平面图形的认识二中的十个问题.docx
《平面图形的认识二中的十个问题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《平面图形的认识二中的十个问题.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![平面图形的认识二中的十个问题.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2023-1/10/e9c754a2-a321-464e-9b83-8067915f3cb9/e9c754a2-a321-464e-9b83-8067915f3cb91.gif)
平面图形的认识二中的十个问题
一、关于“三线八角”
我们把同位角、内错角、同旁内角统称为“三种角”,下面根据它们的定义,谈谈识别这“三种角”的方法,供大家学习时参考.
图7-1
如图7-1:
第一条直线a与第二条直线b(简称两条直线a、b)被第三条直线l所截(简称截线l)截得8个角(简称“三线八角”).
图7-1中除有对顶角、邻补角外(具体的是哪些角请读者自己写出),还有这样的三组角:
第一组角是∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠8、∠4与∠7;
第二组角是∠2与∠7、∠3与∠5;
第三组角是∠2与∠5、∠3与∠7.
我们不难观察发现,这三组角都有一个共同的特点,这就是没有公共顶点且都有一条边在截线上.
第一组角是同位角,它们分别在两直线的同侧且在截线的同旁.
第二组角是内错角,它们分别在两直线之间且在截线的两旁.
第三组角是同旁内角,它们分别在两直线之间且在截线的同旁.
识别“三种角”的关键是:
先要看同一对角是由哪两条直线被哪条直线截得的;然后再由它们的位置关系来判断.下面举例加以说明:
问题:
如图7-2,找出图中的“三种角”.
图7-2
分析:
(1)两直线AC、AD被直线EF所截,同位角有∠1与∠3、∠2与∠6;内错角有∠2与∠4;同旁内角有∠2与∠3.
(2)两直线AC、CE被直线AD所截,同位角有∠A与∠4;内错角有∠A与∠6;同旁内角有∠A与∠3.
(3)两直线AB、BC被直线AC所截,同位角没有;内错角有∠A与∠1;同旁内角有∠A与∠2.
由同学完成下面练习题:
图7-3
如图7-3:
指出图中的同位角有______对;内错角有______对;同旁内角有______对.
二、如何找点定位数同位角
关于“三线八角”(两条直线被第三条直线所截,构成八个角)中角与角间的位置关系及相应的概念,理解、掌握起来是容易的,但在复杂图形中运用这些概念解决实际问题还需要一定的技巧.现以同位角为例,向同学们介绍一种“找点定位数角法”.
例题 如图7-4所示,OD、FH被OG所截,E在OG上,A、B、C在OD上,试求∠O的同位角个数.
图7-4
分析与解:
此题和类似题均可采取三步走.
一、找点
根据同位角的概念可知,图中∠O的同位角的顶点分别为A、B、C、E、F(所有这些点都是“三线”中两线的交点,而P点就不是).
二、定位
∠O在E、F处的同位角分别以EG、FG为角的一边,均分布在截线OG的右侧;在A、B、C处的同位角分别以AD、BD和CD为一边,均分布在截线OD的上方.
三、数角
在E、F、A、B、C处所有符合方位要求的角分别有2、3、1、2、1个,总和为9个.
类似数内错角、同旁内角的问题均可采取这三个步骤:
找点、定位、数角.
三、平行线及平行公理歌诀
一个平面两直线,永不相交平行线.(①刻划了平行线定义)
两线不交即平行,平行直线无交点.(②刻划了平行性质)
线外一点划直线,只有一条平行线.(③指明平行公理)
两线平行第三线,两线平行是显然.(④指明平行公理的推论)
四、证明的必要性
在几何中,除了公理以外,不管所论及的命题的结论是多么明显,都必须通过推理来证明.
这是因为:
第一、直观有时会造成错觉,直观并不永远可信.
如在图7-5中,线段AB好像小于线段AC;竖线好像比横线长;左图中心的圆好像比右图中心的圆小;上面一根横线好像比下面的一根长,但是,所有这些都是观察中的错觉.如果用圆规,直尺认真地量一量,就会发现它们实际上是相等的.这些例子说明直观并不可靠.
图7-5
第二、通过对少数具体例子的观察,测量得出的结论,并不能保证“永远正确”,不能保证在一般情况下都成立.
第三、有时,图形的性质并不能通过测量得出.例如:
两条直线永不相交的性质就不可能通过实际测量来认定.
第四、通过推理的方法来研究图形,不仅可以使我们掌握许多无法通过观察、度量能得到的性质,而且可以揭示这些性质之间的内在联系,有利于对几何图形的研究.
因此,在几何中,除了公理以外,任何一个命题的正确性,只有在进行了推理论证以后,才会得到认可.而这种推理论证,就是借助于演绎推理来进行的.
五、观察与推理
观察是就事物在自然条件下所发生的形态,通过感官认识对象的方法.
我们通过观察,可以得到许多知识.几何中研究的物体的形状、大小、位置关系等,许多都是通过观察得来的.
不过,从观察得到的认识,是初步的,往往是不全面的,不深入的.例如,我们在小学数学里观察过一些三角形三个角的和,得到“三角形三个角的和等于180°”的结论.那么,是不是所有的三角形都是这样的呢?
为什么每个三角形三个角的和必然是180°呢?
只用观察的方法就不够了,而要在观察的基础上,一步一步地,有根有据地说明理由,这就是推理.
在学习平行线的判定方法时,我们在观察和实验的基础上,得到了“同位角相等,两直线平行”.接着,根据同位角与内错角的关系,推出了“内错角相等,两直线平行”的结论.这说明,推理不仅可以使我们从观察实验得到的知识更全面、更深入,而且还可以进一步得到一些新知识.
学习几何离不开观察和实验,也需要掌握推理的方法.以后,我们还将进一步学习推理的方法.
六、生活中的平移现象
如果你是一个细心的孩子,你会发现在现实生活中存在着许许多多的平移现象,比如铁路线上运行的火车,风景区在空中平行移动的缆车,商场中经常见到的观光电梯,它们都在作平移运动.
我们已经掌握平移的基本涵义,下面来看几幅利用平移制作的美丽而又有趣的图案.
图7-6
你是不是很想知道如何利用平移做出有趣的图案?
首先,你需要准备以下材料,描图纸或透明塑料片、具有大正方形网格的纸、彩色铅笔、钢笔.如果你准备好了,那么请你按照下面的步骤动手操作,你就会亲手绘制出如此美丽的图案.
步骤1:
在具有大正方形网格的图纸中挑出一个正方形,用曲线连结正方形的一条边AB的两端,称为曲线AB,如图7-7.
步骤2:
把一张描图纸或透明塑料片覆盖在AB上,并用笔尖合适的钢笔在描图纸或透明塑料片上描出曲线AB,把复制的图形放在原来的图形之下,并把复制的图形向上平移,使得曲线AB的两个端点上升到CD的端点处.在原来的图形上再次照描这条曲线,使得它现在连结了CD的两个端点,如图7-7.
步骤3:
用连结点A、D的一条曲线重复这样的过程,即用曲线连结正方形的一条边AD的两端,称为曲线AD,如图7-7.
步骤4:
在描图纸或透明塑料片上照描出曲线AD,并且把它平移到对边BC处,如图7-7.
图7-7
步骤5:
当完成上述步骤后,在描图纸或透明塑料片上照描整个图形,并把它移动到下一个正方形处,将你的图形画满正方形的网格纸,就能创造出一种美丽的平移图案,如图7-8.
图7-8
七、从三角形内角和想起
三角形的内角和是180°,那么三角形的外角和(当说到三角形外角和时,三角形的每一个顶点处的外角只算其中一个)是多少度呢?
如下图7-8,∠ABC+∠GBC=180°,∠BCA+∠HCA=180°,∠CAB+∠FAB=180°.
图7-8
所以∠ABC+∠GBC+∠BCA+∠HCA+∠CAB+∠FAB=3×180°=540°.
而∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°,
所以∠GBC+∠HCA+∠FAB=2×180°=360°,即三角形的外角和为360°.
让△ABC逐渐缩小,直至A、B、C三个点重合(如图7-9所示),此时三角形的外角∠FAG,∠GBH,∠HCF都变成了什么?
图7-9
一般地,凸多边形的外角和又是多少度呢?
仍以凸五边形为例(如图7-10所示),凸多边形每一个内角与相邻的外角构成一个平角,即为180°.五个这样的平角为5×180°=900°.但现在要求的是其外角和,所以还需减去其内角和,而内角和为3×180°,于是凸五边形的外角和为2×180°.
图7-10
你会类似于三角形那样把凸五边形缩为一点,去想象它的外角和是多少度吗?
当然,凸五边形的外角和还可以从“思维实验”的角度去想象:
如图7-10,当从五边形的顶点A出发面向B,按“A-B-C-D-E-A”行进一周时,你的视线转动了多少度?
显然仍为360°.
不管三角形的形状、位置和大小怎样,它们的内角和都是180°,令人惊奇,而所有的凸多边形的外角和都是360°,更令人惊叹.难怪有人认为,外角和比内角和更能反映多边形的本质.
细心的同学会发现,我们在多边形的前面都加了一个“凸”字,凸多边形是什么意思呢?
那是指“多边形总在任意一边所在直线的同一侧”.人们自然会问:
如果是凹多边形,其内、外角和又该是多少?
这个问题请同学自己思考并解答.
八、三角形三内角和——欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的比较
1840年,俄国数学家罗巴切夫斯基发表了一种新几何学.尽管高斯、波尔约和罗巴切夫斯基几乎同时各自独立地发现了这种新几何学,但由于罗巴切夫斯基第一个无所畏惧地公开发表了他的结果,所以,今天人们把这种新几何称为“罗氏几何”.
罗巴切夫斯基从1815年开始试图证明平行公理,几年的努力都失败了,失败使他逐渐认识到证明平行公理或第五公设是不可能的.1826年,身为大学教授的年轻的罗巴切夫斯基勇敢地抛弃了第五公设,提出了与欧几里得几何(简称欧氏几何)完全相反的公设:
“过一点至少可以引两条直线与已知直线平行.”后来人们把这个公设叫做“罗氏公理”.由罗氏公理很容易推出以下结论:
“过已知直线外一点可以引无数条直线与已知直线平行.”
罗巴切夫斯基保留了除平行公理以外的欧几里得的全部公理.如果不涉及与平行有关的内容,罗巴切夫斯基的新几何与欧几里得几何学没有任何不同.但是只要与平行有关,那么结果就相差甚远.下表对罗巴切夫斯基几何(简称罗氏几何)、欧氏几何不同的定理作了说明.
图7-11
欧氏几何
罗氏几何
三角形的三内角和等于180o.
三角形的三内角和小于180o;并且不同的三角形有不同的内角和.
存在矩形和相似形.
不存在矩形和相似形.
两个三角形的三个对应角相等则两个三角形相似.
两个三角形的三个对应角相等,则两个三角形全等.
两平行线之间的距离处处相等.
两平行线之间的距离,沿平行线的方向越来越小.
欧氏几何说:
“三角形的三内角和等于180o.”现实生活中有没有这种几何模型呢?
有!
平面上的三角形的内角和就等于180o,如图7-12左图.
罗氏几何说“三角形的三内角和小于180o”.难道现实生活中也会有这样的几何模型吗?
有!
1868年意大利数学家贝特拉米找到了一种曲面,人们给它起名叫“伪球面”.在“伪球面”上可以证明:
“三角形内角和小于180o”,如图7-12中间的图.
图7-12
现实生活中有没有“三角形的内角和大于180o”的几何学?
有!
这是德国著名数学家黎曼于1854年提出来的,如图7-12右图.
黎曼生于德国汉诺威,父亲是牧师,他遵照父亲的愿望进入哥廷根大学学习哲学和神学.可是进哥廷根大学后,他很快被数学所吸引.于是就放弃神学专攻数学,并成为大数学家高斯的学生.1851年他获得数学博士学位,博士论文受到高斯极高的评价.1859年他成为哥廷根大学的教授,1866年因患肺结核死于意大利,年仅40岁.
黎曼提出了一种与前两种几何完全不同的新几何,叫做“黎曼几何”.黎曼几何的模型是球面,在黎曼几何中“三角形内角之和大于180o.”
后来,人们把罗氏几何和黎曼几何合在一起统称“非欧几何”.非欧几何在现代物理中,特别是相对论提出之后找到了具体用处,使得非欧几何并不像有些人说的是“想象中的几何”,而成了有着重要现实意义的几何学.
九、三角形邮票
大多数邮票是长方形的,偶尔也能看到三角形的邮票,下图就是一些三角形邮票的例子.
图7-13
在上图中,右上角的一张是中国1951年发行的第一套三角形的纪念邮票,名为“保卫世界和平”,图案是和平鸽,共计三张,面值分别是当时的人民币400元、800元和2200元(相当于现在的人民币4分、8分和22分).这是中国发行的第一套三角形邮票.
用全等的长方形,不但能铺满平面,而且能铺满纸面上的一个长方形区域.所以,把邮票设计成长方形的,排版、打齿孔、使用都很方便,而且节约材料.
清一色的长方形邮票,看上去未免过于单调乏味,所以就有人设计和印制一些不是长方形的各种形状的邮票,统称为异形邮票.
世界上发行异形邮票最多的国家是塞拉利昂,这个国家先后发行了地图形邮票、钻石形邮票、可口可乐形邮票、香蕉形邮票等许多不同形状的邮票,非常有趣.不过这些异形邮票只能单枚印制,费时费力,没有能普遍推广使用.
在非矩形的邮票中,比较常见的是三角形邮票.这是因为,用全等的三角形也能铺满无限伸展的平面,把邮票设计成三角形的,排版、打齿孔、使用同样很方便,也比较节约材料,只是在一整版三角形邮票的四面边框附近有少许浪费.
用全等的矩形能铺满平面的原因,是由于矩形的每个内角都是直角.
用全等三角形能铺满平面的原因,是由于任意三角形的三内角之和等于180°.
世界上最早出现的三角形邮票,是1853年非洲好望角发行的,图案是“希望女神”,邮票的外形是等腰三角形.
实际上,绝大多数三角形邮票都采取等腰三角形的形状.
也有过不等边三角形的邮票,1869年,非洲的好望角发行了世界上第一枚不等边三角形邮票,邮票的三边长度互不相等.
不等边三角形同样可以铺满平面.但是实践下来,人们更多地采用等腰三角形的邮票,这可能因为等腰三角形具有对称性,包含更多的美的信息.
中国发行《中国“神舟”飞船首飞成功纪念》三角形邮票
图7-14
2000年11月20日,中国邮政部门发行一套三角形纪念邮票——《中国“神舟”飞船首飞成功纪念》,该套邮票共两枚,图案分别为“火箭腾飞”和“飞船遨游”.
图7-15
十、地砖上的数学
随着人们生活水平的提高,家庭装修已成为一种时尚追求.在家庭装饰中,地砖的铺设就是一项非常重要的美化工作.当你看到地砖铺成的美丽图案时,你是否想到展铺这美丽图案的数学原理呢?
请看下面的分析,相信通过对下文的阅读,你不仅能弄清楚本章有关瓷砖铺设问题中的数学道理,而且还可通过对丰富多彩的图案的欣赏,体验到数学的美,提高你的审美情趣.
地砖展铺的图形,一般都是用几种完全相同的平面图形展铺开来的,有时用由直线构成的多边形组成的图案,有时用由曲线组成的图案,千变万化,但是作为基础还是用平面多边形展铺平面.有时虽然有曲线,却常常是由多边形和圆作适当变化而得到的.例如,一个由正方形展铺的平面图案(如图(a)),如果对正方形用圆弧做一些变化(如图(b)),那么把两个以上图形结合起来设计,就可由比较单调的正方形图案,变化曲线形成花纹图案了(如图(c)).
图7-16
由于多边形是构成地砖展铺复杂图形的基础,因此,下面我们对利用多边形展铺平面图形做些简要分析,以解决为什么有些图形能不留一点空隙的将地面铺满,而有些图形则不能满足要求?
下面我们以怎样以三角形为基础展铺平面图案做出说明.
怎样以三角形为基础展铺平面图案?
三角形是多边形中最简单的图形,如果用三角形为基本图形来展铺平面图案,那么就要考虑三角形的特点.由于三角形的三个内角和为180°,所以要把三角形的三个角集中到一起,就组成了一个平角.如果要在平面上一个点的周围集中三角形的角,那么必须使这些角的和为两个平角.因此,若把图中的三角形的三个内角集中在一起,并经过轴对称或中心对称,就可以得到集中于一点的六个角,它们的和为360°,刚好覆盖上这一点周围的平面.对称的方法见图:
图7-17
在中心对称的情况下,三角形不翻折,在轴对称的情况下,三角形要翻折.如果把三角形正、反两面涂上颜色,那么通过对称,正、反两面就会明显地反映出来了.
由上面的分析可知,用三角形为基本图形展铺平面图案,共有以下四种情况,如图:
图7-18