第8讲 运动路径.docx

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第8讲运动路径

模块一直线型路径

例1

1如图，边长为6的正△ABC中，E是高AD上的一个动点，连接EC，以EC为边向下构造正△CEF，则在点E由A点运动到点D的过程中，求点F的运动路线长．

解：

连接BF，可得△ACE≌BCF，则∠CBF=∠CAE=30°，∴F点的运动路径为一条线段。

E由A点运动到点D，所以F点的运动路径长等于AD的长3

。

2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=4，M为AB中点，D是射线BC上的一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，点D在运动过程中，求ME的最小值．

解：

过A作AK⊥AB交BD的延长线于K，则△AKB等腰直角三角形。

易证△ADK≌△AEB，则∠ABE=∠K=45°，即E在过B垂直于BD的直线上l运动，当ME⊥l时，ME最小为

。

练习

1.如图，已知点P在边长为6的正△ABC的边BC上，以AP为边作正△APQ，D为AQ中点。

当点P由B点运动到C点时，求点D的运动路线长。

解：

取AC的中点E，连接CQ，易证△ABP≌△ACQ，可得BP=CQ，当点P由B点运动到C点时，Q的运动路径长等于BC，所以D的运动路径长等于BC的一半3。

2．如图，边长为4的等边三角形ABC中，动点P在BC边上以每秒1个单位长的速度从B点向C点匀速运动，当点P到达点C时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段AP的中点Q绕点P按顺时针方向旋转60°得点R，点R随点P的运动而运动，在点P从B向C运动的过程中，求点R运动路线的长．

解：

连接AR，取BC的中点D，连接AD，则AD⊥BC，AR⊥PR，易证△ABP∽△ADR，∴∠ADR=60°，∠CDR=30°，∴R的运动路径为线段，点P从B向C运动的过程中，点R运动路线的长为2

。

真题演练

1、（2017年武汉市四调第16题）

已知四边形ABCD，∠ABC=45°，∠C=∠D=90°，含30°角（∠P=30°）的直角三角板PMN（如图）在图中平移，直角边MN⊥BC，顶点M、N分别在边AD、BC上，延长NM到点Q，使QM=PB，若BC=10，CD=3，则当点M从点A平移到点D的过程中，点Q的运动路径长为.

解：

当点P与B重合时，AM=AQ′=3

-3，DM=DQ″=10-3

，

易知点Q的运动路径是Q′→M→Q″，△AMQ′，△MDQ″都是等腰直角三角形，

∵Q′M+MQ″=

（3

-3）+

（10-3

）=7

∴点Q的运动路径长=点P的运动路径长7

2、（2016年武汉市四调）

在平面直角坐标系中，已知A（2，4），P（1，0）.B为y轴正半轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC=90°，M为BC的中点，点B从y轴正半轴运动到原点O的过程中，求PM的最小值.

解：

连接AM，OM，则OM=AM，∴M在BC的垂直平分线上，当PM⊥BC时，PM最小。

3、（2016年武汉市元调第16题）

在平面直角坐标系中，点C沿着某条路径运动，以点C为旋转中心，将点A（0，－4）逆时针旋转90°得到点B（m，1），若－5≤m≤5，则点C的运动路径长为.

解：

如图1所示，在y轴上取点P（0，1），过P作直线l∥x轴，

∵B（m，1），

∴B在直线l上，

∵C为旋转中心，旋转角为90°，

∴BC=AC，∠ACB=90°，

∵∠APB=90°，

∴∠1=∠2，

作CM⊥OA于M，作CN⊥l于N，则Rt△BCN≌Rt△ACM，

∴CN=CM，

若连接CP，则点C在∠BPO的平分线上，

∴动点C在直线CP上运动；

如图2所示，∵B（m，1）且-5≤m≤5，

∴分两种情况讨论C的路径端点坐标，

①当m=-5时，B（-5，1），PB=5，

作CM⊥y轴于M，作CN⊥l于N，

同理可得△BCN≌△ACM，

∴CM=CN，BN=AM，

可设PN=PM=CN=CM=a，

∵P（0，1），A（0，4），

∴AP=3，AM=BN=3+a，

∴PB=a+3+a=5，

∴a=1，

∴C（-1，0）；

②当m=5时，B（5，1），如图2中的B1，此时的动点C是图2中的C1，

同理可得C1（4，5），

∴C的运动路径长就是CC1的长，

由勾股定理可得，CC1=5

模块二圆型路径

例2

已知边长为2的等边△ABC，E是AC上的动点，D是BC上的点，AE=CD，BE与AD交于G，F是AC中点，点E从A运动到C时，求G点的运动路径长及线段GF的最小值.

解：

易证△ACD≌△BAE，可得∠AGB=120°，过AGB三点作外接圆O，易求∠BOA=120°，OA=OB=

，∴G点运动的路径长为以O为圆心的弧长AB=

。

连接FO，可求FO=

，所以GF的最小值为

－

练习

如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，△BAD的外接圆半径为5，当D点在圆周上滑动时，求对角线交点P的移动路径长.

解：

∵△BAD的外接圆半径为5，P为BD的中点，∴当D点在圆周上滑动时，P在半径为2.5的圆上运动。

∴点P的移动路径长为2.5π

例3如图在扇形AOB中，OA⊥OB，D是

上一动点，DE⊥OA于E，若OA＝

，记△DEO的内心为I．点D从B运动到A时，求点I的运动路径长及△DEO的内切圆半径的最大值．

分析：

连

IO，ID，IA。

∵OA⊥OB，∴∠DEO=90°

∵IOID分别平分∠DOE、∠IDO，

∴∠DIO=135°。

∵OD=OA，∠IOD=∠IOA，

∴△DIO≌△AIO（SAS）

∴∠AIO=∠OID=135°

构造△IAO的外接圆，圆心为T，则∠ATO=90°，TA=TO=4，

∴点I的运动路径长为2π，内切圆半径最大值为

练习如图，在弓形BAC中，∠BAC＝60°，BC＝

，若点A在优弧BAC上由点B向点C移动，记△ABC的内心为I，求I点的运动路径长及△ABC内切圆半径的最大值．

分析：

连

BI、CI，∴∠BIC=120°

构造△IBC的外接圆，圆心为T，则∠BTC=60°，TB=TC=

，

∴点I的运动路径长为

，内切圆半径最大值为

拓展如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C．

（1）当点P在优弧AB上运动时，求OC的最值；

（2）当点P在优弧AB上运动时，求△ABC面积的最大值；

（3）当点P在优弧AB上运动时，求点C运动的路径长．

分析：

（1）连OA，OB，则∠C=60°。

构造△ABC的外接圆，圆心为T，则OC的最大值为

，最小值为1；

（2）当OC⊥AB时，面积最大，最大为

；

（3）路径长为

例4（2016年青山区九上月考）（2015年武汉市四月调考）如图，扇形OAB的圆心角的度数为120°，半径长为4，P为弧AB上的动点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N，D是△PMN的外心．当点P运动的过程中，点M．N分别在半径上作相应运动，从点N离开点O时起，到点M到达点O时止，求点D运动的路径长．

分析：

当点N与点O重合时，∠POA＝30°，则OP＝2OD

∴OD＝2

同理，当M与点O重合时，OD＝2

∵D是△PMN的外心

∴D在线段PM的垂直平分线上，且OM⊥OA

∴D为OP的中点，则OD＝2

∴点D的运动轨迹是以O为圆心，2为半径，圆心角为60°的弧

则弧长为

练习（2016年武昌区九上月考第23题第（3）问）

如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，点C是弧AB上一点，连接AC．BC，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D．E，连接DE．若扇形AOB的半径长为4，P．Q位弧AB的三等分点，I为△DOE的外心，当点C从点P运动到Q点时，点I所经过的路径长为．

分析：

连OP，取OP中点R，连接ER、DR

∵∠OEC＝∠ODC＝90°

∴ER＝CR＝OR＝DR

∴C、E、O、D在以R为圆心的圆上面

又∵点I为△ODE的外心

∴I和点R重合，则OI＝2

而∠POQ＝60°

∴点I的运动路径为以O为圆心，2为半径，圆心角为60°的弧

则弧长为

例5（2016年青山区九上期中）

如图，等边△OPQ的边长为2，以点O为圆心，AB为直径的半圆经过点P．点Q．连接AQ．BP交于点C，将等边△OPQ从OA与OP重合的位置开始，绕点O顺时针旋转120°，求交点C运动的路径长．

分析：

连接OC

∵∠BPQ＝∠APQ＝30°

∴BP、AQ平分∠OPQ、∠OQP

即C点为△OPQ的内心

∵∠QAB＝∠PBA＝30°，

∴AC＝BC，则CO⊥AB

AO＝2，则

∴点C的运动轨迹是以O为圆心，OC为半径，圆心角为120°的弧

则弧长为

练习（2016年武汉六中九上月考）

如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE．CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，求交点P运动的路径长．

分析：

∵AOCB为正方形

∴∠AOC＝90°

∴∠AFP＝45°

又∵∠EAF＝90°

∴∠APF＝∠AFP＝45°，∠EPF＝135°

∴点P在以G为圆心的圆上，P点的轨迹即为弧EPF

∵∠H＝45°

∴∠EGF＝90°

∵EF＝4

∴

，则轨迹长为

第8讲本讲课后作业

A基础巩固

1．（2016年武昌区九上月考）

在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝10，点D为线段BC上一动点，以CD为直径作⊙O交AD于点E，连BE，在点D从C运动至点B的过程中，求点E的运动路径长．

分析：

连CE，则∠CED=90°，构造△ACE的外接圆，圆心为T，则T是AC中点。

点D从C运动至点B的过程中，点E的起点在C点处，点E的终点在AB中点处，∴点E的运动路径长为

2．如图，⊙O的直径为4，C为⊙O上的一个顶点，∠ABC＝30°，动点P从A点出发沿半圆弧

向B点运动（点P与点C在直线AB的异侧），当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点，在点P的运动过程中，求点D的运动路径长，及CD的最大值及最小值．

分析：

∠

D=30°，BC=4，构造△BCD的外接圆，圆心为T，则∠T=60°，△BCT是等边三角形，所以点D在优弧CB上运动，运动路径长为

，CD最大值为

，最小值为

。

3．如图，点B在线段AC上，点D．E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q，当点P从A点运动到B点时，求线段DQ的中点M所经过的路径长．

分析：

取

BD中点T，连MT，则MT∥BE，取DE中点S，则线段ST为M的运动轨迹，路径长为

4．（2016年二中九上月考）

如图，点P是以AB为直径的半圆O上一点，AB＝4，M为BP中点，，当点P从点B出发，沿半圆运动到点A时，求M点运动的路径长．

分析：

连

OM，则∠OMB=90°，所以M在以OB为直径的圆上运动，起点为B，终点为O，路径长为π

B综合训练

5．（2016年武汉六中九上月考）

如图，已知弧BC的半径为3，圆心角为120°，圆心为点A．D为弧BC上一动点，以D为旋转中心，将点B顺时针旋转120°得到点E，若点D从B运动到点C，求点E的运动路径长．

分析：

连

BC，则△BAC∽△BDE，∴△BAD∽△BCE，∴

∴

，∴点E在以C为圆心，CB为半径的圆上运动，起点是B，运动圆心角为120°，∴路径长为