完整版等腰三角形三线合一专题练习1.docx

1、完整版等腰三角形三线合一专题练习1等腰三角形三线合一 专题训练1例1 如图，四边形 ABCD中，AB / DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC 。变 1 如图，AB / CD，/ A = 90 AB = 2, BC = 3, CD = 1, E 是 AD 边中点。求证： CE丄 BE。变2：如图，四边形 ABCD中，AD / BC, E是CD上一点，且 AE、BE分别平分/ BAD、/ ABC.(1)求证：AE丄BE; (2)求证：E是CD的中点； (3)求证：AD+BC=AB.a n变3: ABC是等腰直角三角形 ，/ BAC=90 ,AB

2、=AC.若D为BC的中点，过 D作DM丄DN分别交AB、AC 于 M、N，求证：（1） DM = DN。A若DM丄DN分别和BA、AC延长线交于 M、N。问DM和DN有何数量关系。|/| 已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且 BE=CF , EF交BC于点D .求证：DE=DF .已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且， EF交BC于点D，且D为EF的中点. 求证：BE=CF .利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在 ABC中, AB=AC P为底边BC上的一点，PCL AB于D, PEL AC于E, ?CF丄 AB于F,那么

3、PD+PE与 CF相等吗？变1若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD、PE与CF的关系又怎样，请你作 图，证明。1、已知等腰三角形的两边长分别为 4、9,则它的周长为（ ）A 17 B 22 C 17 或 22 D 13根据等腰三角形的性质寻求规律11例1.在 ABC中，AB=AC /仁一 / ABC / 2= / ACB BD与CE相交于点 0,如图，/ B0C勺大小22与/A的大小有什么关系？1 1若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ BOCWZ A大小关系如何？331 1若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ B0C与 Z A大小关系如何?n n会用等腰三角形

4、的判定和性质计算与证明例2.如图，等腰三角形 ABC中，AB=AC 腰上的中线 BD?各这个等腰三角形周长分成 15和6两部分,求这个三角形的腰长及底边长.利用等腰三角形的性质证线段相等例3.如图，P是等边三角形 ABC内的一点，连结 PA PB PC, ?以BP为边作/ PBQ=60，且BQ=BP 连结CQ（1）观察并猜想 AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.2）若PA PB: PC=3: 4: 5,连结PQ试判断 PQC的形状，并说明理由.例1、等腰三角形底边长为 5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是 3cm的两部分，则腰长为（ ）A、2cm B 、8cm C 、2cm 或 8cm

5、 D 、不能确定例2、已知 AD ABC的高，AB=AC ABC周长为20cm,A ADC的周长为14cm,求AD的长。例4、如图，已知等边 ABC中，D为AC上中点，延长 BC到E,使CE=CD连接DE试说明DB=DE例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 45，则这个三角形是（ ）A、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、等边三角形 D 、等腰直角三角形例6、（ 1）等腰三角形的腰长为 10,底边上的高为6,则底边的长为 。（2） 直角三角形的周长为 12cm斜边的长为5cm,则其面积为 ；（3） 若直角三角形三边为 1, 2，c，则c= 。例7、下列说法：若在 ABC中a2+b2z ,则

6、厶ABC不是直角三角形；0 2 2 22若 ABC是直角三角形，/ C=90,则a+b =c ;3若在 ABC中，a2+b2=c2，则/ C=9d;4若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。正确的有 （把你认为正确的序号填在横线上） 。例8正三角形 ABC所在平面内有一点 P,使得 PAB PBC PCA都是等腰三角形，则这样的 P点有（ ）（A） 1 个（B） 4 个（C） 7 个（D） 10 个例 9.四边形 ABCDK AE=BQ / AB(=Z CDA90, BE! AD于点 E,且四边形 ABC的面积为 8,贝U BE= ( )13、如图是一个等边三角形木框

7、，甲虫 P在边框AC上（端点A C除外），设另外两边距离之和为 d，等边三角形ABC的高为h, 则d与h的大小关系是（ ）【解题方法指导】例1.已知，如图，AB = AC = CD，求证：/ B = 2/ D【考点指要】等腰三角形、等边三角形及含 30角的直角三角形是应用非常广泛的图形，因此，在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现， 而且经常把它们结合在一道题中加以应用， 虽然题目的难度不是很大,但也要善于分析，找出图形中有关的性质。【典型例题分析】例1. （2005年 苏州）如图，等腰三角形 ABC的顶角为120,腰长为10,则底边上的高 AD = 例2.已知，如图， ABC中，/ C =

8、 90, AB的垂直平分线交 AB于E,交AC于D , AD = 8，/ A = 30，求CD的长。例3.已知，如图， ABC是等边三角形，E是AB上一点，D是AC上一点，且 AE = CD，又BD与CE交于点F，试求/ BFE的度数。3.已知，如图， ABC 中，DE/BC , AB = AC，求证：AD = AE4.已知，如图， ABC中，AB = AC , D是AB上一点，E是AC延长线上一点， DE交BC于F,又BD = CE,求证：DF = EFE5.已知，如图，D是BC上一点， ABC、 BDE都是等边三角形，求证： AD = CE6.已知，如图， ABC中，/ B = 90, A

9、C的垂直平分线交 AC于D，交BC于E,又/ C= 15 EC = 10,求AB的长。例6、如图11,在厶ABC中，/ A = 90 , AB = AC , D 为 BC 边中点,E、F分别在AB、AC上，且DE丄DF，求证：AE + AF是一个定值. 证明：连接AD ,/ AB = AC , D 为 BC 中点， AD 丄 BC ,/ BAC = 90, AB = AC , B =Z C = 45,/ BAD = 45 , / CAD = 45 , AD = BD = CD ,/ EDF = 90 , / EDA + Z ADF = 90 ,又由 AD 丄 BC 得/ BDE +Z ADE

10、= 90 , BDE =Z ADF ,在厶 BDE 和厶 ADF 中，/ B = Z DAF , BD = AD，/ BDE =Z ADF BDE ADF , BE = AF , AE + AF = AE + BE = AB (定值).思考：四边形 AEDF的面积是否也是定值呢？为什么？BE 交 AD 于 F，且有 BF = AC , FD = CD ,例4、如图9，已知AD ABC的高，E为AC上一点,你认为BE与AC之间有怎样的位置关系 ？你能证明它吗?证明：线段BE丄AC,理由如下：/ AD 丄BC，/ ADB =Z ADC = 90,/ FBD +Z BFD = 90 ,在 Rt BD

11、F 和 Rt ADC 中，BF = AC , FD = CD , Rt BDF 也 Rt ADC ,/ BFD =Z C , FBD +Z C = 90,/ BEC = 180 (/ FBD +Z C)= 180 90 = 90 ,即 BE 丄AC.BM 2 2CM 2.例5、如图10 ,在厶ABC中，/ ACB = 90 AC = BC , M是AB上一点，求证：AM证明：过C作CD丄AB于点D ,/ ACB = 90 AC = BC , CD 丄 AB ,./ A = Z B= 45 , / ACD = Z BCD = 45 ,/ A = Z ACD , / B = Z BCD , AD

12、= BD , BD = CD ,即 AD = BD = CD , CD 丄 AB, DM 2 CD2 CM 2 ,思考：请同学们试试用另外的方法来证明本题例1、如图5,在厶ABC中，AB = AC ,点O在厶ABC内,AO 丄 BC.证明：延长AO交BC于点D ,/ AB = AC , OB = OC , OA = OA , ABO ACO ,OB = OC,求证:/ BAO =Z CAO，即/ BAD =Z CAD , AD 丄 BC，即 AO 丄 BC.例3、如图7,已知在 ABC中，AB = AC , P为底边BC上任意一点，PD丄AB于点D, PE丄AC于点E,求证：PD + PE是一

13、个定值.说明：本例的结论可用文字语言叙述为： 等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高有怎样的关系呢?即，PD PE CF （定值）即，当点P在BC延长线上时，PD与PE之差为一定值 基础训练：1、填空题：（1） 等腰三角形中，如果底边长为 6，一腰长为8,那么周长是 。（2） 如果等腰三角形有一边长是 6，另一边长是8,那么它的周长是 ;如果等腰三角形的两边长分别是4、8,那么它的周长是 。（3） 等腰三角形的对称轴最多有 条。2、 填空题：（1） 如果 ABC是等腰三角形，那么它的边长（或周长）可以是（ ）A、三条边长分别是 5，5，11 B、三条边长分别是 4, 4，8C、周长为

14、14,其中两边长分别是 4，5 D、周长为24,其中两边长分别是 6，12（2） 等腰三角形一边长为 2,周长为5，那么它的腰长为（ ）A、3 B、2 C、1.5 D、2 或 1.53、 已知等腰三角形的腰长是底边的 3倍，周长为35cm，求等腰三角形各边的长。4、 已知：如图，AD平分/ BAC , AB=AC，请你说明 DBC是等腰三角形。（2） 等腰三角形有一个角是 120,那么其他两个角的度数是 和 。（3） ABC 中，/ A= / B=2 / C,那么/ C= 。（4） 在等腰三角形中，设底角为 x。，顶角为y,则用含x的代数式表示y,得y=_;用含y的代数式表示 x,得 x= 。

15、2、选择题：（1）等腰三角形的一个外角为 140,那么底角等于（ ）A、40 B、100 C、70 D、40 或 70（2）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半（3）在等腰三角形 ABC中，/ A与/ B度数之比为5 : 2,则/ A的度数是（ ）A、100 B、75 C、150 D、75 或 100（4）等腰三角形 ABC中，AB=AC , AD是角平分线，则“ AD丄BC ,BD=DC ,/ B= / C,/ BAD= / CAD”中，结论正确的个数是（ ）A、4 B、3 C、2 D、13、如图，已知 ABC中，D在BC 上,4、如

16、图，已知 ABC中，点D、E在BC上,AB=AC , AD=AE。请说明BD=CE的理由。1、填空题:(1 )在厶ABC中，/ A的相邻外角是110,要使 ABC是等腰三角形，则/ B=(2) 在一个三角形中，等角对 ;等边对 。(3)如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各内角的度数是(4)如图，AB=AC , BD 平分/ ABC，且/ C=2/ A ,如图，在 ABC 中，AB=AC，/ BAC=108。，/ ADB=723、如图，在 ABC中，/ B和/ C的平分线相交于点 0,且0B=0C，请说明AB=AC的理由。4、如图，已知/ EAC是厶ABC的外角，/ 1 = / 2, AD / BC ,请说明AB=AC的理由。5、如图，AB=AC，/ ABD= / ACD，请你说明 AD是BC的中垂线。15