高中数学 第三章 导数应用5课时北师大版选修22.docx
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高中数学第三章导数应用5课时北师大版选修22
【金学案】2015年春高中数学第三章导数应用（5课时）北师大版选修2-2
知识点
新课程标准的要求
层次要求
领域目标要求
函数的单调性与极值
1.认识导数对于研究函数的变化规律的作用
2.会用导数的符号来判断函数的单调性
3.会利用导数确定函数的极值点和最值点
会从几何角度直观了解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）,会求一些实际问题的最大值和最小值,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性
在实际问题中的应用
1.进一步体会函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型
2.联系实际生活和其他学科,进一步体会导数的意义
3.从实际情境中抽象出一些基本的用导数刻画的问题,并加以解决
导数及其应用这部分内容,主要是在研究函数和解决实际问题中的应用.前者利用导数判断函数的单调性,求函数的单调区间及函数的极值与最值,利用导数画出函数图像的简图.后者利用函数解决实际问题.
本章的重点:
1.应用导数研究函数的单调性,求不超过三次的多项式函数的单调区间;2.利用导数与函数的知识解决实际生活中的优化问题.
本章的难点:
利用导数研究函数的极值和最值及应用问题.
教师在教学过程中应注意以下几点:
1.通过学生熟悉的基本初等函数引入导数与函数的单调性的关系.
2.从导数的角度重新认识基本初等函数的性质,深化和提高学生对基本初等函数的认识和理解.
3.利用导数探索和研究一些“复杂”的函数的图像和性质,在这个过程中体会导数在研究函数性质时的重要作用.
4.在利用导数解决实际问题的过程中,进一步培养学生数学建模的意识,让学生掌握利用导数解决实际问题的方法和步骤.
第1课时 导数与函数的单调性
1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.
2.会利用导数判断函数的单调性.
3.会利用导数求函数的单调区间.
重点:
利用导数判断函数的单调性及求函数的单调区间.
难点:
利用导数解决含有参数的函数单调性问题.
对于函数y=x3-3x,如何判断单调性呢?
你能画出该函数的图像吗?
定义法是解决问题的最根本方法,但定义法较繁琐,又不能画出它的图像,那该如何解决呢?
问题1:
增函数和减函数
一般地,设函数f（x）的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1（1）所示）
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f（x2）,那么就说函数f（x）在区间D上是 单调减函数 .（如图
（2）所示）
问题2:
单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数,就说这个函数在这个区间M上具有 单调性 ,区间M称为 单调区间 .
问题3:
判断函数的单调性有 图像法 和 定义法 ,图像法是作出函数图像,利用图像找出上升或下降的区间,得出结论.奇函数在两个对称的区间上具有 相同 的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有 相反 的单调性.定义法是利用函数单调性的定义进行判断,通过设变量、作差、变形、定号,得出结论.
作图并观察函数的图像,找出图像上升（或下降）的起点和终点的 横 坐标,从而得出单调递增（或递减）区间.
问题4:
根据导数与函数单调性的关系,在函数定义域的某个区间（a,b）内求函数单调区间的一般步骤:
（1）确定函数f（x）的定义域.
（2）求导数f'（x）.
（3）解不等式f'（x）>0或f'（x）<0,如果f'（x）>0,那么函数y=f（x）在这个区间内单调递 增 ;如果f'（x）<0,那么函数y=f（x）在这个区间内单调递 减 .
（4）写单调区间.
利用导数研究函数单调性时应注意的四个问题:
（1）在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中只能在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.
（2）在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的间断点.
（3）如果一个函数的单调区间不止一个,这些单调区间之间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字等隔开.
（4）如果函数在某个区间上,恒有f'（x）=0,则f（x）为该区间上的常数函数.如f（x）=3,则f'（x）=3'=0.
1.下列函数在（0,+∞）上是增函数的是（ ）.
A.y=-x2B.y=-x
C.y=x2-xD.y=x2
【解析】作出函数图像,观察图像可以得出函数y=x2在（0,+∞）上是增函数.
【答案】D
2.函数y=2-3x2在区间（-1,1）上的增减情况为（ ）.
A.增函数B.减函数
C.先增后减D.先减后增
【解析】作出函数图像,观察图像可以得出函数y=2-3x2在区间（-1,1）上先增后减.
也可通过导数研究,对于函数y=2-3x2,y'=-6x,故当x∈（-1,0）时,y'>0,函数递增;当x∈（0,1）时,y'<0,函数递减.
【答案】C
3.如果函数f（x）=x2+2（a-1）x+2在区间（-∞,4]上是减函数,那么a的取值范围是 .
【解析】已知函数的图像为开口向上的抛物线,对称轴为x=1-a,若在区间（-∞,4]上是减函数,则1-a≥4,故a≤-3.
【答案】（-∞,-3]
4.求函数y=x2-x的单调区间.
【解析】作出函数图像,观察图像可以得出函数在[,+∞）上是增函数,在（-∞,）上是减函数,所以函数y=x2-x的单调递增区间为[,+∞）,单调递减区间为（-∞,）.
也可通过导数研究,对于函数y=x2-x,y'=2x-1,当x∈[,+∞）时,y'>0,是增函数;当x∈（-∞,）时,y'<0,是减函数.
所以,函数y=x2-x的单调递增区间为[,+∞）,单调递减区间为（-∞,）.
求函数的单调区间
求函数f（x）=2x3-3x2-36x+16的单调区间.
【方法指导】先求f'（x）,再解不等式f'（x）>0和f'（x）<0即可得到函数f（x）的单调递增区间和单调递减区间.
【解析】f'（x）=6x2-6x-36=6（x+2）（x-3）.
由f'（x）>0,得x<-2或x>3;由f'（x）<0,得-2所以函数f（x）的递增区间为（-∞,-2）和（3,+∞）,
递减区间为（-2,3）.
【小结】利用导数求函数f（x）的单调区间的一般步骤是:
（1）确定函数f（x）的定义域;
（2）求导数f'（x）;
（3）在函数f（x）的定义域内解不等式f'（x）>0和f'（x）<0;
（4）根据（3）的结果确定函数f（x）的单调区间.
函数的变化快慢与导数的关系
如图,水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像.
【方法指导】根据导数与函数增长快慢的关系来找出对应的函数关系图像.
【解析】
（1）→B
（2）→A （3）→D （4）→C
【小结】通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出函数增减的快慢.从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后,我们就能根据函数图像大致画出导函数的图像,反之也可行.
含有参数的函数单调性问题
已知函数f（x）=x3+ax2+x+1,a∈R.
（1）讨论函数f（x）的单调区间;
（2）设函数f（x）在区间（-,-）内是减函数,求a的取值范围.
【方法指导】
（1）先求导数,然后解f'（x）=0,再分类讨论,求出单调区间;
（2）将问题转化为f'（x）<0在区间（-,-）内恒成立,结合二次函数性质,求出a的取值范围.
【解析】
（1）f'（x）=3x2+2ax+1,
当Δ=（2a）2-3×4=4a2-12≤0,即-≤a≤时,f'（x）≥0恒成立,此时,f（x）为单调递增函数,单调区间为（-∞,+∞）.
当Δ=（2a）2-3×4=4a2-12>0,即a>或a<-时,函数f'（x）存在零解.
此时,当x<或x>时,f'（x）>0,函数f（x）单调递增;
当综上,当-≤a≤时,f（x）的单调递增区间为（-∞,+∞）;当a>或a<-时,f（x）的单调递增区间为（-∞,）和（,+∞）,f（x）的单调递减区间为（,）.
（2）若函数f（x）在区间（-,-）内是减函数,则说明f'（x）=3x2+2ax+1=0的两根在区间（-,-）外,
因此f'（-）≤0,且f'（-）≤0,解得a≥2.
故a的取值范围是[2,+∞）.
【小结】将本题转化为解不等式f'（x）>0或f'（x）<0恒成立题型.
求下列函数f（x）=sinx（1+cosx）（0≤x<2π）的单调区间.
【解析】f'（x）=cosx（1+cosx）+sinx（-sinx）
=2cos2x+cosx-1=（2cosx-1）（cosx+1）.
因为0≤x<2π,所以cosx+1≥0,
由f'（x）>0,得0 由f'（x）<0,得故函数f（x）的单调递增区间为（0,）,（,2π）,
单调递减区间为（,）.
已知f'（x）是f（x）的导函数,f'（x）的图像如图所示,则f（x）的图像只可能是（ ）.
【解析】从f'（x）的图像可以看出,在区间（a,）内,导数递增;在区间（,b）内,导数递减.即函数f（x）的图像在（a,）内越来越陡,在（,b）内越来越平缓,故选D.
【答案】D
设f（x）=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.
【解析】f'（x）=3ax2+1,当a≥0时,f'（x）>0对x∈R恒成立,此时f（x）只有一个单调区间,矛盾;
当a<0时,∵f'（x）=3a（x+）（x-）,
此时f（x）恰有三个单调区间.
∴当a<0时,函数f（x）的单调减区间为（-∞,-）和（,+∞）,单调增区间为（-,）.
1.函数y=f（x）是定义在R上的可导函数,则“y=f（x）是R上的增函数”是“f'（x）>0”的（ ）.
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】函数y=x3,当x=0时,f'（0）=0,但y=x3是R上的增函数,故选B.
【答案】B
2.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是（ ）.
A.（,+∞）B.（-∞,）
C.[,+∞）D.（-∞,]
【解析】由已知函数是R上的单调函数,可得y'=3x2+2x+m≥0恒成立,判别式Δ=4-12m≤0,解得m≥,故选C.
【答案】C
3.函数y=x-lnx的单调递减区间是 .
【解析】定义域是（0,+∞）,由y'=1-=<0及定义域得0【答案】（0,1）
4.若函数y=x3+bx有三个单调区间,求实数b的取值范围.
【解析】因为已知函数有三个单调区间,所以y'=3x2+b=0有两个不同的实数根,即3x2=-b有两个不同的实数根,得b<0,所以实数b的取值范围是（-∞,0）.
（2013年·浙江卷）已知函数y=f（x）的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f'（x）的图像如右图所示,则该函数的图像是（ ）.
【解析】f'（x）在（-1,1）上由小到大,再由大到小,且均是正数,因此函数图像切线的斜率大于0,且在（-1,1）上由小到大,再由大到小,符合条件的函数为B.
【答案】B
1.函数y=3x-x3的单调递减区间是（ ）.
A.（-∞,-1）∪（1,+∞）
B.（-1,1）
C.（-∞,-1）和（1,+∞）
D.（1,+∞）
【解析】f'（x）=3-3x2=-3（x+1）（x-1）,令f'（x）<0,解得x>1或x<-1.
【答案】C
2.函数y=x+lnx的单调递增区间为（ ）.
A.（0,+∞） B.（-∞,-1）,（1,+∞）
C.（-1,0）D.（-1,1）
【解析】令y'=1+=>0,
得x>0或x<-1（舍去）,∴x>0.
【答案】A
3.函数y=f（x）在其定义域（-,3）内可导,其图像如图所示,记y=f（x）的导函数为y=f'（x）,则不等式f'（x）≤0的解集为 .
【解析】由函数的单调性知,
当-结合图像知不等式f'（x）≤0的解集为[-,1]∪[2,3）.
【答案】[-,1]∪[2,3）
4.求函数y=的单调区间.
【解析】函数的定义域为{x|x≠0},y'=-,
∵当x≠0时,y'=-<0恒成立,
∴函数y=的单调减区间为（-∞,0）,（0,+∞）,没有单调增区间.
5.若f（x）=x2-2x-4lnx,则f'（x）>0的解集为（ ）.
A.（0,+∞）B.（-1,0）∪（2,+∞）
C.（2,+∞）D.（-1,0）
【解析】f'（x）=2x-2-==.
令f'（x）>0,得x>2,∴f'（x）>0的解集为{x|x>2}.
【答案】C
6.设f（x）,g（x）在[a,b]上可导,且f'（x）>g'（x）,则当aA.f（x）>g（x）
B.f（x）C.f（x）+g（a）>g（x）+f（a）
D.f（x）+g（b）>g（x）+f（b）
【解析】∵f'（x）>g'（x）,∴[f（x）-g（x）]'=f'（x）-g'（x）>0,∴函数f（x）-g（x）在（a,b）上单调递增.
又af（a）-g（a）,
即f（x）+g（a）>g（x）+f（a）.
【答案】C
7.函数y=ax3-x在R上是减函数,则a的取值范围为 .
【解析】∵y'=3ax2-1,又函数y=ax3-x在R上是减函数,
∴y'=3ax2-1≤0在R上恒成立,
当x=0时,y'=3ax2-1≤0在R上显然成立;
当x≠0时,a≤在R上恒成立,∴a≤0.
【答案】（-∞,0]
8.已知函数f（x）=mx3+nx2（m、n∈R,m≠0）,函数f（x）的图像在点（2,f
（2））处的切线与x轴平行.
（1）用关于m的代数式表示n;
（2）求函数f（x）的单调增区间.
【解析】
（1）由已知条件得f'（x）=3mx2+2nx,
又f'
（2）=0,∴3m+n=0,故n=-3m.
（2）∵n=-3m,∴f（x）=mx3-3mx2,
∴f'（x）=3mx2-6mx.
令f'（x）>0,即3mx2-6mx>0,
当m>0时,解得x<0或x>2,则函数f（x）的单调增区间是（-∞,0）和（2,+∞）;
当m<0时,解得0综上,当m>0时,函数f（x）的单调增区间是（-∞,0）和（2,+∞）;
当m<0时,函数f（x）的单调增区间是（0,2）.
9.若x∈[0,2π],则函数y=sinx-xcosx的单调递增区间是 .
【解析】y'=xsinx,令y'>0,即xsinx>0,又x∈[0,2π],得0【答案】（0,π）
10.设函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8,其中a∈R,若f（x）在区间（-∞,0）上为增函数,求a的取值范围.
【解析】f'（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1）,
令f'（x）=0得x1=a,x2=1.
①当a<1时,若x∈（-∞,a）∪（1,+∞）,则f'（x）>0,
所以f（x）在（-∞,a）和（1,+∞）上为增函数,
故当0≤a<1时,f（x）在（-∞,0）上为增函数.
②当a≥1时,若x∈（-∞,1）∪（a,+∞）,则f'（x）>0,
所以f（x）在（-∞,1）和（a,+∞）上为增函数,
从而f（x）在（-∞,0）上也为增函数.
综上所述,a的取值范围为[0,+∞）.
第2课时 函数的极值
1.了解函数极值的概念,会从几何直观理解函数的极值与导数的关系,并会灵活应用.
2.掌握函数极值的判定及求法.
3.应用极值解决求参数值、参数取值范围、判断方程的根的个数等问题.
重点:
函数极值的判定及求法.
难点:
求含有参数的函数极值的方法与讨论.
若函数f（x）的定义域为区间（a,b）,导数f'（x）在（a,b）内的图像如图所示,用极值的定义你能判断函数f（x）在（a,b）内的极小值点有几个吗?
问题1:
判断函数y=f（x）的极值的一般方法
解方程f'（x）=0.当f'（x0）=0时:
（1）如果在x0附近的左侧f'（x0）>0,右侧f'（x0）<0,那么f（x0）是 极大值 ;
（2）如果在x0附近的左侧f'（x0）<0,右侧f'（x0）>0,那么f（x0）是 极小值 .
问题2:
用导数求函数极值的方法和步骤
如果y=f（x）在某个区间内有导数,则可以这样求它的极值.
第一步,求导数f'（x）.
第二步,求方程 f'（x）=0 的根x=x0.
第三步,判断x=x0是不是函数的极值点,若是,则求f（x0）的值,即为 极值 ,若不是,则 无极值 .
问题3:
函数的极值有助于分析函数的最值与值域吗?
与函数单调性的关系呢?
函数的极值有助于分析函数的最值或值域,其实质就是函数单调性的升华.
函数y=f（x）在一点的导数值为0是函数y=f（x）在这点取极值的必要条件而非充分条件.
函数在x0处取得极值,需要2个条件:
①f'（x0）=0;
②f'（x0）左、右导函数的值异号.
当x0;当x>x0时,f'（x）<0,x0是极大值点.
当xx0时,f'（x）>0,x0是极小值点.
因此,仅有f'（x0）=0不能得到x0是极值点.但若x0是极值点,则一定有f'（x0）=0.
1.已知f'（x0）=0,则下列结论中正确的是（ ）.
A.x0一定是极值点
B.如果在x0附近的左侧f'（x）>0,右侧f'（x）<0,那么f（x0）是极大值
C.如果在x0附近的左侧f'（x）>0,右侧f'（x）<0,那么f（x0）是极小值
D.如果在x0附近的左侧f'（x）<0,右侧f'（x）>0,那么f（x0）是极大值
【解析】直接根据极值概念判断,也可画出图像进行分析.
【答案】B
2.函数y=ax3+bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和,则（ ）.
A.a-2b=0 B.2a-b=0
C.2a+b=0D.a+2b=0
【解析】y'=3ax2+2bx,据题意,0、是方程3ax2+2bx=0的两根,∴-=,∴a+2b=0.
【答案】D
3.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13,则实数m= .
【解析】y'=-3x2+12x,由y'=0,得x=0或x=4,容易得出当x=4时函数取得极大值,所以-43+6×42+m=13,解得m=-19.
【答案】-19
4.若y=x3+kx在R上无极值,求k的取值范围.
【解析】y'=3x2+k,∵y=x3+kx在R上无极值,
∴y'≥0恒成立,∴k∈[0,+∞）.
函数的极值与导数的关系
求函数f（x）=x3-3x2-9x+5的极值与极值点.
【方法指导】按照求函数极值的步骤来解题.
【解析】f'（x）=3x2-6x-9.
解方程3x2-6x-9=0,得x1=-1,x2=3.
当x变化时,f'（x）,f（x）的变化情况如下表:
x
（-∞,-1）
-1
（-1,3）
3
（3,+∞）
f'（x）
+
0
-
0
+
f（x）
↗
10
↘
-22
↗
由表可知:
当x=-1时,f（x）有极大值f（-1）=10,x=-1是极大值点;当x=3时,f（x）有极小值f（3）=-22,x=3是极小值点.
【小结】求可导函数f（x）的极值的步骤:
（1）确定函数f（x）的定义区间,求导数f'（x）;
（2）求方程f'（x）=0的根;
（3）用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间,并列成表格.检测f'（x）在方程根左右两侧的值的符号,如果左正右负,那么f（x）在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f（x）在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f（x）在这个根处无极值.
利用函数极值确定参数的值
已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,求常数a,b的值.
【方法指导】根据函数f（x）在x=-1时有极值0,可知,得出关于a,b的方程组即可求出a,b的值.
【解析】因为f（x）在x=-1时有极值0,
且f'（x）=3x2+6ax+b,
所以即
解得或
当a=1,b=3时,f'（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0,
所以f（x）在R上为增函数,无极值,故舍去.
当a=2,b=9时,f'（x）=3x2+12x+9=3（x+1）（x+3）.
当x∈（-3,-1）时,f（x）为减函数;当x∈（-1,+∞）时,f（x）为增函数,
所以f（x）在x=-1时取得极小值,因此a=2,b=9.
【小结】
（1）利用函数的极值确定参数的值,常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
（2）因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件,所以利用待定系数法求解后,必须验证根的合理性.
含有参数的函数极值的方法与讨论
已知函数f（x）=x3-3ax-1,a≠0.
（1）求f（x）的单调区间;
（2）若f（x）在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f（x）的图像有三个不同的交点,求m的取值范围.
【方法指导】
（1）利用导数求单调区间和极值.
（2）先由题设条件求出a的值,再由
（1）的结论,将问题转化为y=f（x）和y=m的图像有3个不同的交点,利用数形结合的方法求解.
【解析】
（1）f'（x）=3x2-3a=3（x2-a）.
当a<0时,对x∈R,有f'（x）>0,
∴当a<0时,函数f（x）的单调增区间为（-∞,+∞）;
当a>0时,由f'（x）>0解得x<-或x>,
由f'（x）<0解得-∴当a>0时,f（x）的单调增区间为（-∞,-）,（,+∞）,f（x）的单调减区间为（-,）.
（2）∵f（x）在x=-1处取得极值,
∴f'（-1）=3×（-1）2-3a=0,∴a=1.
∴f（x）=x3-3x-1,f'（x）=3x2-3.
由f'（x）=0解得x1=-1,x2=1.
由
（1）中f（x）的单调性可知,f（x）在x=-1处取得极大值f（-1）=1,在x=1处取得极小值f
（1）=-3.
∵直线y=m与函数y=f（x）的图像有三个不同的交点,
又f（-3）=-19<-3,f（3）=17>1,
结合f（x）的单调性可知m的取值范围是（-3,1）.
【小结】
（1）求解不等式时,要对字母a进行讨论;
（2）将问题转化为求函数的极大值和极小值,再利用数形结合的思想方法,就可求出m的范围.
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