立体几何点线面关系.docx

1、立体几何点线面关系立体几何第二节空间点、直线、平面之间的位置关系本节主要包括2个知识点：1.平面的基本性质； 2.空间两直线的位置关系.突破点(一)平面的基本性质基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1公理13 表示公理文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 l公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线有且只有一个平面，使A，B，C公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且Pl，且Pl2公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只

2、有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”点、线、面的位置关系1证明点共线问题的常用方法(1)公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上；(2)同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上2证明线共点问题的方法先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点3证明点、直线共面问题的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合典例已知：空间四边形ABCD(如图所示)，E，F

3、分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CGBC，CHDC.求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)三直线FH，EG，AC共点方法技巧平面的基本性质的应用公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()2若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A至多等于3 B至多等于4C等于5 D大于53以下四个命题中，正确命题的个数是()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若

4、点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0 B1 C2 D34.如图所示，四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？突破点(二)空间两直线的位置关系基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系(2)公理4和等角定理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两

5、个角相等或互补2异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)范围：.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”空间两直线位置关系的判定例1(1)下列结论正确的是()在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；平行于同一条直线的两条直线平行；一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；空间四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.A BC D(2)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案

6、的序号)方法技巧判断空间两直线位置关系的思路方法(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断(2)异面直线的判定方法反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线异面直线所成的角例2空间四边形ABCD中，ABCD且AB与CD所成的角为30，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小方法技巧用平移法求异面直线所成的角的步骤(1)一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：

7、即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1考点一下列说法正确的是()A若a，b，则a与b是异面直线B若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C若a，b不同在平面内，则a与b异面D若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面2考点一l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3 Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面 Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面3考点二如图，四边形ABC

8、D和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为_4考点一、二如图所示，三棱锥PABC中， PA平面ABC，BAC60，PAABAC2，E是PC的中点(1)求证AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值全国卷5年真题集中演练明规律 1.(2016全国乙卷)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A. B. C. D.2(2013新课标全国卷)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，

9、且交线平行于l3(2016全国甲卷)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)课时达标检测 重点保分课时一练小题夯双基，二练题点过高考 练基础小题强化运算能力1四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有()A4个 B3个 C2个 D1个2已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3若直线ab，且直线a

10、平面，则直线b与平面的位置关系是()Ab BbCb或b Db与相交或b或b4.如图，平行六面体ABCD A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有_条练常考题点检验高考能力一、选择题1若直线上有两个点在平面外，则()A直线上至少有一个点在平面内 B直线上有无穷多个点在平面内C直线上所有点都在平面外 D直线上至多有一个点在平面内2空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45，连接各边中点所得四边形的面积是()A6 B12 C12 D243若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4 Bl1l4Cl1与l4既

11、不垂直也不平行 Dl1与l4的位置关系不确定4已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A相交或平行 B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面5.如图，ABCD A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()AA，M，O三点共线 BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面 DB，B1，O，M共面6过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A1条 B2条 C3条 D4条二、填空题7.如图所示，在空间四边形ABC

12、D中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则下列说法正确的是_(填写所有正确说法的序号)EF与GH平行 EF与GH异面EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上EF与GH的交点M一定在直线AC上8如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有_对9已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面，b平面，c.若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；若ab，则必有ac；若ab，ac，则必有.其中正确的命题有_(填写所有正确命题的序号)10.如图，在三棱锥ABCD中，A

13、BACBDCD3，ADBC2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_三、解答题11.如图所示，A是BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角12.如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值立体几何第二节空间点、直线、平面之间的位置关系本节主要包括2个知识点：1.平面的基本性质； 2.空间两直线的位置关系.突破点(一)平面的基本性质基础联通 抓主干知

14、识的“源”与“流”1公理13 表示公理文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 l公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线有且只有一个平面，使A，B，C公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且Pl，且Pl2公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”点、线、面的位置关系1证明点共线问题的常用方法(1)公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都

15、是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上；(2)同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上2证明线共点问题的方法先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点3证明点、直线共面问题的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合典例已知：空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CGBC，CHDC.求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)三直线FH，EG，AC共点证明(1)连接EF，GH，E，F分别

16、是AB，AD的中点，EFBD.又CGBC，CHDC，GHBD，EFGH，E，F，G，H四点共面(2)易知FH与直线AC不平行，但共面，设FHACM，M平面EFHG，M平面ABC.又平面EFHG平面ABCEG，MEG，FH，EG，AC共点方法技巧平面的基本性质的应用公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()解析：选DA、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面2若空间中n个不同的点两两距离都相

17、等，则正整数n的取值()A至多等于3 B至多等于4C等于5 D大于5解析：选Bn2时，可以；n3时，为正三角形，可以；n4时，为正四面体，可以；n5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，这种情况不可能出现，所以正整数n的取值至多等于4.3以下四个命题中，正确命题的个数是()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0 B1 C2 D3解析：选B 显然是正确的，可用反证法证明；中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不

18、一定共面；构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面故只有正确4.如图所示，四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由已知FGGA，FHHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC，四边形BCHG为平行四边形(2)C，D，F，E四点共面，证明如下：由BE綊AF，G为FA的中点知BE綊FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BGCH，EFCH.EF与CH共面又DFH，C，D，F，E四点共面突破点(

19、二)空间两直线的位置关系基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系(2)公理4和等角定理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补2异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)范围：.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”空间两直线位置关系的判定例1(1)下列结论正确的是()在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；平行于同一条直线的两条直线平行；一条直线和两条平行直线

20、中的一条相交，那么它也和另一条相交；空间四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.A BC D(2)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)解析(1)错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；由公理4可知正确；错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；由平行直线的传递性可知正确故选B.(2)图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面G

21、MN，因此GH与MN异面所以在图中，GH与MN异面答案(1)B(2)方法技巧判断空间两直线位置关系的思路方法(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断(2)异面直线的判定方法反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线异面直线所成的角例2空间四边形ABCD中，ABCD且AB与CD所成的角为30，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小解取AC的中点G，连接EG，FG，则EG綊AB

22、，FG綊CD，由ABCD知EGFG，GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角AB与CD所成的角为30，EGF30或150.由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF30时，GEF75；当EGF150时，GEF15.故EF与AB所成的角为15或75.方法技巧用平移法求异面直线所成的角的步骤(1)一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1考点一下列说

23、法正确的是()A若a，b，则a与b是异面直线B若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C若a，b不同在平面内，则a与b异面D若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面解析：选D由异面直线的定义可知D正确2考点一l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3 Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面 Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面解析：选B若l1l2，l2l3，则l1，l3有三种位置关系，可能平行、相交或异面，A不正确；当l1l2l3或l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3可能共面，也可能不共面，C，D不正确；当l1l2

24、，l2l3时，则有l1l3，故选B.3考点二如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为_解析：如图，将原图补成正方体ABCDQGHP，连接GP，AG，则GPBD，所以APG为异面直线AP与BD所成的角，在AGP中AGGPAP，所以APG.答案：4考点一、二如图所示，三棱锥PABC中， PA平面ABC，BAC60，PAABAC2，E是PC的中点(1)求证AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值解：(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为，A，B，E，平面即为平面ABE，P平面ABE，这与P平面ABE矛盾，所以AE与PB是

25、异面直线(2)取BC的中点F，连接EF，AF，则EFPB，所以AEF(或其补角)就是异面直线AE与PB所成的角BAC60，PAABAC2，PA平面ABC，AF，AE，EF，cosAEF，故异面直线AE与PB所成角的余弦值为.全国卷5年真题集中演练明规律 1.(2016全国乙卷)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A. B. C. D.解析：选A如图，在正方体ABCDA1B1C1D1的上方接一个同等大小的正方体ABCDA2B2C2D2，则过A与平面CB1D1平行的是平面AB2D2，即平面就是平面AB2D2，

26、平面AB2D2平面ABB1A1AB2，即直线n就是直线AB2，由面面平行的性质定理知直线m平行于直线B2D2，故m，n所成的角就等于AB2与B2D2所成的角，在等边三角形AB2D2中，AB2D260，故其正弦值为.故选A.2(2013新课标全国卷)已知m，n为异面直线，m平面，n平面.直线l满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l解析：选D由于m，n为异面直线，m平面，n平面，则平面与平面必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足lm，ln，则交线平行于l，故选D.3(2016全国甲卷)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)解析：对于，可能平行，也可能相交但不垂直，故错误对于，由线面平行的性质定理知存在直线l，nl，又m，所以ml，所以mn，故正确对于，因为，所以，没有公共点又m，所以m，没有公共点，由线面平行的定义可知m，故正确对于，因为mn，所以m与所成的角和n与所成的角相等因为，所以n与所成的角和n与所成的角相等，所以m与所成的角和n与所成的角相等，故正确答案：课时达标检测 重点保分课时一