第8讲 运动路径.docx

1、第8讲 运动路径模块一 直线型路径例11如图，边长为6的正ABC中，E是高AD上的一个动点，连接EC，以EC为边向下构造正CEF，则在点E由A点运动到点D的过程中，求点F的运动路线长解：连接BF，可得ACEBCF，则CBF=CAE=30，F点的运动路径为一条线段。E由A点运动到点D，所以F点的运动路径长等于AD的长3。2如图，在ABC中，ACB=90，BC=AC=4，M为AB中点，D是射线BC上的一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90得到线段AE，连接ED、ME，点D在运动过程中，求ME的最小值解：过A作AKAB交BD的延长线于K，则AKB等腰直角三角形。易证ADKAEB，则ABE=

2、K=45，即E在过B垂直于BD的直线上l运动，当MEl时，ME最小为。练习1. 如图，已知点P在边长为6的正ABC的边BC上，以AP为边作正APQ，D为AQ中点。当点P由B点运动到C点时，求点D的运动路线长。解：取AC的中点E，连接CQ，易证ABPACQ，可得BP=CQ，当点P由B点运动到C点时，Q的运动路径长等于BC，所以D的运动路径长等于BC的一半3。2 如图，边长为4的等边三角形ABC中，动点P在BC边上以每秒1个单位长的速度从B点向C点匀速运动，当点P到达点C时停止运动，设点P运动的时间是t秒将线段AP的中点Q绕点P按顺时针方向旋转60得点R，点R随点P的运动而运动，在点P从B向C运动

3、的过程中，求点R运动路线的长解：连接AR，取BC的中点D，连接AD，则ADBC，ARPR，易证ABPADR，ADR=60，CDR=30，R的运动路径为线段，点P从B向C运动的过程中，点R运动路线的长为2。真题演练1、(2017年武汉市四调第16题)已知四边形ABCD，ABC=45，C=D=90，含30角(P=30)的直角三角板PMN(如图)在图中平移，直角边MNBC，顶点M、N分别在边AD、BC上，延长NM到点Q，使QM=PB，若BC=10，CD=3，则当点M从点A平移到点D的过程中，点Q的运动路径长为 .解：当点P与B重合时，AM=AQ=3-3，DM=DQ=10-3，易知点Q的运动路径是QM

4、Q，AMQ，MDQ都是等腰直角三角形，QM+MQ=（3-3）+（10-3）=7点Q的运动路径长=点P的运动路径长72、(2016年武汉市四调)在平面直角坐标系中，已知A(2，4)，P(1，0).B为y轴正半轴上的动点，以AB为边构造ABC，使点C在x轴上，BAC=90，M为BC的中点，点B从y轴正半轴运动到原点O的过程中，求PM的最小值.解：连接AM，OM，则OM=AM，M在BC的垂直平分线上，当PMBC时，PM最小。3、(2016年武汉市元调第16题)在平面直角坐标系中，点C沿着某条路径运动，以点C为旋转中心，将点A(0，4)逆时针旋转90得到点B(m，1)，若5m5，则点C的运动路径长为

5、.解：如图1所示，在y轴上取点P（0，1），过P作直线lx轴，B（m，1），B在直线l上，C为旋转中心，旋转角为90，BC=AC，ACB=90，APB=90，1=2，作CMOA于M，作CNl于N，则RtBCNRtACM，CN=CM，若连接CP，则点C在BPO的平分线上，动点C在直线CP上运动；如图2所示，B（m，1）且-5m5，分两种情况讨论C的路径端点坐标，当m=-5时，B（-5，1），PB=5，作CMy轴于M，作CNl于N，同理可得BCNACM，CM=CN，BN=AM，可设PN=PM=CN=CM=a，P（0，1），A（0，4），AP=3，AM=BN=3+a，PB=a+3+a=5，a=1，C

6、（-1，0）；当m=5时，B（5，1），如图2中的B1，此时的动点C是图2中的C1，同理可得C1（4，5），C的运动路径长就是CC1的长，由勾股定理可得，CC1=5模块二 圆型路径例2已知边长为2的等边ABC，E是AC上的动点，D是BC上的点，AE=CD，BE与AD交于G，F是AC中点，点E从A运动到C时，求G点的运动路径长及线段GF的最小值.解：易证ACDBAE，可得AGB=120，过AGB三点作外接圆O，易求BOA=120，OA=OB=，G点运动的路径长为以O为圆心的弧长AB=。连接FO，可求FO=，所以GF的最小值为练习如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，BAD的外接圆半径为5，当D

7、点在圆周上滑动时，求对角线交点P的移动路径长. 解：BAD的外接圆半径为5，P为BD的中点，当D点在圆周上滑动时，P在半径为2.5的圆上运动。点P的移动路径长为2.5例3 如图在扇形AOB中，OAOB，D是上一动点，DEOA于E，若OA，记DEO的内心为I点D从B运动到A时，求点I的运动路径长及DEO的内切圆半径的最大值分析：连IO，ID，IA。OAOB，DEO=90IOID分别平分DOE、IDO，DIO=135。OD=OA，IOD=IOA，DIOAIO（SAS）AIO=OID=135构造IAO的外接圆，圆心为T，则ATO=90，TA=TO=4，点I的运动路径长为2，内切圆半径最大值为练习 如

8、图，在弓形BAC中，BAC60，BC，若点A在优弧BAC上由点B向点C移动，记ABC的内心为I，求I点的运动路径长及ABC内切圆半径的最大值分析：连BI、CI，BIC=120构造IBC的外接圆，圆心为T，则BTC=60，TB=TC=，点I的运动路径长为，内切圆半径最大值为拓展 如图，O的半径为1，弦AB1，点P为优弧AB上一动点，ACAP交直线PB于点C（1）当点P在优弧AB上运动时，求OC的最值；（2）当点P在优弧AB上运动时，求ABC面积的最大值；（3）当点P在优弧AB上运动时，求点C运动的路径长分析：（1）连OA，OB，则C=60。构造ABC的外接圆，圆心为T，则OC的最大值为，最小值为

9、1；（2）当OCAB时，面积最大，最大为；（3）路径长为例4（2016年青山区九上月考）（2015年武汉市四月调考）如图，扇形OAB的圆心角的度数为120，半径长为4，P为弧AB上的动点，PMOA，PNOB，垂足分别为M，N，D是PMN的外心当点P运动的过程中，点MN分别在半径上作相应运动，从点N离开点O时起，到点M到达点O时止，求点D运动的路径长分析：当点N与点O重合时，POA30，则OP2OD OD2同理，当M与点O重合时，OD2D是PMN的外心D在线段PM的垂直平分线上，且OMOAD为OP的中点，则OD2点D的运动轨迹是以O为圆心，2为半径，圆心角为60的弧则弧长为练习（2016年武昌区

10、九上月考第23题第（3）问）如图，在扇形AOB中，AOB120，点C是弧AB上一点，连接ACBC，ODBC，OEAC，垂足分别为DE，连接DE若扇形AOB的半径长为4，PQ位弧AB的三等分点，I为DOE的外心，当点C从点P运动到Q点时，点I所经过的路径长为分析：连OP，取OP中点R，连接ER、DR OECODC90ERCRORDRC、E、O、D在以R为圆心的圆上面又点I为ODE的外心 I和点R重合，则OI2 而POQ60 点I的运动路径为以O为圆心，2为半径，圆心角为60的弧则弧长为例5（2016年青山区九上期中）如图，等边OPQ的边长为2，以点O为圆心，AB为直径的半圆经过点P点Q连接AQB

11、P交于点C，将等边OPQ从OA与OP重合的位置开始，绕点O顺时针旋转120，求交点C运动的路径长分析：连接OC BPQAPQ30 BP、AQ平分OPQ、OQP 即C点为OPQ的内心QABPBA30，ACBC，则COABAO2，则点C的运动轨迹是以O为圆心，OC为半径，圆心角为120的弧则弧长为练习（2016年武汉六中九上月考）如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AECF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90，求交点P运动的路径长分析：AOCB为正方形 AOC90 AFP45 又EAF90 APFAFP45，EPF13

12、5 点P在以G为圆心的圆上，P点的轨迹即为弧EPF H45 EGF90 EF4 ，则轨迹长为第8讲 本讲课后作业A 基础巩固1（2016年武昌区九上月考）在等腰RtABC中，C90，ACBC10，点D为线段BC上一动点，以CD为直径作O交AD于点E，连BE，在点D从C运动至点B的过程中，求点E的运动路径长分析：连CE，则CED=90，构造ACE的外接圆，圆心为T，则T是AC中点。点D从C运动至点B的过程中，点E的起点在C点处，点E的终点在AB中点处，点E的运动路径长为2如图，O的直径为4，C为O上的一个顶点，ABC30，动点P从A点出发沿半圆弧向B点运动（点P与点C在直线AB的异侧），当P点到

13、达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点，在点P的运动过程中，求点D的运动路径长，及CD的最大值及最小值分析：D=30，BC=4，构造BCD的外接圆，圆心为T，则T=60，BCT是等边三角形，所以点D在优弧CB上运动，运动路径长为，CD最大值为，最小值为。3如图，点B在线段AC上，点DE在AC同侧，AC90，BDBE，ADBC3，CE5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQDP，交直线BE于点Q，当点P从A点运动到B点时，求线段DQ的中点M所经过的路径长分析：取BD中点T，连MT，则MTBE，取DE中点S，则线段ST为M的运动轨迹，路径长为4（2016年二中九上月考）如图，点P是以AB为直径的半圆O上一点，AB4，M为BP中点，当点P从点B出发，沿半圆运动到点A时，求M点运动的路径长分析：连OM，则OMB=90，所以M在以OB为直径的圆上运动，起点为B，终点为O，路径长为B 综合训练5（2016年武汉六中九上月考）如图，已知弧BC的半径为3，圆心角为120，圆心为点AD为弧BC上一动点，以D为旋转中心，将点B顺时针旋转120得到点E，若点D从B运动到点C，求点E的运动路径长分析：连BC，则BACBDE，BADBCE，点E在以C为圆心，CB为半径的圆上运动，起点是B，运动圆心角为120，路径长为