中考复习专题之三角函数与几何结合重点.docx
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中考复习专题之三角函数与几何结合重点
与三角函数有关的几何题口抒汀.;：
■mu玄加厂
、例1于0上的点，，并且交直线，如图3经过O,直线0,。
口匚汀，口，连接.•‘）求证：
直线是OO的
tan£CED=—
切线；1BE）试猜想三者之间的等量关系，并加以证明；2（2OA,求
的长.，。
0的半径为3（3）若|，连接.1）证明：
如图6析解：
C4二CB0匸丄ABOA=OB，•，|一八幵
0是。
的切线..XBEBD2（）BC2=.「A■//!
：
-是直径，，11./:
’1汗
TZUCD^ZOCD=90|ZOCD=2ODC
，又」，■'.
，，又
RC
HU
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u—
BE
**tanZ—
CD1
L\
BC2=BDXBE.
2
EC1
BDCD1
，）（3•弋l沁,，.2=h庶.:
\
，则.设
又BC2=BDXBE，a（2x）2=x（x+6%-o电■2|TBD=a>0:
一[ip-2
，解之，得，「-」-
，DCQADLDUIAB=10IIJ/JOO2垂足为于点是，
切00已知：
如图，的直径，D,|弘|ElO.0交于点BC=EC1；）求证:
（
―1
AH是M的中AC于点E，点交线段3、如图，以线段AB为直径的Oo2血,,AC于点D，/BOE=60°BC=2cosC=点，0M交的度数；）求/（1A是O）求证：
BCO的切线；
（2）求MD的长度.（3的度数.1分析：
（）根据三角函数的知识即可得岀/AABOBC2（）要证是O的切线，只要证明丄BC即可.
2
（3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求岀MD的长度.工
A=/BOE=30°BOE=60°,二/.解答：
（1）解：
T/乂cosC=,二/C=60°中，丁.
（2）
证明：
在厶ABC又J/A=30°，AZABC=90°,二AB丄BC.二BC是OO的切线.r：
是的中点，•••OM丄AE.（3）解：
•••点M三「.了
33
BC=2中，•/Rt△ABCX=6.，•••在AB=BC?
tan60°=2--MD=.OA==3，•，•OD=
•OA=点评：
本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定•要证某线是圆的切线，已知此线
过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可.
4、如图，已知Rt△ABC和Rt△EBC，/B=90°•以边AC上的点O为圆心、OA为半径的OO与EC相切，D为切点，ADIIBC.
（1）用尺规确定并标岀圆心O;（不写作法和证明，保留作图痕迹）
（2）求证：
/
，求BCAD=1
分析：
（1）若OO与EC相切，且切点为D，可过D作EC的垂线，此垂线与AC的交点即为所求的O点.
（2）由
（1）知OD丄EC,则/ODA、/E同为/ADE的余角，因此/E=/ODA=/OAD，而
ADIIBC,可得/OAD=/ACB，等量代换后即可证得/E=/ACB.=I呦£
BC=AB/;由于DAC=，那么tanE=3（）由
（2）证得//ACB，即/E=tanADIIBC,易证得
△EADEBC,可用AB表示岀AE、BC的长，根据相似三角形所得比例线段即可求岀AB的
长，进而可得到BC的值.
解答：
（1）解：
（提示：
O即为AD中垂线与AC的交点或过D点作EC的垂线与AC的交点等）
（2）证明：
连接OD.TADIIBC,/B=90°,二/EAD=90°.
又圆
E+/EDA=90°,
O与EC相切于
EDA+ZODA=90
E=ZODA;
又OD=OA,•••/DAC=
即/E=90°-ZEDA.
D点，•OD丄EC.
，即ZODA=90°-ZEDA.
•/AD
II
DAC=
ZODA,•••/DAC=ZE.）
V2DA
~EA
AS
DAC=
AD=1
2BC|
BCV2ACB=,ABC中，tan/T
又/
AB=,
DAC=/ACB,•tan/ACB=tan/DAC.
BC=2x•,=,•可设
•/AD
IIBC,•Rt△EADsRt△EBC.
V2_1ADEA
72+V2x_2kECEB
，即.
•BC=2x=2.
点评：
此题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判断和性质等重要知识,
能够准确的判断岀O点的位置，是解答此题的关键.
5、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D,DE丄AC，垂足为E.
（1）求证：
点D是BC的中点;
1
（2）判断DE与OO的位置关系，并证明你的结论；cosB=，求DE的长•的直径为9,（3）如果OO分析：
（1）连接AD，根据等腰三角形的性质易证；
（2）相切•连接0D，证明0D丄DE即可•根据三角形中位线定理证明;
•••D是BC的中点;
（2）DE是OO的切线.
证明：
连接OD.JBD=DC，OB=OA，•ODIIAC•vAC丄DE，•OD丄DE.
1
3VCD2-CE2
•DE是OO的切线.3
cosB=，•BD=3.•CD=3.vAB=AC，•/3（）解：
vAB=9，B=/C，
=.，中，cosC=••••在CDECE=1DE=点评：
此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点，属基础题，难度不大.
6、如图以△ABC的一边AB为直径作OO，OO与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作OO的切线交AC边于点E.
（1）求证：
DE丄AC;
（2）若/ABC=30°，求tan/BCO的值.
分析：
（1）连接OD，根据三角形的中位线定理可求岀ODIIAC,根据切线的性质可证明DE丄
OD，进而得证.
（2）过O作OF丄BD，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示岀OF、CF的长,
根据三角函数的定义求解.
解答：
（1）证明：
连接OD•vO为AB中点，D为BC中点，
•ODIIAC•vDE为OO的切线，•DE丄OD••DE丄AC.
（2）解：
过0作OF丄BD，则BF=FD.在Rt△BFO中，/B=30°,弊
|0B
BF=OB.JBD=DC,,BF=FD，二OBOF=二/..在FC=3BF=OBRt△OFC中，
V3OF
'■11=.=tan/BCO==点评：
本题比较复杂，综合考查了三角形中位线定理及切线的性质、
三角函数的定义等知识点，有一定的综合性.
7、如图，在等腰梯形ABCD中，ADIIBC.O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E.过E作EH丄AB，垂足为H•已知OO与AB边相切，切点为F.
（1）求证：
OEIIAB;<
BH1BH
EH=AB;
（2）求证：
I〜「，求的值.）若（3
分析：
（1）判断岀/B=/OEC，根据同位角相等得岀OEIIAB;■-■■
DC=AB.EH=OF=
（2）连接OF,求岀（3）求岀△EHBDEC，根据相似三角形的性质和
勾股定理解答.
解答：
（1）证明：
在等腰梯形ABCD中，AB=DC，
•••/B=/C，JOE=OC,•••/OEC=/B=/OEC,二OEIIAB.
（2）证明：
连接OF.：
。
O与AB切于点F」.OF丄AB,•/EH丄AB,-■_"'■
丄2丄
•••OFIIEH，又TOEIIAB，二四边形OEHF为平行四边形，二EH=OF,222
EH=AB.•/OF=，•CD=AB（3）解：
连接DE.：
CD是直径，•/DEC=90°，则/DEC=/EHB，
BHBE
CECD
^AC2-mMio2-&2
所以/A+/ADF=/EDB+/BDO=90°.二EF是0的切线.
（2）解：
连BG.JBC是直径，•••/BGC=90
△ABC=AC?
BG,=8CD=••••AB?
CD=2S
CG=.•BG=.•
_14
CG_T=7
•/BG丄AC,DF丄AC,•BGIIEF.:
丄E=ZCBG,10一25CBG=.E=sin/•sin/点评：
考查切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点，再证垂直即
II
可.2
、9.C两点，tan/OCB轴、y轴分别交与B、如图9，直线y=kx-1与x
（1）求B点的坐标和k的值；
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点.当点A运动过程中，试写岀厶AOB的面积S与x的函数关系式；
1
（3）探索：
4
的面积是；A运动到什么位置时，△AOB1当点2在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，
使厶POA是等腰三角形.若存在，请写岀满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由
y）
图9
1OR
•OB=v
解：
（1）vy=kx-1与y轴相交于点C,•••0C=1【答案】2OCtan/OCB=2丿
点坐标为：
•B訓
I*
点坐标为：
代入y=kx-1B把得k=2
S=
—?
*—（2x-1）—a-—
•••y=kx）v-12（22S=二2斗
lllI
——x——
S=•••4244
]
S=）①当时，=3（•x=1,y=2x-仁14
的面积为,1）时，△AOBiA点坐标为（1.
②存在P点坐标为：
满足条件的所有I-佢,0,
P4（,0.12P1（1,0,P2（2,0,P3（分
（1）求证：
直线EF是OO的切线；
（2）求sin/E的值.
分析：
（1）求证直线EF是OO的切线，只要连接OD证明OD丄EF即可；
（2）根据/E=ZCBG，可以把求sin/E的值得问题转化为求sin/CBG，进而转化为求Rt△BCG中，两边的比的问题.
解答：
（1）证明：
方法1:
连接OD、CD.
•/BC是直径，•CD丄AB.•AC=BC.•D是AB的中点.tO为CB的中点，
•ODIIAC.TDF丄AC，•OD丄EF.•EF是0的切线.
方法2:
因为AC=BC，所以/A=/ABC，
因为/ADF=/EDB（对顶角），OB=OD，所以/DBO=/BDO，
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