初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习.docx
《初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习
初二二次根式所有知识点总结和常考题
知识点：
1、二次根式：
形如
的式子。
二次根式必须满足：
含有二次根号“
”；被开方数a必须是非负数。
非负性
2、最简二次根式：
满足：
被开方数不含分母；
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
3、化最简二次根式的方法和步骤：
（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、二次根式有关公式
（1）
（2）
（3）乘法公式
（4）除法公式
4、二次根式的加减法则：
先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
5、二次根式混合运算顺序：
先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。
常考题：
一．选择题（共14小题）
1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣且x≠1B．x≠1C．D．
3．下列计算错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．估计的运算结果应在（ ）
A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间
5．如果=1﹣2a，则（ ）
A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥
6．若=（x+y）2，则x﹣y的值为（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
7．是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
9．k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？
（ ）
A．k＜m=nB．m=n＜kC．m＜n＜kD．m＜k＜n
10．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定
11．把根号外的因式移入根号内得（ ）
A．B．C．D．
12．已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12B．11C．8D．3
13．若式子有意义，则点P（a，b）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
14．已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（ ）
A．9B．±3C．3D．5
二．填空题（共13小题）
15．实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+= ．
16．计算：
的结果是 ．
17．化简：
（﹣）﹣﹣|﹣3|= ．
18．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= ．
19．定义运算“@”的运算法则为：
x@y=，则（2@6）@8= ．
20．化简×﹣4××（1﹣）0的结果是 ．
21．计算：
﹣﹣= ．
22．三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为 cm．
23．如果最简二次根式与能合并，那么a= ．
24．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是 ．（结果保留根号）
25．实数p在数轴上的位置如图所示，化简= ．
26．计算：
= ．
27．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= ．
三．解答题（共13小题）
28．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）
==
（二）
===﹣1（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
====﹣1（四）
（1）请用不同的方法化简．
（2）?
参照（三）式得= ；
‚参照（四）式得= ．
（3）化简：
+++…+．
29．计算：
（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．
30．先化简，再求值：
，其中．
31．先化简，再求值：
，其中x=1+，y=1﹣．
32．先化简，再求值：
，其中．
33．已知a=，求的值．
34．对于题目“化简并求值：
+，其中a=”，甲、乙两人的解答不同．
甲的解答：
+=+=+﹣a=﹣a=；
乙的解答：
+=+=+a﹣=a=．
请你判断谁的答案是错误的，为什么？
35．一个三角形的三边长分别为、、
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
36．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：
…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：
s=…②（其中p=．）
（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；
（2）你能否由公式①推导出公式②？
请试试．
37．已知：
，，求代数式x2﹣xy+y2值．
38．计算或化简：
（1）；
（2）（a＞0，b＞0）．
39．先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：
==±（a＞b）．
例如：
化简．
解：
首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12
即+=7，×=
∴===2+．
由上述例题的方法化简：
．
40．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：
a= ，b= ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：
+ =（ + ）2；
（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？
初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习（含答案解析）
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．（2005•岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．
【解答】解：
因为：
B、=4；
C、=；
D、=2；
所以这三项都不是最简二次根式．故选A．
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．
2．（2013•娄底）式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣且x≠1B．x≠1C．D．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
【解答】解：
根据题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣且x≠1．
故选A．
【点评】本题考查的知识点为：
分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
3．（2007•荆州）下列计算错误的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．
【解答】解：
A、==7，正确；
B、==2，正确；
C、+=3+5=8，正确；
D、，故错误．故选D．
【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
4．（2008•芜湖）估计的运算结果应在（ ）
A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间
【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算．
【解答】解：
∵=4+，而4＜＜5，
∴原式运算的结果在8到9之间；
故选C．
【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
5．（2011•烟台）如果=1﹣2a，则（ ）
A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥
【分析】由已知得1﹣2a≥0，从而得出a的取值范围即可．
【解答】解：
∵，
∴1﹣2a≥0，
解得a≤．
故选：
B．
【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握．
6．（2009•荆门）若=（x+y）2，则x﹣y的值为（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
【分析】先根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可求出x、y的值，再代入代数式即可．
【解答】解：
∵=（x+y）2有意义，
∴x﹣1≥0且1﹣x≥0，
∴x=1，y=﹣1，
∴x﹣y=1﹣（﹣1）=2．
故选：
C．
【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质：
概念：
式子（a≥0）叫二次根式；
性质：
二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
7．（2012秋•麻城市校级期末）是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】本题可将24拆成4×6，先把化简为2，所以只要乘以6得出62即可得出整数，由此可得出n的值．
【解答】解：
∵==2，
∴当n=6时，=6，
∴原式=2=12，
∴n的最小值为6．
故选：
C．
【点评】本题考查的是二次根式的性质．本题还可将选项代入根式中看是否能开得尽方，若能则为答案．
8．（2013•佛山）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】分子、分母同时乘以（+1）即可．
【解答】解：
原式===2+．
故选：
D．
【点评】本题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
9．（2013•台湾）k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？
（ ）
A．k＜m=nB．m=n＜kC．m＜n＜kD．m＜k＜n
【分析】根据二次根式的化简公式得到k，m及n的值，即可作出判断．
【解答】解：
=3，=15，=6，
可得：
k=3，m=2，n=5，
则m＜k＜n．
故选：
D
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
10．（2011•菏泽）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定
【分析】先从实数a在数轴上的位置，得出a的取值范围，然后求出（a﹣4）和（a﹣11）的取值范围，再开方化简．
【解答】解：
从实数a在数轴上的位置可得，
5＜a＜10，
所以a﹣4＞0，
a﹣11＜0，
则，
=a﹣4+11﹣a，
=7．
故选A．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念．
11．（2013秋•五莲县期末）把根号外的因式移入根号内得（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答．
【解答】解：
∵成立，
∴﹣＞0，即m＜0，
原式=﹣=﹣．
故选：
D．
【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．
二次根式成立的条件：
被开方数大于等于0，含分母的分母不为0．
12．（2009•绵阳）已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12B．11C．8D．3
【分析】如果实数n取最大值，那么12﹣n有最小值；又知是正整数，而最小的正整数是1，则等于1，从而得出结果．
【解答】解：
当等于最小的正整数1时，n取最大值，则n=11．故选B．
【点评】此题的关键是分析当等于最小的正整数1时，n取最大值．
13．（2005•辽宁）若式子有意义，则点P（a，b）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数和分母不为0，对a、b的取值范围进行判断．
【解答】解：
要使这个式子有意义，必须有﹣a≥0，ab＞0，
∴a＜0，b＜0，
∴点（a，b）在第三象限．
故选C．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，以及各象限内点的坐标的符号．
14．（2013•上城区一模）已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（ ）
A．9B．±3C．3D．5
【分析】原式变形为，由已知易得m+n=2，mn=（1+）（1﹣）=﹣1，然后整体代入计算即可．
【解答】解：
m+n=2，mn=（1+）（1﹣）=﹣1，
原式====3．
故选：
C．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：
先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算．
二．填空题（共13小题）
15．（2004•山西）实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+= 1 ．
【分析】根据数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大，分别得出a﹣1与0，a﹣2与0的关系，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义化简．
【解答】解：
根据数轴上显示的数据可知：
1＜a＜2，
∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，
∴|a﹣1|+=a﹣1+2﹣a=1．
故答案为：
1．
【点评】本题主要考查了数轴，绝对值的意义和根据二次根式的意义化简．
二次根式的化简规律总结：
当a≥0时，=a；当a≤0时，=﹣a．
16．（2013•南京）计算：
的结果是 ．
【分析】先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：
原式=﹣=．
故答案为：
．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
17．（2013•泰安）化简：
（﹣）﹣﹣|﹣3|= ﹣6 ．
【分析】根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可．
【解答】解：
（﹣）﹣﹣|﹣3|
=﹣3﹣2﹣（3﹣），
=﹣6．
故答案为：
﹣6．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简与混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
18．（2006•广安）如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= 5 ．
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程求解．
【解答】解：
∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴3a﹣8=17﹣2a，解得：
a=5．
【点评】此题主要考查最简二次根式和同类二次根式的定义．
19．（2007•芜湖）定义运算“@”的运算法则为：
x@y=，则（2@6）@8= 6 ．
【分析】认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．
【解答】解：
∵x@y=，
∴（2@6）@8=@8=4@8==6，
故答案为：
6．
【点评】解答此类题目的关键是认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．
20．（2014•荆州）化简×﹣4××（1﹣）0的结果是 ．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义计算得到原式=2﹣，然后合并即可．
【解答】解：
原式=2×﹣4××1
=2﹣
=．
故答案为：
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：
先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．
21．（2014•广元）计算：
﹣﹣= ﹣2 ．
【分析】分别进行分母有理化、二次根式的化简，然后合并求解．
【解答】解：
=
=﹣2．
故答案为：
﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，本题涉及了分母有理化、二次根式的化简等运算，属于基础题．
22．（2013•宜城市模拟）三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为 5 cm．
【分析】三角形的三边长的和为三角形的周长，所以这个三角形的周长为++，化简合并同类二次根式．
【解答】解：
这个三角形的周长为++=2+2+3=5+2（cm）．
故答案为：
5+2（cm）．
【点评】本题考查了运用二次根式的加减解决实际问题．
23．（2012秋•浏阳市校级期中）如果最简二次根式与能合并，那么a= 1 ．
【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．
【解答】解：
根据题意得，1+a=4a﹣2，
移项合并，得3a=3，
系数化为1，得a=1．
故答案为：
1．
【点评】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．
24．（2006•宿迁）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是 2﹣2 ．（结果保留根号）
【分析】根据题意可知，两相邻正方形的边长分别是和，由图知，矩形的长和宽分别为+、，所以矩形的面积是为（+）•=2+6，即可求得矩形内阴影部分的面积．
【解答】解：
矩形内阴影部分的面积是
（+）•﹣2﹣6=2+6﹣2﹣6=2﹣2．
【点评】本题要运用数形结合的思想，注意观察各图形间的联系，是解决问题的关键．
25．（2003•河南）实数p在数轴上的位置如图所示，化简= 1 ．
【分析】根据数轴确定p的取值范围，再利用二次根式的性质化简．
【解答】解：
由数轴可得，1＜p＜2，
∴p﹣1＞0，p﹣2＜0，
∴=p﹣1+2﹣p=1．
【点评】此题从数轴读取p的取值范围是关键．
26．（2009•泸州）计算：
= 2 ．
【分析】运用二次根式的性质：
=|a|，由于2＞，故=2﹣．
【解答】解：
原式=2﹣+=2．
【点评】合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
27．（2011•凉山州）已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= ．
【分析】只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用﹣a表示．再分别代入amn+bn2=1进行计算．
【解答】解：
因为2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．
把m=2，n=3﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1
化简得（6a+16b）﹣（2a+6b）=1，
等式两边相对照，因为结果不含，
所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=，b=﹣．
所以2a+b=3﹣=．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．
三．解答题（共13小题）
28．（2009•邵阳）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）
==
（二）
===﹣1（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
====﹣1（四）
（1）请用不同的方法化简．
（2）?
参照（三）式得= ；
‚参照（四）式得= ．
（3）化简：
+++…+．
【分析】
（1）中，通过观察，发现：
分母有理化的两种方法：
1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；
（2）中，注意找规律：
分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．
【解答】解：
（1）=，
=；
（2）原式=
+…+
=++…+
=．
【点评】学会分母有理化的两种方法．
29．（2014•张家界）计算：
（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式得到原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2，然后合并即可．
【解答】解：
原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2
=﹣7+3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：
先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．
30．（2009•广州）先化简，再求值：
，其中．
【分析】本题的关键是对整式化简，然后把给定的值代入求值．
【解答】解：
原式=a2﹣3﹣a2+6a=6a﹣3，
当a=时，
原式=6+3﹣3=6．
【点评】本题主要考查整式的运算、平方差公式等基本知识，考查基本的代数计算能力．注意先化简，再代入求值．
31．（2005•沈阳）先化简，再求值：
，其中x=1+，y=1﹣．
【分析】这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．
【解答】解：
原式=
=
=；
当x=1+，y=1﹣时，
原式=．
【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
32．（2010•莱芜）先化简，再求值：
，其中．
【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．本题注意x﹣2看作一个整体．
【解答】解：
原式=
=
=
=﹣（x+4），
当时，
原式===．
【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
33．（2008•余姚市校级自主招生）已知a=，求的值．
【分析】先化简，再代入求值即可．
【解答】解：
∵a=，
∴a=2﹣＜1，
∴原式=﹣
=a﹣1﹣
=a﹣1+
=2﹣﹣1+2+
=4﹣1
=3．
【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，将二次根式的化简是解此题的关键．
34．（2002•辽宁）对于题目“化简并求值：
+，其中a=”，甲、乙两人的解答不同．
甲的解答：
+=+=+﹣a=﹣a=；
乙的解答：
+=+=+a﹣=a=．
请你判断谁的答案是错误的，为什么？
【分析】因为a=时，a﹣=﹣5=﹣4＜0，所以≠a﹣，故错误的是乙．
【解答】解：
甲的解答：
a=时，﹣a=5﹣=4＞0，所以=﹣a，正确；
乙的解答：
因为a=时，a﹣=﹣5=﹣4＜0，所以≠a﹣，错误；
因此，我们可以判断乙的解答是错误的．
【点评】应熟练掌握二次根式的性质：
=﹣a（a≤0）．
35．（2011•上城区二模）一个三角形的三边长分别为、、
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
【分析】把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
【解答】解：
（1）周长=++
=
=，
（2）当x=20时，周长=，
（或当x=时，周长=等）
【点评】对于第
（2）答案不唯一，但要注意必须符合题意．
36．（2005•台州）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：
…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：
s=…②（其中p=．）
（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式
升级会员 