n阶行列式的计算方法.docx

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n阶行列式的计算方法

n阶行列式的计算方法

1．利用对角线法则

“对角线法则”：

（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；

（2）二阶行列式每项含2项，三阶行列式每项含3项，每项均为不同行、不同列的元素

的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。

例1计算二阶行列式D=

1

3

。

2

4

解：

D=

1

3

=1×4−3×2=−2

2

4

例2计算三阶行列式D=

1

2

0

4

−3

8

。

0

−1

2

解：

D=

1

2

0

4−38

=1×（−3）×2+2×8×0+0×4×（−1）−0×（−3）×0−2×4×2−1×8×（−1）

0

−1

2

=−14

2．利用n阶行列式的定义

a11

a12

⋯a1n

n阶行列式D=

a21

a22

⋯a2n

=∑（−1）τa1p1a2p2⋯anpn

⋮

⋮

⋮

（p1p2⋯pn）

an1

an2

⋯ann

其中τ=τ（p1

p2⋯pn），求和式中共有n!

项。

显然有

a11

a12

⋯a1n

上三角形行列式D=

a22

⋯a2n

=a11a22⋯ann

⋱

⋮

ann

a11

下三角形行列式D=

a21

a22

⋱

=a11a22⋯ann

⋮

⋮

an1

an2

⋯ann

λ1

对角阵D=

λ2

=λ1

λ2⋯λn

⋱

λn

另外D=

λ2

λ1

n（n−1）

=（−1）2

λ1

λ2⋯λn

⋰

λn

例3

计算行列式

0

⋯0

1

0

0

⋯2

0

0

Dn=

⋮

⋮

⋮

⋮

n−1⋯0

0

0

0

⋯0

0

n

解Dn中不为零的项用一般形式表示为

a1n−1a2n−2⋯an−11ann=n!

.

该项列标排列的逆序数t（n－1n－2…1n）等于（n−1）（n−2），故

2

Dn=（−1）

（n−1）（n−2）

n!

.

2

3．利用行列式的性质计算

性质1行列式与它的转置行列式相等,即D=DT。

注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有。

性质2交换行列式的两行（列），行列式变号。

推论若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式为零。

性质3用数k乘行列式的某一行（列）,等于用数k乘此行列式,即

a11

a12

⋯a1n

a11

a12

⋯a1n

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯⋯⋯

D1=

kai1

kai2

⋯kain

=k

ai1

ai2

⋯ain

=kD。

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯⋯⋯

an1

an2

⋯ann

an1

an2

⋯ann

第i行（列）乘以k，记为ri×k（或ci×k）。

推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

推论2行列式中若有两行（列）元素成比例,则此行列式为零。

性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，

a11

a12

⋯

a1n

⋯

⋯

⋯

⋯

D=

bi1+ci1bi2+ci2

⋯bin+cin

。

⋯

⋯

⋯

⋯

an1

an2

⋯

ann

则

a11

a12

⋯a1n

a11

a12

⋯a1n

⋯

⋯⋯⋯

⋯

⋯⋯⋯

D=

bi1

bi2

⋯bin

+

ci1

ci2

⋯cin

=D1+D2。

⋯

⋯⋯⋯

⋯

⋯⋯⋯

an1

an2

⋯ann

an1

an2

⋯ann

性质5将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k后加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式不变。

x

a⋯

例4

计算Dn

=

a

x⋯

⋮

⋮

a

a⋯

r+（r+⋯+r）

12n

解Dn=[x+（n−1）a]

a

a

⋮。

x

1

1

⋯1

a

x⋯

a

⋮

⋮

⋮

a

a⋯

x

1

1

⋯

1

=[x+（n−1）a]

0

x−a⋯

0

⋮

⋮

⋮

0

0

⋯x−a

=[x+（n−1）a]（x−a）n−1

例5一个n阶行列式Dn=aij的元素满足

aij=−aji,i,j=1,2,⋯,n,

则称Dn为反对称行列式，证明：

奇数阶反对称行列式为零.

证明：

由aij=−aji知aii=−aii，即

aii=0,i=1,2,⋯,n

故行列式Dn可表示为

0

a12

a13

⋯a1n

−a12

0

a23

⋯a2n

Dn=

−a13

−a23

0

⋯a3n

⋯

⋯

⋯

⋯⋯

−a1n

−a2n

−a3n

⋯0

由行列式的性质D=DT

0−a12

−a13

⋯−a1n

a12

0

−a23

⋯−a2n

Dn=

a13

a23

0

⋯−a3n

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

a1n

a2n

a3n

⋯0

0

a12

a13

⋯a1n

−a12

0

a23

⋯a2n

=（−1）n

−a13

−a23

0

⋯a3n

⋯

⋯

⋯

⋯⋯

−a1n

−a2n

−a3n

⋯0

=（−1）nDn

当n为奇数时，得Dn=−Dn，因而得Dn=0。

4．利用行列式按行（列）展开

ai1Aj1+ai2Aj2+⋯+ainAjn

D

i=

j

j=1,2,⋯,