立体几何点线面关系.docx
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立体几何点线面关系
立体几何
第二节
空间点、直线、平面之间的位置关系
本节主要包括2个知识点：
1.平面的基本性质；2.空间两直线的位置关系.
突破点
（一） 平面的基本性质
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1．公理1～3
表示
公理
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
⇒l⊂α
公理2
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
2．公理2的三个推论
推论1：
经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：
经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：
经过两条平行直线有且只有一个平面．
考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
点、线、面的位置关系
1．证明点共线问题的常用方法
（1）公理法：
先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上；
（2）同一法：
选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．
2．证明线共点问题的方法
先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．
3．证明点、直线共面问题的常用方法
（1）纳入平面法：
先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；
（2）辅助平面法：
先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
[典例] 已知：
空间四边形ABCD（如图所示），E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝
BC，CH＝
DC.求证：
（1）E，F，G，H四点共面；
（2）三直线FH，EG，AC共点．
[方法技巧]
平面的基本性质的应用
公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（ ）
2．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（ ）
A．至多等于3B．至多等于4
C．等于5D．大于5
3．以下四个命题中，正确命题的个数是（ ）
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0B．1
C．2D．3
4.如图所示，四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形，BC綊
AD，BE綊
FA，G，H分别为FA，FD的中点．
（1）证明：
四边形BCHG是平行四边形；
（2）C，D，F，E四点是否共面？
为什么？
突破点
（二） 空间两直线的位置关系
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1．空间中两直线的位置关系
（1）空间中两直线的位置关系
（2）公理4和等角定理
①公理4：
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
②等角定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
2．异面直线所成的角
（1）定义：
设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．
（2）范围：
.
考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
空间两直线位置关系的判定
[例1]
（1）下列结论正确的是（ ）
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；
②平行于同一条直线的两条直线平行；
③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；
④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.
A．①②③B．②④
C．③④D．②③
（2）在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．（填上所有正确答案的序号）
[方法技巧]
判断空间两直线位置关系的思路方法
（1）判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．
（2）异面直线的判定方法
①反证法：
先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
②定理法：
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
异面直线所成的角
[例2] 空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
[方法技巧]
用平移法求异面直线所成的角的步骤
（1）一作：
即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
（2）二证：
即证明作出的角是异面直线所成的角；
（3）三求：
解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]下列说法正确的是（ ）
A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线
B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面
D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
2．[考点一]l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
3．[考点二]如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．
4．[考点一、二]如图所示，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，
∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．
（1）求证AE与PB是异面直线；
（2）求异面直线AE与PB所成角的余弦值．
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.（2016·全国乙卷）平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
2．（2013·新课标全国卷Ⅱ）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（ ）
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
3．（2016·全国甲卷）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．（填写所有正确命题的编号）
[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：
A，B，C，D四点不共面，命题乙：
直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是（ ）
A．b⊂α
B．b∥α
C．b⊂α或b∥α
D．b与α相交或b⊂α或b∥α
4.如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．若直线上有两个点在平面外，则（ ）
A．直线上至少有一个点在平面内B．直线上有无穷多个点在平面内
C．直线上所有点都在平面外D．直线上至多有一个点在平面内
2．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是（ ）
A．6
B．12C．12
D．24
3．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（ ）
A．l1⊥l4B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定
4．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是（ ）
A．相交或平行B．相交或异面
C．平行或异面D．相交、平行或异面
5.如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（ ）
A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面
6．过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
二、填空题
7.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且
＝
＝
，则下列说法正确的是________．（填写所有正确说法的序号）
①EF与GH平行②EF与GH异面
③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
④EF与GH的交点M一定在直线AC上
8．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对．
9．已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c.
①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；
②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；
③若a∥b，则必有a∥c；
④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β.
其中正确的命题有________．（填写所有正确命题的序号）
10.如图，在三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．
三、解答题
11.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
（1）求证：
直线EF与BD是异面直线；
（2）若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
12.如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝
，AB＝2，AC＝2
，PA＝2.求：
（1）三棱锥PABC的体积；
（2）异面直线BC与AD所成角的余弦值．
立体几何
第二节
空间点、直线、平面之间的位置关系
本节主要包括2个知识点：
1.平面的基本性质；2.空间两直线的位置关系.
突破点
（一） 平面的基本性质
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1．公理1～3
表示
公理
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
⇒l⊂α
公理2
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
2．公理2的三个推论
推论1：
经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：
经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：
经过两条平行直线有且只有一个平面．
考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
点、线、面的位置关系
1．证明点共线问题的常用方法
（1）公理法：
先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上；
（2）同一法：
选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．
2．证明线共点问题的方法
先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．
3．证明点、直线共面问题的常用方法
（1）纳入平面法：
先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；
（2）辅助平面法：
先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
[典例] 已知：
空间四边形ABCD（如图所示），E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝
BC，CH＝
DC.求证：
（1）E，F，G，H四点共面；
（2）三直线FH，EG，AC共点．
[证明]
（1）连接EF，GH，
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF∥BD.
又∵CG＝
BC，CH＝
DC，
∴GH∥BD，∴EF∥GH，
∴E，F，G，H四点共面．
（2）易知FH与直线AC不平行，但共面，
∴设FH∩AC＝M，
∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.
又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，
∴M∈EG，
∴FH，EG，AC共点．
[方法技巧]
平面的基本性质的应用
公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（ ）
解析：
选D A、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面．
2．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（ ）
A．至多等于3B．至多等于4
C．等于5D．大于5
解析：
选B n＝2时，可以；n＝3时，为正三角形，可以；n＝4时，为正四面体，可以；n＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，这种情况不可能出现，所以正整数n的取值至多等于4.
3．以下四个命题中，正确命题的个数是（ ）
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0B．1
C．2D．3
解析：
选B ①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故只有①正确．
4.如图所示，四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形，BC綊
AD，BE綊
FA，G，H分别为FA，FD的中点．
（1）证明：
四边形BCHG是平行四边形；
（2）C，D，F，E四点是否共面？
为什么？
解：
（1）证明：
由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊
AD.又∵BC綊
AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG为平行四边形．
（2）C，D，F，E四点共面，证明如下：
由BE綊
AF，G为FA的中点知BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由
（1）知BG∥CH，∴EF∥CH.∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．
突破点
（二） 空间两直线的位置关系
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1．空间中两直线的位置关系
（1）空间中两直线的位置关系
（2）公理4和等角定理
①公理4：
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
②等角定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
2．异面直线所成的角
（1）定义：
设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．
（2）范围：
.
考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
空间两直线位置关系的判定
[例1]
（1）下列结论正确的是（ ）
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；
②平行于同一条直线的两条直线平行；
③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；
④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.
A．①②③B．②④
C．③④D．②③
（2）在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．（填上所有正确答案的序号）
[解析]
（1）①错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；②由公理4可知正确；③错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；④由平行直线的传递性可知正确．故选B.
（2）图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．
[答案]
（1）B
（2）②④
[方法技巧]
判断空间两直线位置关系的思路方法
（1）判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．
（2）异面直线的判定方法
①反证法：
先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
②定理法：
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
异面直线所成的角
[例2] 空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．
[解] 取AC的中点G，连接EG，FG，则EG綊
AB，FG綊
CD，
由AB＝CD知EG＝FG，
∴∠GEF（或它的补角）为EF与AB所成的角，∠EGF（或它的补角）为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°.
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.
[方法技巧]
用平移法求异面直线所成的角的步骤
（1）一作：
即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
（2）二证：
即证明作出的角是异面直线所成的角；
（3）三求：
解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]下列说法正确的是（ ）
A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线
B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面
D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
解析：
选D 由异面直线的定义可知D正确．
2．[考点一]l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
解析：
选B 若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1，l3有三种位置关系，可能平行、相交或异面，A不正确；当l1∥l2∥l3或l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3可能共面，也可能不共面，C，D不正确；当l1⊥l2，l2∥l3时，则有l1⊥l3，故选B.
3．[考点二]如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．
解析：
如图，将原图补成正方体ABCDQGHP，连接GP，AG，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，在△AGP中AG＝GP＝AP，所以∠APG＝
.
答案：
4．[考点一、二]如图所示，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．
（1）求证AE与PB是异面直线；
（2）求异面直线AE与PB所成角的余弦值．
解：
（1）证明：
假设AE与PB共面，设平面为α，∵A∈α，B∈α，E∈α，
∴平面α即为平面ABE，∴P∈平面ABE，
这与P∉平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线．
（2）取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，所以∠AEF（或其补角）就是异面直线AE与PB所成的角．
∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝
，AE＝
，EF＝
，cos∠AEF＝
＝
＝
，故异面直线AE与PB所成角的余弦值为
.
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.（2016·全国乙卷）平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选A 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1的上方接一个同等大小的正方体ABCDA2B2C2D2，则过A与平面CB1D1平行的是平面AB2D2，即平面α就是平面AB2D2，平面AB2D2∩平面ABB1A1＝AB2，即直线n就是直线AB2，由面面平行的性质定理知直线m平行于直线B2D2，故m，n所成的角就等于AB2与B2D2所成的角，在等边三角形AB2D2中，∠AB2D2＝60°，故其正弦值为
.故选A.
2．（2013·新课标全国卷Ⅱ）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（ ）
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
解析：
选D 由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.
3．（2016·全国甲卷）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．（填写所有正确命题的编号）
解析：
对于①，α，β可能平行，也可能相交但不垂直，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．
答案：
②③④
[课时达标检测]重点保分课时——一
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