完整版等腰三角形三线合一专题练习1.docx
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完整版等腰三角形三线合一专题练习1
等腰三角形三线合一专题训练1
例1如图，四边形ABCD中，AB//DC,BE、CE分别平分/ABC、/BCD，且点E在AD上。
求证：
BC=AB+DC。
变1如图，AB//CD，/A=90°AB=2,BC=3,CD=1,E是AD边中点。
求证：
CE丄BE。
变2：
如图，四边形ABCD中，AD/BC,E是CD上一点，且AE、BE分别平分/BAD、/ABC.
（1）求证：
AE丄BE;
（2）求证：
E是CD的中点；（3）求证：
AD+BC=AB.
an
变3:
\ABC是等腰直角三角形，/BAC=90,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM丄DN分别交
AB、AC于M、N，求证：
（1）DM=DN。
A
⑵若DM丄DN分别和BA、AC延长线交于M、N。
问DM和DN有何数量关系。
|\/|
⑴已知：
如图，AB=AC,E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF,EF交BC于点D.
求证：
DE=DF.
⑵已知：
如图，AB=AC,E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF
的中点.求证：
BE=CF.
利用面积法证明线段之间的和差关系
1、如图，在△ABC中,AB=ACP为底边BC上的一点，PCLAB于D,PELAC于E,?
CF丄AB于F,那么PD+PE与CF相等吗？
变1若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。
1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9,则它的周长为（）
A17B22C17或22D13
根据等腰三角形的性质寻求规律
11
例1.在△ABC中，AB=AC/仁一/ABC/2=—/ACBBD与CE相交于点0,如图，/B0C勺大小
22
与/A的大小有什么关系？
11
若/1=/ABC/2=/ACB则/BOCWZA大小关系如何？
3
3
11
若/1=/ABC/2=/ACB则/B0C与ZA大小关系如何?
nn
会用等腰三角形的判定和性质计算与证明
例2.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC—腰上的中线BD?
各这个等腰三角形周长分成15和6两部分,
求这个三角形的腰长及底边长.
利用等腰三角形的性质证线段相等
例3.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PAPBPC,?
以BP为边作/PBQ=60，且BQ=BP连结CQ
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.
2）若PAPB:
PC=3:
4:
5,连结PQ试判断△PQC的形状，并说明理由.
例1、等腰三角形底边长为5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（）
A、2cmB、8cmC、2cm或8cmD、不能确定
例2、已知AD^^ABC的高，AB=AC△ABC周长为20cm,AADC的周长为14cm,求AD的长。
例4、如图，已知等边△ABC中，D为AC上中点，延长BC到E,使CE=CD连接DE试说明DB=DE
例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（）
A、锐角三角形B、钝角三角形C、等边三角形D、等腰直角三角形
例6、
（1）等腰三角形的腰长为10,底边上的高为6,则底边的长为。
（2）直角三角形的周长为12cm斜边的长为5cm,则其面积为；
（3）若直角三角形三边为1,2，c，则c=。
例7、下列说法：
①若在△ABC中a2+b2z£,则厶ABC不是直角三角形；
0222
2若△ABC是直角三角形，/C=90,则a+b=c;
3若在△ABC中，a2+b2=c2，则/C=9d;
4若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。
正确的有（把你认为正确的序号填在横线上）。
例8正三角形ABC所在平面内有一点P,使得△PAB△PBC△PCA都是等腰三角形，则这样的P点
有（）
（A）1个（B）4个（C）7个（D）10个
例9.四边形ABCDKAE=BQ/AB（=ZCDA90°,BE!
AD于点E,且四边形ABC［的面积为8,贝UBE=
（）
13、如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上（端点AC除外），设
另外两边距离之和为d，等边三角形ABC的高为h,则d与h的大小关系是（）
【解题方法指导】
例1.已知，如图，AB=AC=CD，求证：
/B=2/D
【考点指要】
等腰三角形、等边三角形及含30°角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中
经常以证明题或计算题频频出现，而且经常把它们结合在一道题中加以应用，虽然题目的难度不是很大,
但也要善于分析，找出图形中有关的性质。
【典型例题分析】
例1.（2005年苏州）
如图，等腰三角形ABC的顶角为120°,腰长为10,则底边上的高AD=
例2.已知，如图，△ABC中，/C=90°,AB的垂直平分线交AB于E,交AC于D,AD=8，/A=30°，求CD的长。
例3.已知，如图，△ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且AE=CD，又BD
与CE交于点F，试求/BFE的度数。
3.已知，如图，△ABC中，DE//BC,AB=AC，求证：
AD=AE
4.已知，如图，△ABC中，AB=AC,D是AB上一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F,又
BD=CE,求证：
DF=EF
'E
5.已知，如图，D是BC上一点，△ABC、△BDE都是等边三角形，求证：
AD=CE
6.已知，如图，△ABC中，/B=90°,AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E,又/C=15EC=10,求AB的长。
例6、如图11,在厶ABC
中，/A=90°,AB=AC,D为BC边中点,
E、F分别在AB、AC上，且
DE丄DF，求证：
AE+AF是一个定值.证明：
连接AD,
•/AB=AC,D为BC中点，•••AD丄BC,
•••/BAC=90°,AB=AC,B=ZC=45°,
•••/BAD=45°,/CAD=45°,•AD=BD=CD,
•••/EDF=90°,•••/EDA+ZADF=90°,
又由AD丄BC得/BDE+ZADE=90°,BDE=ZADF,
在厶BDE和厶ADF中，/B=ZDAF,BD=AD，/BDE=ZADFBDE◎△ADF,
•BE=AF,•AE+AF=AE+BE=AB（定值）.
思考：
四边形AEDF的面积是否也是定值呢？
为什么？
BE交AD于F，且有BF=AC,FD=CD,
例4、如图9，已知ADABC的高，E为AC上一点,
你认为BE与AC之间有怎样的位置关系？
你能证明它吗?
证明：
线段BE丄AC,理由如下：
•/AD丄BC，•/ADB=ZADC=90°,
•••/FBD+ZBFD=90°,
在Rt△BDF和Rt△ADC中，BF=AC,FD=CD,
•Rt△BDF也Rt△ADC,
•••/BFD=ZC,FBD+ZC=90°,
•••/BEC=180°—（/FBD+ZC）=180°—90°=90°,即BE丄AC.
BM22CM2.
例5、如图10,在厶ABC中，/ACB=90°AC=BC,M是AB上一点，求证：
AM
证明：
过C作CD丄AB于点D,
•••/ACB=90°AC=BC,CD丄AB,
.•./A=ZB=45°,/ACD=ZBCD=45°,
•••/A=ZACD,/B=ZBCD,
•AD=BD,BD=CD,即AD=BD=CD,
•••CD丄AB,•DM2CD2CM2,
思考：
请同学们试试用另外的方法来证明本题
例1、如图5,在厶ABC中，AB=AC,点O在厶ABC内,
AO丄BC.
证明：
延长AO交BC于点D,
•/AB=AC,OB=OC,OA=OA,ABO◎△ACO,
OB=OC,求证:
•••/BAO=ZCAO，即/BAD=ZCAD,
•••AD丄BC，即AO丄BC.
例3、如图7,已知在△ABC中，AB=AC,P为底边BC上任意一点，PD丄AB于点D,PE丄AC于
点E,求证：
PD+PE是一个定值.
说明：
本例的结论可用文字语言叙述为：
等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高
有怎样的关系呢?
即，PDPECF（定值）•
即，当点P在BC延长线上时，PD与PE之差为一定值基础训练：
1、填空题：
（1）等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8,那么周长是。
（2）如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8,那么它的周长是;如果等腰三角形的两
边长分别是4、8,那么它的周长是。
（3）等腰三角形的对称轴最多有条。
2、填空题：
（1）如果△ABC是等腰三角形，那么它的边长（或周长）可以是（）
A、三条边长分别是5，5，11B、三条边长分别是4,4，8
C、周长为14,其中两边长分别是4，5D、周长为24,其中两边长分别是6，12
（2）等腰三角形一边长为2,周长为5，那么它的腰长为（）
A、3B、2C、1.5D、2或1.5
3、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍，周长为35cm，求等腰三角形各边的长。
4、已知：
如图，AD平分/BAC,AB=AC，请你说明△DBC是等腰三角形。
（2）等腰三角形有一个角是120°,那么其他两个角的度数是和。
（3）△ABC中，/A=/B=2/C,那么/C=。
（4）在等腰三角形中，设底角为x。
，顶角为y°,则用含x的代数式表示y,得y=_;用含y的
代数式表示x,得x=。
2、选择题：
（1）等腰三角形的一个外角为140°,那么底角等于（）
A、40°B、100°C、70°D、40°或70°
（2）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）
A、顶角B、底角C、顶角的一半D、底角的一半
（3）在等腰三角形ABC中，/A与/B度数之比为5:
2,则/A的度数是（）
A、100°B、75°C、150°D、75°或100°
（4）等腰三角形ABC中，AB=AC,AD是角平分线，则“①AD丄BC,②BD=DC,
③/B=/C,④/BAD=/CAD”中，结论正确的个数是（）
A、4B、3C、2D、1
3、如图，已知△ABC中，D在BC上,
4、如图，已知△ABC中，点D、E在BC上,
AB=AC,AD=AE。
请说明BD=CE的理由。
1、填空题:
（1）在厶ABC中，/A的相邻外角是110°,要使△ABC是等腰三角形，则/B=
（2）在一个三角形中，等角对;等边对。
（3）如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各内角的度数是
（4）
如图，AB=AC,BD平分/ABC，且/C=2/A,
如图，在△ABC中，AB=AC，/BAC=108。
，/ADB=72
3、如图，在△ABC中，/B和/C的平分线相交于点0,且0B=0C，请说明AB=AC的理由。
4、如图，已知/EAC是厶ABC的外角，/1=/2,AD//BC,请说明AB=AC的理由。
5、如图，AB=AC，/ABD=/ACD，请你说明AD是BC的中垂线。
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