相似三角形中考题题型类docx.docx
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相似三角形中考题题型类docx
相似三角形
1．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（
）
A．AD
BC
B．BC
DF
C．CD
BC
D．CD
AD
DF
CE
CE
AD
EF
BE
EF
AF
A
B
CD
EF
1题
A
2.如图所示，给出下列条件：
D
①B
ACD；
②ADC
ACB；
③AC
AB；
④AC2
ADgAB
B
C
（第2题图）
CD
BC
其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.已知△ABC∽△DEF，且AB：
DE=1：
2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（
）
A．1：
2
B．1：
4
C．2：
1
D．4：
1
4.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：
（1）DE=1，
（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：
4.
其中正确的有：
（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【参考答案】
1.A
2.C
3.B
4.D
◆考点聚焦
1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．
2．探索并掌握三角形相似的性质及条件，?
并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．
3．掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．
4．掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，?
会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它
的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置．
◆备考兵法
1．证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，要注意基本图形的应用，如“A
型”“X型”“母子型”等．
2．用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意．
3．用直角坐标系中的点描述物体的位置，用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要注意训练．
◆考点链接
一、相似三角形的定义
三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．二、相似三角形的判定方法
1.若DE∥BC（A型和X型）则______________．
2.射影定理：
若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD
2
2
2
且AC=________，CD=_______，BC=______．
3.两个角对应相等的两个三角形__________．
4.两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．
5.三边对应成比例的两个三角形___________．
三、相似三角形的性质
1.
相似三角形的对应边_________，对应角________．
2.
相似三角形的对应边的比叫做
________，一般用k表示．
3.相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______?
线的比等于_______比，周长之比也
等于________比，面积比等于
_________．
◆典例精析
例1（2009
山西太原）甲、乙两盏路灯底部间的距离是
30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部
5米处时，
发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为
1.5米，那么路灯甲的高为
米．
甲
小华乙
【答案】9.
【解析】本题考查相似的有关知识，相似三角形的应用
.设路灯高为
x米，由相似得
1.5
5，解得x9，所以路灯甲的高为
9米，故填9.
x
30
例2（2008年浙江丽水）如图，在已建立直角坐标系的
4×4正方形方格纸中，△划格点三角形（三角形的三个
顶点都是小正方形的顶点），若以格点
P，A，B为顶点的三角形与△
ABC相似（全等除外），则格点
P的坐标是
_______．
【答案】P1（1，4），P2（3，4）．
点拨：
这种题常见的错误是漏解，平时要多加强这方面的训练，以培养思维的严密性．
拓展变式在Rt△ABC中，斜边AC上有一动点D（不与点A，C重合），过D点作直线截△ABC，使截得的三
角形与△ABC相似，则满足这样条件的直线共有______条．
【答案】3
例3如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC，DE把平行四边形ABCD分成的四
部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．下面结论：
①只有一对相似三角形；②EF：
ED=1：
2；③S1：
S2：
S3：
S4=1：
2：
4：
5．其中正确的结论是（）
A．①③B．③C．①D．①②
【答案】B
【解析】∵AB∥DC，∴△AEF?
∽△CDF，?
但本题还有一对相似三角形是△ABC?
≌△CDA（全等是相似的特
例）．
∴①是错的．
∵AE
EF
1
，∴②EF：
ED=1：
2是错的．
CD
DF
2
∴S△AEF：
S△CDF=1：
4，S△AEF：
S△ADF=1：
2．
∴S1：
S2：
S3：
S4=1：
2：
4：
5，③正确．
点拨①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比；（共底三角形的面积之比等于高之比）②和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形（如等边三角形、等腰直角
三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段
和平行线，注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角形．
拓展变式点E是YABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点G，
则图中相似三角形共有（）
A．2对B．3对C．4对D．5对
【答案】C
◆迎考精练
一、选择题
1.（2009年江苏省）如图，在55方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②
中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（）
A．先向下平移
3格，再向右平移
1格
B．先向下平移
2格，再向右平移
1格
C．先向下平移
2格，再向右平移
2格
D．先向下平移
3格，再向右平移
2格
2.（2009年浙江杭州）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是
3和4及x，那么x的值（）
A．只有1个B．可以有2个
C．有2个以上但有限D．有无数个
3.（2009年浙江宁波）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD的中点，连接OM、
ON、MN，则下列叙述正确的是（
）
A
A．△AOM和△AON都是等边三角形
M
N
B
D
B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形
O
C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
C
D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形
4.（2009年浙江义乌）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。
已知这本书的
长为20cm，则它的宽约为（）
5.（2009年湖南娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准
星A、目标B在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，
OB=40米，AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为
（）
A．3米B．0.3米C．0.03米D．0.2米
6.（2009年甘肃白银）如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗
杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）
A．12mB．10mC．8mD．7m
7.（2009年天津市）在△ABC和△DEF中，AB2DE，AC2DF，AD，如果△ABC的周长
是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为（）
A．8，3B．8，6C．4，3D．４，6
二、填空题
1.（2009年山东滨州）在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为（2，3），若以原点O为位似中心，画△ABC
的位似图形△ABC，使△ABC与△ABC的相似比等于
1，则点A的坐标为
．
Rt△ABC
2
EF∥BD，AB
E，AC
G，
2.（2009年黑龙江牡丹江
）如图，
中，
ACB90°，
于点
于点
直线
交
交
交
AD于点F，若S△AEG
1S四边形EBCG，则CF
．
3
AD
A
EF
G
B
D
C
第2题
3.（2009年湖北孝感）如图，点
M是△ABC内一点，过点
M分别作直线平行于△
ABC的各边，所形成的三个小三
角形△
1、△
2、△3（图中阴影部分）的面积分别是
4，9和
49．则△ABC的面积是
．
4.（2009年山东日照）将三角形纸片（△
ABC）按如图所示的方式折叠，使点
B落在边
AC上，记为点
B′，折痕
为EF．已知
AB＝AC＝3，BC＝4，若以点
B′，F，C为顶点的三角形与△
ABC相似，那么
BF的长度是
．
A
E
B′
B
F
C
（第4题图）
5.（2009年福建莆田）如图，
A、B两处被池塘隔开，为了测量
A、B两处的距离，在
AB外选一适当的点
C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=20m，则AB
=__________m．
A
E
C
F
B
第5题图
三、解答题
1.（2009年湖南郴州）如图，在
DABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3，
A
（1）求AD的值，
（2）求BC的长
AB
D
E
2.（2009年湖南常德）如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE
与△ADC相似吗？
请证明你的结论．
BC
3.（2009年湖北武汉）如图1，在
Rt△ABC
中，
BAC90°AD⊥BC
于点
D
，点
O
是
AC
边上一点，
，
连接BO交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E．
（1）求证：
△ABF∽△COE；
（2）当O为AC边中点，
AC
2时，如图2，求OF
AB
OE
（3）当O为AC边中点，
AC
n时，请直接写出
OF
AB
OE
的值；
的值．
B
B
D
D
F
F
E
E
A
C
A
O
C
O
图1
图2
4.（2009年安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME
交BC于G．
（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
（2）连结FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．
5.（2009A年吉林M省）如图B，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DFAD，
连接BC、BF．
FG
A
C
D
D
O第4题图E
E
C
B
F
第5题图
（1）求证：
△CBE∽△AFB；
（2）当BE
5
时，求CB的值
FB
8
AD
6.（2009年广东梅州
）如图，梯形
ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．
（1）求证：
△CDF∽△BGF；
（2）当点F是BC的中点时，过
F作EF∥CD交AD于点E，若AB
6cm，EF
4cm，求CD的长．
【参考答案】
D
C
选择题
E
F
1.D
A
B
G
6
题
2.B
3.C
4.A
5.B
6.A
7.A
填空题
1.（4，6）
2.
1
2
3.144
4.12或2;
7
5.40
解答题
1.解：
（1）∵AD=4，DB=8
∴AB=AD+DB=4+8=12
∴AD=4=1
AB123
（2）∵DE∥BC，所以△ADE∽△ABC
∴DE=ADBCAB
∵DE=3
∴3=1BC3
∴BC=9
1.△ABE与△ADC相似．理由如下：
在△ABE与△ADC中
∵
AE
是⊙
O
的直径，∴∠
=90o，
ABE
∵AD是△ABC的边BC上的高，∴∠ADC=90o，∴∠ABE=∠ADC．
又∵同弧所对的圆周角相等，∴∠BEA=∠DCA．
∴△ABE～△ADC．
3.
解：
（
1）
QAD⊥BC
，
DAC
C90°
．
Q
BAC
90°，
BAF
C．
QOE⊥OB，BOACOE90°
，
Q
BOA
ABF
90°
ABF
COE
．
，
△ABF∽△COE；
G
B
D
F
E
A
O
C
（2）解法一：
作
OG⊥AC，交AD的延长线于G．
QAC
2AB，O是AC边的中点，ABOCOA．
由
（1）有△ABF∽△COE，△ABF≌△COE，
BF
OE．
QBAD
DAC
90°，
DAB
ABD
90°，DACABD，
又
BAC
AOG
90°AB
OA
．
，
△ABC≌△OAG，OG
AC
2AB．
QOG⊥OA，
AB∥OG，
△ABF∽△GOF，
OF
OG
，
OF
OF
OG
BF
AB
OE
BF
2．
AB
B
D
F
E
A
O
C
解法二：
Q
BAC
90°，AC
2AB，AD⊥BC于D，
Rt△BAD∽Rt△BCA．
AD
AC
2
．
BD
AB
设
AB
，则AC
2，BC
5，BO
2，
1
AD
2
5，BD
1AD
1
5．
5
2
5
QBDFBOE90°，△BDF∽△BOE，
BDBO
．
DFOE
1
5
2
由
（1）知BF
OE，设OE
BF
x，
5
x10DF．
，
DF
x
在△DFB中x2
1
1
x2，
x
2
．
5
10
3
2
4
OF
4
2
OFOB
BF
2
3
2
．
3
2
2．
2
3
OE
2
3
（3）OF
n．
OE
4.
（1）证：
△
∽△
，△
∽△
，△
∽△
（写出两对即可）以下证明△
∽△
．
AMF
BGM
DMG
DBM
EMF
EAM
AMF
BGM
∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B
∴△AMF∽△BGM．
（2）解：
当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC
∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝22
又∵AMF∽△BGM，∴AF
BM
AM
BG
∴BG
AMgBM
22
2
2
8
AF
3
3
又AC
BC
42cos45o
4，∴CG
4
8
4
，CF431
3
3
∴FG
CF2
CG2
12
（4）2
5
33
5.
（1）证明：
QAEEB,ADDF,
ED是△ABF的中位线，
又CA,
（2）解：
由
（1）知，
又AF2AD,CB5
．
AD4
6.
（1）证明：
∵梯形ABCD，AB∥CD，
∴CDFFGB，DCFGBF，
∴△CDF∽△BGF．
（2）由
（1）△CDF∽△BGF，
又F是BC的中点，BFFC
∴△CDF≌△BGF，
∴DFFG，CDBG,
又∵EF∥CD，AB∥CD
∴EF∥AG，得2EFBGABBG．
∴BG2EFAB2462，
∴CDBG2cm．
DC
EF
AG
B
6题图
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