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高二数学期末复习专题——解三角形
复习要点
1.正弦定理:
a
sinA
=b
sinB
=c
sinC
=2R或变形：
a:
b:
c=sinA:
sinB:
sinC.
⎧a2=b2+c2-2bccosA
⎧
⎪cosA=
b2+c2-a2
2bc
2.余弦定理：
⎪222或⎪a2
+
c2
-b2.
⎨b=a+c-2accosB⎨cosB=
⎩
⎪c2=b2+a2-2bacosC
3．
（1）两类正弦定理解三角形的问题：
⎪
⎪
⎪cosC=
⎩
2ac
b2+a2-c2
2ab
1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
（2）两类余弦定理解三角形的问题：
1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
4.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形。
5.解题中利用∆ABC中A+B+C=，以及由此推得的一些基本关系式进行三
角变换的运算，如：
sin（A+B）=sinC,cos（A+B）=-cosC,tan（A+B）=-tanC,
sinA+B=cosC,cosA+B=sinC,tanA+B=cotC.
222222
一．正、余弦定理的直接应用：
1、ΔABC中,a=1,b=,∠A=30°,则∠B等于（）
A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°
2、在ΔABC中，角A,B,C对应的边分别是a,b,c，若sinA=1,sinB=，
22
求a:
b:
c
3、在ΔABC中，若SΔABC=
1
4
（a2+b2－c2）,那么角∠C=.
4.若△ABC的周长等于20，面积是103，A＝60°，则BC边的长是（）
A．5B．6C．7D．8
π1
5.
在△ABC中，C－A＝2，sinB＝3.
（1）求sinA的值；
（2）设AC＝6，求△ABC的面积．
6.在△ABC中，若（a+b+c）（a-b+c）=3ac，且tanA+tanC=3+，AB边上的高为4，求角A,B,C的大小与边a,b,c的长
二．判断三角形的形状
7、在锐角三角形ABC中，有（）A．cosA>sinB且cosB>sinAB．cosAsinB且cosBsinA
8、若（a+b+c）（b+c－a）=3bc,且sinA=2sinBcosC,那么ΔABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
9、钝角ΔABC的三边长分别为x,x+1,x+2，其最大角不超过120°则实数x的取值范围是：
10.已知a、b、c分别是∆ABC的三个内角A、B、C所对的边
（1）若∆ABC面积S
∆ABC
=3,c=2,A=60︒,求a、b的值；2
（2）若a=ccosB，且b=csinA，试判断∆ABC的形状．
三．测量问题
11.在200m高的ft顶上，测得ft下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为（）
400
A.3mB.3mC.3mD.
200
3m
12.测量一棵树的高度，在地面上选取给与树底共线的A、B两点，从A、B
两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且AB=60米，则树的高度为多少米？
13.
如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于（）
A.B．5C．6D．7
14.一缉私艇发现在北偏东45方向,距离12mile的海面上有一
走私船正以10mile/h的速度沿东偏南15方向逃窜.缉私艇的速度为14mile/h,
若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东45+的方向去追,求追及所需的时间和角的正弦值.
B
A
15.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向上8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km.
（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，
不考虑其他因素，求出这条公路的长；
（2）求景点C和景点D之间的距离．
四．正、余弦定理与三角函数，向量的综合应用
16、设A、B、C为三角形的三内角,且方程（sinB－sinA）x2+（sinA－sinC）x
+（sinC－sinB）=0有等根，那么三边a,b,c的关系是
17.在Rt△ABC中，C=900，则sinAsinB的最大值是。
18.在△ABC中，∠C是钝角，设x=sinC,y=sinA+sinB,z=cosA+cosB,则
x,y,z的大小关系是。
19.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，
cosB=3．
4
（Ⅰ）求1+1的值；（Ⅱ）设BA⋅BC=3,求a+c的值。
tanAtanC2
20（2010浙江文数）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为
△ABC的面积，满足S=
（Ⅰ）求角C的大小；
（a2+b2-c2）。
4
（Ⅱ）求sinA+sinB的最大值。
21、（2010安徽理数）设∆ABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角A,B,C所对
边长，并且sin2A=+-B）+sin2B。
（Ⅰ）求角A的值；
33
（Ⅱ）若AB⋅AC=12,a=2，求b,c（其中b
22．在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量
B
m＝（2sin（A＋C），3），n＝（cos2B,2cos22－1），且向量m、n共线．
（1）求角B的大小；
（2）如果b＝1，求△ABC的面积S△ABC的最大值．
高二数学解三角形复习专题答案
1．B2。
1:
:
2或1:
:
13。
45°4。
C
πππ
5解：
（1）由C－A＝2和A＋B＋C＝π，得2A＝2－B,013
故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝3，sinA＝3.
6BCACsinA
（2）由
（1）得cosA＝3.又由正弦定理，得sinA＝sinB，BC＝sinB·AC＝32.
πππ
∵C－A＝2，∴C＝2＋A，sinC＝sin（2＋A）＝cosA，
111
∴S△
ABC＝2AC·BC·sinC＝2AC·BC·cosA＝2×
6×32×3＝32.
6解：
（a+b+c）（a-b+c）=3ac,a2+c2-b2=ac,cosB=1,B=600
2
tan（A+C）=tanA+tanC,-=3+3,所以有tanAtanC=2+，联
1-tanAtanC1-tanAtanC
⎨
立tanA+tanC=3+得，⎪tanA=2+3或⎪⎨tanA=1，即
⎩tanC=1⎩tanC=2+
⎪A=750或⎪A=450
⎨0⎨0
⎩C=45⎩C=75
当A=750,C=450时，b=43
sinA
=4（3-
c=8（-1）,a=8
当A=450,C=750时，b=43
sinA
=46,c=4（+1）,a=8
∴当A=750,B=600,C=450时，a=8,b=4（3-c=8（-1）,
当A=450,B=600,C=750时，a=8,b=46,c=4（+1）。
3
7．B8。
D9。
2≤a<3.
10解：
（1）S=1bcsinA=3，∴1b⋅2sin60︒=3，得b=1
∆ABC2222
由余弦定理得：
a2=b2+c2-2bccosA=12+22-2⨯1⨯2⋅cos60︒=3，所以
a=
（2）由余弦定理得：
a=c⋅a2+c2-b2
2ac
⇒a2+b2=c2，所以∠C=90︒。
在Rt∆ABC中，sinA=a，所以b=c⋅a=a。
所以∆ABC是等腰直角三角形；
c
11．A12。
30（1+3）m
c
13。
B
14.解:
设A,C分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过x小时后在B处追上,
则有
AB=14x,BC=10x,∠ACB=120.∴（14x）2=122+（10x）2-240xcos120,
x=2,AB=28,BC=20,sin==.
2814
所以所需时间2小时,sin=53.
14
15.解：
（1）在△ABD中，∠ADB＝30°，AD＝8km，AB＝5km，设DB＝xkm，
则由余弦定理得52＝82＋x2－2×8×x·cos30°，即x2－83x＋39＝0，
解得x＝43±3.∵
4
3＋3>8，舍去，∴x＝43－3，∴这条公路长为（43－3）km.
ABDBDB·sin∠ADB43－3
（2）在△ADB中，sin∠ADB＝sin∠DAB，∴sin∠DAB＝AB＝10，
33＋4
∴cos∠DAB＝10.在△ACD中，∠ADC＝30°＋75°＝105°，
∴sin∠ACD＝sin[180°－（∠DAC＋105°）]＝sin（∠DAC＋105°）
43－32－6
＝sin∠DACcos105°＋cos∠DACsin105°＝10·4＋10·4＝
20.
8CD
ADCD76－243－3
∴在△ACD中，sin∠ACD＝sin∠DAC，∴20＝10，∴CD＝
73km.
16．a+c=2b17。
1
2
19.解：
（Ⅰ）由cosB=3,得sinB=
4
18.x=7,
4
由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC.
于是1+1=cosA+cosC=sinCcosA+cosCsinA=sin（A+C）=sinB=1=47.tanAtanCsinAsinCsinAsinCsin2Bsin2BsinB7
（Ⅱ）由BA⋅BC=3得ca⋅cosB=3,由cosB=3,可得ca=2,即b2=2.
224
由余弦定理b2=a2+c2－2ac+cosB得a2+c2=b2+2ac·cosB=5.
（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9,a+c=3
B
22．解：
（1）∵m∥n，∴2sin（A＋C）（2cos22－1）－3cos2B＝0.
又∵A＋C＝π－B，∴2sinBcosB＝3cos2B，即sin2B＝3cos2B.
π
∴tan2B＝
3，又∵△ABC是锐角三角形，∴0ππ
∴0<2B<π，∴2B＝3，故B＝6.
π
（2）由
（1）知：
B＝6，且b＝1，由余弦定理得
b2＝a2＋c2－2accosB，即a2＋c2－3ac＝1.∴1
＋
1
3ac＝a2＋c2≥2ac，
6＋2
即（2－3）ac≤1，∴ac≤2－3＝2＋3，当且仅当a＝c＝
20．
2时，等号成立．
21．
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