平面图形的认识二中的十个问题.docx

1、平面图形的认识二中的十个问题一、关于“三线八角”我们把同位角、内错角、同旁内角统称为“三种角”，下面根据它们的定义，谈谈识别这“三种角”的方法，供大家学习时参考图71如图71：第一条直线a与第二条直线b（简称两条直线a、b）被第三条直线l所截（简称截线l）截得8个角（简称“三线八角”）图71中除有对顶角、邻补角外（具体的是哪些角请读者自己写出），还有这样的三组角：第一组角是1与5、2与6、3与8、4与7；第二组角是2与7、3与5；第三组角是2与5、3与7我们不难观察发现，这三组角都有一个共同的特点，这就是没有公共顶点且都有一条边在截线上第一组角是同位角，它们分别在两直线的同侧且在截线的同旁第二

2、组角是内错角，它们分别在两直线之间且在截线的两旁第三组角是同旁内角，它们分别在两直线之间且在截线的同旁识别“三种角”的关键是：先要看同一对角是由哪两条直线被哪条直线截得的；然后再由它们的位置关系来判断下面举例加以说明：问题：如图72，找出图中的“三种角”图72分析：（1）两直线AC、AD被直线EF所截，同位角有1与3、2与6；内错角有2与4；同旁内角有2与3（2）两直线AC、CE被直线AD所截，同位角有A与4；内错角有A与6；同旁内角有A与3（3）两直线AB、BC被直线AC所截，同位角没有；内错角有A与1；同旁内角有A与2由同学完成下面练习题：图73如图73：指出图中的同位角有_对；内错角有_

3、对；同旁内角有_对二、如何找点定位数同位角关于“三线八角”（两条直线被第三条直线所截，构成八个角）中角与角间的位置关系及相应的概念，理解、掌握起来是容易的，但在复杂图形中运用这些概念解决实际问题还需要一定的技巧现以同位角为例，向同学们介绍一种“找点定位数角法”例题如图74所示，OD、FH被OG所截，E在OG上，A、B、C在OD上，试求O的同位角个数图74分析与解：此题和类似题均可采取三步走一、找点根据同位角的概念可知，图中O的同位角的顶点分别为A、B、C、E、F（所有这些点都是“三线”中两线的交点，而P点就不是）二、定位O在E、F处的同位角分别以EG、FG为角的一边，均分布在截线OG的右侧；在

4、A、B、C处的同位角分别以AD、BD和CD为一边，均分布在截线OD的上方三、数角在E、F、A、B、C处所有符合方位要求的角分别有2、3、1、2、1个，总和为9个类似数内错角、同旁内角的问题均可采取这三个步骤：找点、定位、数角三、平行线及平行公理歌诀一个平面两直线，永不相交平行线（刻划了平行线定义）两线不交即平行，平行直线无交点（刻划了平行性质）线外一点划直线，只有一条平行线（指明平行公理）两线平行第三线，两线平行是显然（指明平行公理的推论）四、证明的必要性在几何中，除了公理以外，不管所论及的命题的结论是多么明显，都必须通过推理来证明这是因为：第一、直观有时会造成错觉，直观并不永远可信如在图75

5、中，线段AB好像小于线段AC；竖线好像比横线长；左图中心的圆好像比右图中心的圆小；上面一根横线好像比下面的一根长，但是，所有这些都是观察中的错觉如果用圆规，直尺认真地量一量，就会发现它们实际上是相等的这些例子说明直观并不可靠图75第二、通过对少数具体例子的观察，测量得出的结论，并不能保证“永远正确”，不能保证在一般情况下都成立第三、有时，图形的性质并不能通过测量得出例如：两条直线永不相交的性质就不可能通过实际测量来认定第四、通过推理的方法来研究图形，不仅可以使我们掌握许多无法通过观察、度量能得到的性质，而且可以揭示这些性质之间的内在联系，有利于对几何图形的研究因此，在几何中，除了公理以外，任何

6、一个命题的正确性，只有在进行了推理论证以后，才会得到认可而这种推理论证，就是借助于演绎推理来进行的五、观察与推理观察是就事物在自然条件下所发生的形态，通过感官认识对象的方法我们通过观察，可以得到许多知识几何中研究的物体的形状、大小、位置关系等，许多都是通过观察得来的不过，从观察得到的认识，是初步的，往往是不全面的，不深入的例如，我们在小学数学里观察过一些三角形三个角的和，得到“三角形三个角的和等于180”的结论那么，是不是所有的三角形都是这样的呢？为什么每个三角形三个角的和必然是180呢？只用观察的方法就不够了，而要在观察的基础上，一步一步地，有根有据地说明理由，这就是推理在学习平行线的判定方

7、法时，我们在观察和实验的基础上，得到了“同位角相等，两直线平行”接着，根据同位角与内错角的关系，推出了“内错角相等，两直线平行”的结论这说明，推理不仅可以使我们从观察实验得到的知识更全面、更深入，而且还可以进一步得到一些新知识学习几何离不开观察和实验，也需要掌握推理的方法以后，我们还将进一步学习推理的方法六、生活中的平移现象如果你是一个细心的孩子，你会发现在现实生活中存在着许许多多的平移现象，比如铁路线上运行的火车，风景区在空中平行移动的缆车，商场中经常见到的观光电梯，它们都在作平移运动我们已经掌握平移的基本涵义，下面来看几幅利用平移制作的美丽而又有趣的图案图76你是不是很想知道如何利用平移做

8、出有趣的图案？首先，你需要准备以下材料，描图纸或透明塑料片、具有大正方形网格的纸、彩色铅笔、钢笔如果你准备好了，那么请你按照下面的步骤动手操作，你就会亲手绘制出如此美丽的图案步骤1：在具有大正方形网格的图纸中挑出一个正方形，用曲线连结正方形的一条边AB的两端，称为曲线AB，如图77步骤2：把一张描图纸或透明塑料片覆盖在AB上，并用笔尖合适的钢笔在描图纸或透明塑料片上描出曲线AB，把复制的图形放在原来的图形之下，并把复制的图形向上平移，使得曲线AB的两个端点上升到CD的端点处在原来的图形上再次照描这条曲线，使得它现在连结了CD的两个端点，如图77步骤3：用连结点A、D的一条曲线重复这样的过程，即

9、用曲线连结正方形的一条边AD的两端，称为曲线AD，如图77步骤4：在描图纸或透明塑料片上照描出曲线AD，并且把它平移到对边BC处，如图77图77步骤5：当完成上述步骤后，在描图纸或透明塑料片上照描整个图形，并把它移动到下一个正方形处，将你的图形画满正方形的网格纸，就能创造出一种美丽的平移图案，如图78图78七、从三角形内角和想起三角形的内角和是180，那么三角形的外角和（当说到三角形外角和时，三角形的每一个顶点处的外角只算其中一个）是多少度呢？如下图78，ABCGBC180，BCAHCA180，CABFAB180图78所以ABCGBCBCAHCACABFAB3180540而ABCBCACAB1

10、80，所以GBCHCAFAB2180360，即三角形的外角和为360让ABC逐渐缩小，直至A、B、C 三个点重合（如图79所示），此时三角形的外角FAG，GBH，HCF 都变成了什么？图79一般地，凸多边形的外角和又是多少度呢？仍以凸五边形为例（如图710所示），凸多边形每一个内角与相邻的外角构成一个平角，即为180五个这样的平角为5180900但现在要求的是其外角和，所以还需减去其内角和，而内角和为3180，于是凸五边形的外角和为2180图710你会类似于三角形那样把凸五边形缩为一点，去想象它的外角和是多少度吗？当然，凸五边形的外角和还可以从“思维实验”的角度去想象：如图710，当从五边形的

11、顶点A出发面向B，按“ABCDEA ”行进一周时，你的视线转动了多少度？显然仍为360不管三角形的形状、位置和大小怎样，它们的内角和都是180，令人惊奇，而所有的凸多边形的外角和都是360，更令人惊叹难怪有人认为，外角和比内角和更能反映多边形的本质细心的同学会发现，我们在多边形的前面都加了一个“凸”字，凸多边形是什么意思呢？那是指“多边形总在任意一边所在直线的同一侧”人们自然会问：如果是凹多边形，其内、外角和又该是多少？这个问题请同学自己思考并解答八、三角形三内角和欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的比较1840年，俄国数学家罗巴切夫斯基发表了一种新几何学尽管高斯、波尔约和罗巴切夫斯基几乎同时各自独

12、立地发现了这种新几何学，但由于罗巴切夫斯基第一个无所畏惧地公开发表了他的结果，所以，今天人们把这种新几何称为“罗氏几何”罗巴切夫斯基从1815年开始试图证明平行公理，几年的努力都失败了，失败使他逐渐认识到证明平行公理或第五公设是不可能的1826年，身为大学教授的年轻的罗巴切夫斯基勇敢地抛弃了第五公设，提出了与欧几里得几何（简称欧氏几何）完全相反的公设：“过一点至少可以引两条直线与已知直线平行”后来人们把这个公设叫做“罗氏公理”由罗氏公理很容易推出以下结论：“过已知直线外一点可以引无数条直线与已知直线平行”罗巴切夫斯基保留了除平行公理以外的欧几里得的全部公理如果不涉及与平行有关的内容，罗巴切夫斯

13、基的新几何与欧几里得几何学没有任何不同但是只要与平行有关，那么结果就相差甚远下表对罗巴切夫斯基几何（简称罗氏几何）、欧氏几何不同的定理作了说明图711欧氏几何罗氏几何 三角形的三内角和等于180 o三角形的三内角和小于180 o；并且不同的三角形有不同的内角和存在矩形和相似形不存在矩形和相似形两个三角形的三个对应角相等则两个三角形相似两个三角形的三个对应角相等，则两个三角形全等两平行线之间的距离处处相等两平行线之间的距离，沿平行线的方向越来越小欧氏几何说：“三角形的三内角和等于180 o”现实生活中有没有这种几何模型呢？有！平面上的三角形的内角和就等于180 o，如图712左图罗氏几何说“三角

14、形的三内角和小于180o”难道现实生活中也会有这样的几何模型吗？有！1868年意大利数学家贝特拉米找到了一种曲面，人们给它起名叫“伪球面”在“伪球面”上可以证明：“三角形内角和小于180 o”，如图712中间的图图712现实生活中有没有“三角形的内角和大于180 o”的几何学？有！这是德国著名数学家黎曼于1854年提出来的，如图712右图黎曼生于德国汉诺威，父亲是牧师，他遵照父亲的愿望进入哥廷根大学学习哲学和神学可是进哥廷根大学后，他很快被数学所吸引于是就放弃神学专攻数学，并成为大数学家高斯的学生1851年他获得数学博士学位，博士论文受到高斯极高的评价1859年他成为哥廷根大学的教授，1866

15、年因患肺结核死于意大利，年仅40岁黎曼提出了一种与前两种几何完全不同的新几何，叫做“黎曼几何”黎曼几何的模型是球面，在黎曼几何中“三角形内角之和大于180 o.”后来，人们把罗氏几何和黎曼几何合在一起统称“非欧几何”非欧几何在现代物理中，特别是相对论提出之后找到了具体用处，使得非欧几何并不像有些人说的是“想象中的几何”，而成了有着重要现实意义的几何学九、三角形邮票大多数邮票是长方形的，偶尔也能看到三角形的邮票，下图就是一些三角形邮票的例子 图713在上图中，右上角的一张是中国1951年发行的第一套三角形的纪念邮票，名为“保卫世界和平”，图案是和平鸽，共计三张，面值分别是当时的人民币400元、8

16、00元和2200元（相当于现在的人民币4分、8分和22分）这是中国发行的第一套三角形邮票 用全等的长方形，不但能铺满平面，而且能铺满纸面上的一个长方形区域所以，把邮票设计成长方形的，排版、打齿孔、使用都很方便，而且节约材料 清一色的长方形邮票，看上去未免过于单调乏味，所以就有人设计和印制一些不是长方形的各种形状的邮票，统称为异形邮票 世界上发行异形邮票最多的国家是塞拉利昂，这个国家先后发行了地图形邮票、钻石形邮票、可口可乐形邮票、香蕉形邮票等许多不同形状的邮票，非常有趣不过这些异形邮票只能单枚印制，费时费力，没有能普遍推广使用 在非矩形的邮票中，比较常见的是三角形邮票这是因为，用全等的三角形也

17、能铺满无限伸展的平面，把邮票设计成三角形的，排版、打齿孔、使用同样很方便，也比较节约材料，只是在一整版三角形邮票的四面边框附近有少许浪费 用全等的矩形能铺满平面的原因，是由于矩形的每个内角都是直角 用全等三角形能铺满平面的原因，是由于任意三角形的三内角之和等于180世界上最早出现的三角形邮票，是1853年非洲好望角发行的，图案是“希望女神”，邮票的外形是等腰三角形 实际上，绝大多数三角形邮票都采取等腰三角形的形状 也有过不等边三角形的邮票，1869年，非洲的好望角发行了世界上第一枚不等边三角形邮票，邮票的三边长度互不相等 不等边三角形同样可以铺满平面但是实践下来，人们更多地采用等腰三角形的邮票

18、，这可能因为等腰三角形具有对称性，包含更多的美的信息中国发行中国“神舟”飞船首飞成功纪念三角形邮票图7142000年11月20日，中国邮政部门发行一套三角形纪念邮票中国“神舟”飞船首飞成功纪念，该套邮票共两枚，图案分别为“火箭腾飞”和“飞船遨游” 图715十、地砖上的数学随着人们生活水平的提高，家庭装修已成为一种时尚追求在家庭装饰中，地砖的铺设就是一项非常重要的美化工作当你看到地砖铺成的美丽图案时，你是否想到展铺这美丽图案的数学原理呢？请看下面的分析，相信通过对下文的阅读，你不仅能弄清楚本章有关瓷砖铺设问题中的数学道理，而且还可通过对丰富多彩的图案的欣赏，体验到数学的美，提高你的审美情趣地砖展

19、铺的图形，一般都是用几种完全相同的平面图形展铺开来的，有时用由直线构成的多边形组成的图案，有时用由曲线组成的图案，千变万化，但是作为基础还是用平面多边形展铺平面有时虽然有曲线，却常常是由多边形和圆作适当变化而得到的例如，一个由正方形展铺的平面图案（如图（a），如果对正方形用圆弧做一些变化（如图（b），那么把两个以上图形结合起来设计，就可由比较单调的正方形图案，变化曲线形成花纹图案了（如图（c）图716由于多边形是构成地砖展铺复杂图形的基础，因此，下面我们对利用多边形展铺平面图形做些简要分析，以解决为什么有些图形能不留一点空隙的将地面铺满，而有些图形则不能满足要求？下面我们以怎样以三角形为基础展

20、铺平面图案做出说明怎样以三角形为基础展铺平面图案？三角形是多边形中最简单的图形，如果用三角形为基本图形来展铺平面图案，那么就要考虑三角形的特点由于三角形的三个内角和为180，所以要把三角形的三个角集中到一起，就组成了一个平角如果要在平面上一个点的周围集中三角形的角，那么必须使这些角的和为两个平角因此，若把图中的三角形的三个内角集中在一起，并经过轴对称或中心对称，就可以得到集中于一点的六个角，它们的和为360，刚好覆盖上这一点周围的平面对称的方法见图：图717在中心对称的情况下，三角形不翻折，在轴对称的情况下，三角形要翻折如果把三角形正、反两面涂上颜色，那么通过对称，正、反两面就会明显地反映出来了由上面的分析可知，用三角形为基本图形展铺平面图案，共有以下四种情况，如图：图718