世界，某商店在2019年至2021年期间销售一种玫瑰礼盒．2019年，该商店用3500元购进了这种礼盒且全部售完；2021年，这种礼盒的进价比2019年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2019年相同数量的礼盒也全部售完．礼盒的售价均为60元/盒．

（1）2019年这种礼盒的进价是多少元/盒？

（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，求19﹣21年增长率是多少？

11．某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．

（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？

（2）在

（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？

（3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？

若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．

12．某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每天可卖出300件．市场调查反映：

价格每降价1元，每天可多卖20件；每上涨1元，每天要少卖10件．

（1）设每件降价a（元），则每天售出的商品的利润W（元）为　　；（用含a的代数式表示）

（2）每件涨价多少元时，每天售出的商品的利润为2250元．

13．某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．

（1）求该商品平均每月的价格增长率；

（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：

售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．

14．2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元．

（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？

（2）市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？

15．阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，售价每件每降低10元，月销售件数增加20件．

（1）已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元；

（2）小红发现在附近线下超市也有该农产品销售，并且标价为每件300元，买五送一，在

（1）的条件下，小红想要用最优惠的价格购买38件该农产品，应选择在线上购买还是线下超市购买？

16．某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．

（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？

（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加

a%．求a的值．

17．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．

（1）求出m的值；

（2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．

①分别求出他们三人号召的成功率；

②求出n的值．

18．某商店将进价为10元的某种商品以14元售出，平均每天能售出220件．调查发现，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少20件．该商店计划通过提高商品售价减少销售量的办法增加利润．

（1）若物价部门规定此种商品的每件利润不能超过进价的80%，且商店想要获得平均每天1080元的利润，则这种商品的售价应定为多少？

（2）该商店平均每天盈利能否为1200元？

19．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料．

（1）当AB长度是多少时，矩形花园的面积为150m2；

（2）能否围成矩形花园面积为220m2，为什么？

20．有一条长40m的篱笆如何围成一个面积为75m2的矩形场地？

能围成一个面积为101m2的矩形场地吗？

如能，说明围法；如不能，说明理由．

参考答案

1．【解答】解：

设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为（50﹣3x）米、宽为（20﹣2x）米的矩形，

根据题意得：

（50﹣3x）（20﹣2x）＝

×50×20，

整理得：

x1＝25（舍去），x2＝

，

∴x＝

．

答：

人行通道的宽度是

米．

2．【解答】解：

（1）20+2×5＝30（件）．

答：

平均每天销售数量为30件．

（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天销售数量为（20+2x）件，

依题意得：

（40﹣x）（20+2x）＝1200，

整理得：

x2﹣30x+200＝0，

解得：

x1＝10，x2＝20．

当x＝10时，40﹣x＝30（元），30＞25，符合题意；

当x＝20时，40﹣x＝20（元），20＜25，不符合题意，舍去．

答：

每件商品可降价10元．

3．【解答】解：

设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（54﹣2x+2）m．

（1）依题意得：

x（54﹣2x+2）＝320，

整理得：

x2﹣28x+160＝0，

解得：

x1＝8，x2＝20．

当x＝8时，56﹣2x＝40＜41，符合题意；

当x＝20时，56﹣2x＝16＜41，符合题意．

答：

x的值为8或20．

（2）令x（54﹣2x+2）＝400①，

整理得：

x2﹣28x+200＝0．

∵Δ＝（﹣28）2﹣4×1×200＝﹣16＜0，

∴方程①无实数根，

∴矩形菜园的面积不能达到400m2．

（3）令x（54﹣2x+2）＝320，

整理得：

x2﹣28x+160＝0，

解得：

x1＝8，x2＝20．

当x＝8时，56﹣2x＝40；

当x＝20时，56﹣2x＝16．

∵x的值只能取一个，

∴16≤a＜40．

4．【解答】解：

（1）若参加聚会的人数为6，共握手

×6×5＝15（次），

若参加聚会的人数为n（n为正整数），共握手

n（n﹣1）（次）．

故答案为：

15；

n（n﹣1）．

（2）依题意得：

n（n﹣1）＝36，

整理得：

n2﹣n﹣72＝0，

解得：

n1＝9，n2＝﹣8（不合题意，舍去）．

答：

参加聚会的人数为9人．

（3）∵线段AB上共有（m+2）（包含端点A、B）个点，

∴线段总数为

（m+2）（m+1）（条）．

5．【解答】解：

（1）30+2×5＝30+10＝40（台），

（50﹣5）×40＝45×40＝1800（元）．

故答案为：

40；1800．

（2）设每台空气加湿器应降价x元，则每台盈利（50﹣x）元，每天可以售出（30+2x）台，

依题意得：

（50﹣x）（30+2x）＝2100，

整理得：

x2﹣35x+300＝0，

解得：

x1＝15，x2＝20．

∵尽快减少库存，

∴x的值应为20．

答：

每台空气加湿器应降价20元．

（3）不能，理由如下：

设每台空气加湿器应降价y元，则每台盈利（50﹣y）元，每天可以售出（30+2y）台，

依题意得：

（50﹣y）（30+2y）＝2500，

整理得：

y2﹣35y+500＝0．

∵Δ＝（﹣35）2﹣4×1×500＝1225﹣2000＝﹣775＜0，

∴该方程无实数根，

∴商场平均每天盈利不能达到2500元．

6．【解答】解：

设每个台灯降x元，根据题意得，

＝22000，

整理这个方程得，x2﹣18x+80＝0，

解得x＝10，x＝8，

∵尽可能让利于顾客，

∴x＝8舍去，

∴定价为70元．

答：

这种台灯的售价应为70元．

7．【解答】解：

（1）设年平均增长率为x，

依题意，得：

64（1+x）2＝100，

解得：

x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．

答：

年平均增长率为25%．

（2）100×（1+25%）＝125（万辆）．

答：

该品牌汽车2021年的年产量为125万辆．

8．【解答】解：

（1）路面宽为（14﹣2x）米，则绿化区短边的长为[10﹣（14﹣2x）]÷2＝（x﹣2）米，

依题意得2≤14﹣2x≤5，

解得

≤x≤6；

（2）设绿化区的长边长为x米．

由题意列方程得150×4x（x﹣2）+200[14×10﹣4x（x﹣2）]＝25000，

整理得x2﹣2x﹣15＝0，

解得x1＝5，x2＝﹣3（不合题意，舍去）．

答：

绿化区的长边长为5米．

故答案为：

（x﹣2），

≤x≤6．

9．【解答】解：

（1）设甲工厂生产x万片口罩，则乙工厂生产（2000﹣x）万片口罩，由题意得：

0.6x≤0.8（2000﹣x）×

，

解得：

x≤1000．

答：

甲工厂最多可生产1000万片的口罩．

（2）由题意得：

（6﹣0.5m）（0.8+0.2m）＝6×0.8+1.6，

整理得：

m2﹣8m+16＝0．

解得：

m1＝m2＝4．

答：

m的值为4．

10．【解答】解：

（1）设2019年这种礼盒的进价为x元/盒，则2021年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，

依题意得：

＝

，

解得：

x＝35，

经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意．

答：

2019年这种礼盒的进价是35元/盒．

（2）2019年所获利润为（3500÷35）×（60﹣35）＝100×25＝2500（元）．

2021年所获利润为100×（60﹣24）＝3600（元）．

设该商店每年销售礼盒所获利润的年增长率为m，

依题意得：

2500（1+m）2＝3600，

解得：

m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：

该商店每年销售礼盒所获利润的年增长率是20%．

11．【解答】解：

（1）设每个背包的售价为x元，则月均销量为（280﹣

×20）个，

依题意，得：

280﹣

×20≥130，

解得：

x≤55．

答：

每个背包售价应不高于55元．

（2）依题意，得：

（x﹣30）（280﹣

×20）＝3120，

整理，得：

x2﹣98x+2352＝0，

解得：

x1＝42，x2＝56（不合题意，舍去）．

答：

当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元．

（3）依题意，得：

（x﹣30）（280﹣

×20）＝3700，

整理，得：

x2﹣98x+2410＝0．

∵△＝（﹣98）2﹣4×1×2410＝﹣36＜0，

∴该方程无解，

∴这种书包的销售利润不能达到3700元．

12．【解答】解：

（1）设每件降价a元，则每件的利润为（60﹣40﹣a）元，每天的销售量为（300+20a）件，

∴每天售出的商品的利润W＝（60﹣40﹣a）（300+20a）＝（﹣20a2+100a+6000）元．

故答案为：

﹣20a2+100a+6000．

（2）设每件涨价x元，则每件的利润为（60﹣40+x）元，每天的销售量为（300﹣10x）件，

依题意，得：

（60﹣40+x）（300﹣10x）＝2250，

整理，得：

x2﹣10x﹣375＝0，

解得：

x1＝25，x2＝﹣15（不合题意，舍去）．

答：

每件涨价25元时，每天售出的商品的利润为2250元．

13．【解答】解：

（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，

依题意，得：

50（1+m）2＝72，

解得：

m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：

该商品平均每月的价格增长率为20%．

（2）依题意，得：

（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，

整理，得：

x2﹣300x+14400＝0，

解得：

x1＝60，x2＝240．

∵商家需尽快将这批商品售出，

∴x＝60．

答：

x为60元时商品每天的利润可达到4000元．

14．【解答】解：

（1）设月平均增长率为x，

依题意，得：

1440（1+x）2＝2250，

解得：

x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．

答：

月平均增长率是25%．

（2）设售价应降低y元，则每天可售出200+

＝（200+50y）千克，

依题意，得：

（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750，

整理，得：

y2﹣4y+3＝0，

解得：

y1＝1，y2＝3．

∵要尽量减少库存，

∴y＝3．

答：

售价应降低3元．

15．【解答】解：

（1）当售价为300元时月利润为（300﹣200）×100＝10000（元）．

设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣200）元，月销售量为100+

＝（700﹣2x）件，

依题意，得：

（x﹣200）（700﹣2x）＝10000，

整理，得：

x2﹣550x+75000＝0，

解得：

x1＝250，x2＝300（舍去）．

答：

售价应定为250元．

（2）线上购买所需费用为250×38＝9500（元）；

∵线下购买，买五送一，

∴线下超市购买只需付32件的费用，

∴线下购买所需费用为300×32＝9600（元）．

9500＜9600．

答：

选择在线上购买更优惠．

16．【解答】解：

（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，

依题意得：

x+100+x＝500，

解得：

x＝200，

∴x+100＝300．

答：

A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元．

（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，

依题意得：

300（1+a%）t+200（1+3a%）（1﹣a%）t＝500t（1+

a%），

设a%＝m，则原方程可化简为5m2﹣m＝0，

解得：

m1＝

，m2＝0（不合题意，舍去），

∴a＝20．

答：

a的值为20．

17．【解答】解：

（1）根据题意，得

m（m+1）+m+1＝121，

即（m+1）2＝121，

∴m+1＝±11，

∴m1＝10，m2＝﹣12（舍去），

答：

m的值为10；

（2）①根据题意，得

小颖号召了n人．小丽号召了（n+2）人，小红号召了[17﹣（n+2）﹣n]＝（15﹣2n）人，

所以小颖的成功率为

，小红的成功率为

，小丽的成功率为

，

因为小红的成功率比小颖的两倍少10%，

所以2×

﹣10%＝

，

解得n＝4；

所以小颖的成功率为

×100%＝40%，

小红的成功率为

＝

×100%＝70%，

小丽的成功率为

＝

×100%＝60%；

答：

小颖的成功率为40%，小红的成功率为70%，小丽的成功率为60%；

②答：

n的值为4．

18．【解答】解：

（1）设这种商品的售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣10）元，日销售量为220﹣20（x﹣14）＝（500﹣20x）件，

依题意得：

（x﹣10）（500﹣20x）＝1080，

整理得：

x2﹣35x+304＝0，

解得：

x1＝16，x2＝19．

∵10×（1+80%）＝18（元），16＜18＜19，

∴x＝16．

答：

这种商品的售价应定为16元．

（2）设这种商品的售价应定为y元，则每件的销售利润为（y﹣10）元，日销售量为220﹣20（y﹣14）＝（500﹣20y）件，

依题意得：

（y﹣10）（500﹣20y）＝1200，

整理得：

y2﹣35y+310＝0．

∵Δ＝（﹣35）2﹣4×1×310＝﹣15＜0，

∴该方程无实数根，

∴该商店平均每天盈利不能为1200元．

19．【解答】解：

（1）设AB＝xm，则BC＝（40﹣2x）m，

依题意得：

x（40﹣2x）＝150，

整理得：

x2﹣20x+75＝0，

解得：

x1＝5，x2＝15．

当x＝5时，40﹣2x＝30＞25，不合题意，舍去；

当x＝15时，40﹣2x＝10＜25，符合题意．

答：

当AB长度是15m时，矩形花园的面积为150m2．

（2）不能，理由如下：

设AB＝ym，则BC＝（40﹣2y）m，

依题意得：

y（40﹣2y）＝220，

整理得：

y2﹣20y+110＝0．

∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×110＝﹣40＜0，

∴该方程无实数根，

∴不能围成面积为220m2的矩形花园．

20．【解答】解：

设围成的矩形场地一边长为xm，则相邻的另一边长为（20﹣x）m，

依题意得：

x（20﹣x）＝75，

整理得：

x2﹣20x+75＝0，

解得：

x1＝5，x2＝15，

当x＝5时，20﹣x＝15；

当x＝15时，20﹣x＝5．

∴能围成一个面积为75m2的矩形场地，矩形场地相邻的两边长度分别为15m和5m．

不能围成一个面积为101m2的矩形场地，理由如下：

设围成的矩形场地一边长为ym，则相邻的另一边长为（20﹣y）m，

依题意得：

y（20﹣y）＝101，

整理得：

y2﹣20y+101＝0，

∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×101＝﹣4＜0，

∴不能围成一个面积为101m2的矩形场地．