第8讲 运动路径.docx
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第8讲运动路径
模块一直线型路径
例1
1如图,边长为6的正△ABC中,E是高AD上的一个动点,连接EC,以EC为边向下构造正△CEF,则在点E由A点运动到点D的过程中,求点F的运动路线长.
解:
连接BF,可得△ACE≌BCF,则∠CBF=∠CAE=30°,∴F点的运动路径为一条线段。
E由A点运动到点D,所以F点的运动路径长等于AD的长3
。
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=AC=4,M为AB中点,D是射线BC上的一动点,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连接ED、ME,点D在运动过程中,求ME的最小值.
解:
过A作AK⊥AB交BD的延长线于K,则△AKB等腰直角三角形。
易证△ADK≌△AEB,则∠ABE=∠K=45°,即E在过B垂直于BD的直线上l运动,当ME⊥l时,ME最小为
。
练习
1.如图,已知点P在边长为6的正△ABC的边BC上,以AP为边作正△APQ,D为AQ中点。
当点P由B点运动到C点时,求点D的运动路线长。
解:
取AC的中点E,连接CQ,易证△ABP≌△ACQ,可得BP=CQ,当点P由B点运动到C点时,Q的运动路径长等于BC,所以D的运动路径长等于BC的一半3。
2.如图,边长为4的等边三角形ABC中,动点P在BC边上以每秒1个单位长的速度从B点向C点匀速运动,当点P到达点C时停止运动,设点P运动的时间是t秒.将线段AP的中点Q绕点P按顺时针方向旋转60°得点R,点R随点P的运动而运动,在点P从B向C运动的过程中,求点R运动路线的长.
解:
连接AR,取BC的中点D,连接AD,则AD⊥BC,AR⊥PR,易证△ABP∽△ADR,∴∠ADR=60°,∠CDR=30°,∴R的运动路径为线段,点P从B向C运动的过程中,点R运动路线的长为2
。
真题演练
1、(2017年武汉市四调第16题)
已知四边形ABCD,∠ABC=45°,∠C=∠D=90°,含30°角(∠P=30°)的直角三角板PMN(如图)在图中平移,直角边MN⊥BC,顶点M、N分别在边AD、BC上,延长NM到点Q,使QM=PB,若BC=10,CD=3,则当点M从点A平移到点D的过程中,点Q的运动路径长为.
解:
当点P与B重合时,AM=AQ′=3
-3,DM=DQ″=10-3
,
易知点Q的运动路径是Q′→M→Q″,△AMQ′,△MDQ″都是等腰直角三角形,
∵Q′M+MQ″=
(3
-3)+
(10-3
)=7
∴点Q的运动路径长=点P的运动路径长7
2、(2016年武汉市四调)
在平面直角坐标系中,已知A(2,4),P(1,0).B为y轴正半轴上的动点,以AB为边构造△ABC,使点C在x轴上,∠BAC=90°,M为BC的中点,点B从y轴正半轴运动到原点O的过程中,求PM的最小值.
解:
连接AM,OM,则OM=AM,∴M在BC的垂直平分线上,当PM⊥BC时,PM最小。
3、(2016年武汉市元调第16题)
在平面直角坐标系中,点C沿着某条路径运动,以点C为旋转中心,将点A(0,-4)逆时针旋转90°得到点B(m,1),若-5≤m≤5,则点C的运动路径长为.
解:
如图1所示,在y轴上取点P(0,1),过P作直线l∥x轴,
∵B(m,1),
∴B在直线l上,
∵C为旋转中心,旋转角为90°,
∴BC=AC,∠ACB=90°,
∵∠APB=90°,
∴∠1=∠2,
作CM⊥OA于M,作CN⊥l于N,则Rt△BCN≌Rt△ACM,
∴CN=CM,
若连接CP,则点C在∠BPO的平分线上,
∴动点C在直线CP上运动;
如图2所示,∵B(m,1)且-5≤m≤5,
∴分两种情况讨论C的路径端点坐标,
①当m=-5时,B(-5,1),PB=5,
作CM⊥y轴于M,作CN⊥l于N,
同理可得△BCN≌△ACM,
∴CM=CN,BN=AM,
可设PN=PM=CN=CM=a,
∵P(0,1),A(0,4),
∴AP=3,AM=BN=3+a,
∴PB=a+3+a=5,
∴a=1,
∴C(-1,0);
②当m=5时,B(5,1),如图2中的B1,此时的动点C是图2中的C1,
同理可得C1(4,5),
∴C的运动路径长就是CC1的长,
由勾股定理可得,CC1=5
模块二圆型路径
例2
已知边长为2的等边△ABC,E是AC上的动点,D是BC上的点,AE=CD,BE与AD交于G,F是AC中点,点E从A运动到C时,求G点的运动路径长及线段GF的最小值.
解:
易证△ACD≌△BAE,可得∠AGB=120°,过AGB三点作外接圆O,易求∠BOA=120°,OA=OB=
,∴G点运动的路径长为以O为圆心的弧长AB=
。
连接FO,可求FO=
,所以GF的最小值为
-
练习
如图,在平行四边形ABCD中,AB=8,△BAD的外接圆半径为5,当D点在圆周上滑动时,求对角线交点P的移动路径长.
解:
∵△BAD的外接圆半径为5,P为BD的中点,∴当D点在圆周上滑动时,P在半径为2.5的圆上运动。
∴点P的移动路径长为2.5π
例3如图在扇形AOB中,OA⊥OB,D是
上一动点,DE⊥OA于E,若OA=
,记△DEO的内心为I.点D从B运动到A时,求点I的运动路径长及△DEO的内切圆半径的最大值.
分析:
连
IO,ID,IA。
∵OA⊥OB,∴∠DEO=90°
∵IOID分别平分∠DOE、∠IDO,
∴∠DIO=135°。
∵OD=OA,∠IOD=∠IOA,
∴△DIO≌△AIO(SAS)
∴∠AIO=∠OID=135°
构造△IAO的外接圆,圆心为T,则∠ATO=90°,TA=TO=4,
∴点I的运动路径长为2π,内切圆半径最大值为
练习如图,在弓形BAC中,∠BAC=60°,BC=
,若点A在优弧BAC上由点B向点C移动,记△ABC的内心为I,求I点的运动路径长及△ABC内切圆半径的最大值.
分析:
连
BI、CI,∴∠BIC=120°
构造△IBC的外接圆,圆心为T,则∠BTC=60°,TB=TC=
,
∴点I的运动路径长为
,内切圆半径最大值为
拓展如图,⊙O的半径为1,弦AB=1,点P为优弧AB上一动点,AC⊥AP交直线PB于点C.
(1)当点P在优弧AB上运动时,求OC的最值;
(2)当点P在优弧AB上运动时,求△ABC面积的最大值;
(3)当点P在优弧AB上运动时,求点C运动的路径长.
分析:
(1)连OA,OB,则∠C=60°。
构造△ABC的外接圆,圆心为T,则OC的最大值为
,最小值为1;
(2)当OC⊥AB时,面积最大,最大为
;
(3)路径长为
例4(2016年青山区九上月考)(2015年武汉市四月调考)如图,扇形OAB的圆心角的度数为120°,半径长为4,P为弧AB上的动点,PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别为M,N,D是△PMN的外心.当点P运动的过程中,点M.N分别在半径上作相应运动,从点N离开点O时起,到点M到达点O时止,求点D运动的路径长.
分析:
当点N与点O重合时,∠POA=30°,则OP=2OD
∴OD=2
同理,当M与点O重合时,OD=2
∵D是△PMN的外心
∴D在线段PM的垂直平分线上,且OM⊥OA
∴D为OP的中点,则OD=2
∴点D的运动轨迹是以O为圆心,2为半径,圆心角为60°的弧
则弧长为
练习(2016年武昌区九上月考第23题第(3)问)
如图,在扇形AOB中,∠AOB=120°,点C是弧AB上一点,连接AC.BC,OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D.E,连接DE.若扇形AOB的半径长为4,P.Q位弧AB的三等分点,I为△DOE的外心,当点C从点P运动到Q点时,点I所经过的路径长为.
分析:
连OP,取OP中点R,连接ER、DR
∵∠OEC=∠ODC=90°
∴ER=CR=OR=DR
∴C、E、O、D在以R为圆心的圆上面
又∵点I为△ODE的外心
∴I和点R重合,则OI=2
而∠POQ=60°
∴点I的运动路径为以O为圆心,2为半径,圆心角为60°的弧
则弧长为
例5(2016年青山区九上期中)
如图,等边△OPQ的边长为2,以点O为圆心,AB为直径的半圆经过点P.点Q.连接AQ.BP交于点C,将等边△OPQ从OA与OP重合的位置开始,绕点O顺时针旋转120°,求交点C运动的路径长.
分析:
连接OC
∵∠BPQ=∠APQ=30°
∴BP、AQ平分∠OPQ、∠OQP
即C点为△OPQ的内心
∵∠QAB=∠PBA=30°,
∴AC=BC,则CO⊥AB
AO=2,则
∴点C的运动轨迹是以O为圆心,OC为半径,圆心角为120°的弧
则弧长为
练习(2016年武汉六中九上月考)
如图,正方形OABC的边长为2,以O为圆心,EF为直径的半圆经过点A,连接AE.CF相交于点P,将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始,绕着点O逆时针旋转90°,求交点P运动的路径长.
分析:
∵AOCB为正方形
∴∠AOC=90°
∴∠AFP=45°
又∵∠EAF=90°
∴∠APF=∠AFP=45°,∠EPF=135°
∴点P在以G为圆心的圆上,P点的轨迹即为弧EPF
∵∠H=45°
∴∠EGF=90°
∵EF=4
∴
,则轨迹长为
第8讲本讲课后作业
A基础巩固
1.(2016年武昌区九上月考)
在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=10,点D为线段BC上一动点,以CD为直径作⊙O交AD于点E,连BE,在点D从C运动至点B的过程中,求点E的运动路径长.
分析:
连CE,则∠CED=90°,构造△ACE的外接圆,圆心为T,则T是AC中点。
点D从C运动至点B的过程中,点E的起点在C点处,点E的终点在AB中点处,∴点E的运动路径长为
2.如图,⊙O的直径为4,C为⊙O上的一个顶点,∠ABC=30°,动点P从A点出发沿半圆弧
向B点运动(点P与点C在直线AB的异侧),当P点到达B点时运动停止,在运动过程中,过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点,在点P的运动过程中,求点D的运动路径长,及CD的最大值及最小值.
分析:
∠
D=30°,BC=4,构造△BCD的外接圆,圆心为T,则∠T=60°,△BCT是等边三角形,所以点D在优弧CB上运动,运动路径长为
,CD最大值为
,最小值为
。
3.如图,点B在线段AC上,点D.E在AC同侧,∠A=∠C=90°,BD⊥BE,AD=BC=3,CE=5,点P为线段AB上的动点,连接DP,作PQ⊥DP,交直线BE于点Q,当点P从A点运动到B点时,求线段DQ的中点M所经过的路径长.
分析:
取
BD中点T,连MT,则MT∥BE,取DE中点S,则线段ST为M的运动轨迹,路径长为
4.(2016年二中九上月考)
如图,点P是以AB为直径的半圆O上一点,AB=4,M为BP中点,,当点P从点B出发,沿半圆运动到点A时,求M点运动的路径长.
分析:
连
OM,则∠OMB=90°,所以M在以OB为直径的圆上运动,起点为B,终点为O,路径长为π
B综合训练
5.(2016年武汉六中九上月考)
如图,已知弧BC的半径为3,圆心角为120°,圆心为点A.D为弧BC上一动点,以D为旋转中心,将点B顺时针旋转120°得到点E,若点D从B运动到点C,求点E的运动路径长.
分析:
连
BC,则△BAC∽△BDE,∴△BAD∽△BCE,∴
∴
,∴点E在以C为圆心,CB为半径的圆上运动,起点是B,运动圆心角为120°,∴路径长为