导数压轴题处理套路.docx

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导数压轴题处理套路

导数压轴题处理套路

专题一双变量同构式（含拉格朗日中值定理）.....................................................-2-

专题二分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）....................................-4-

专题三导数与零点问题（如何取点）..................................................................-7-

专题四隐零点问题整体代换..............................................................................-13-

专题五极值点偏移...........................................................................................-18-

专题六导数处理数列求和不等式.......................................................................-25-

说明：

题目全来自网络和群友分享，在此一并谢过

专题一双变量同构式（含拉格朗日中值定理）

例1.已知f（x）=（a+1）lnx+ax2+1

（1）讨论f（x）的单调性

（2）设a≤-2，求证：

∀x1,x2∈（0,+∞）,f（x1）-f（x2）≥4x1-x2

例2.已知函数f（x）=1x2-ax+（a-1）lnx，a>1。

2

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）证明：

若a<5，则对任意x，x∈（0,+∞），x≠x，有

f（x1）-f（x2）>-1。

1212

x-x

12

例3.设函数f（x）=lnx+m,m∈R.

x

（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；

x

（2）讨论函数g（x）=

f'（x）-

零点的个数；

3

（3）若对任意b>a>0,f（b）-f（a）<1恒成立，求m的取值范围.

b-a

例4.已知函数f（x）=1-lnx

x

（1）讨论函数y=f（x）的单调性

（2）对任意的x1,x2

∈⎡⎣e2,+∞），有

>k，求k的取值范围

x1x2

例5.已知函数f（x）=1x2-alnx+（a-2）x，是否存在a∈R，对任意x，x

∈（0,+∞），

212

12x-x

12

例6.已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．

（1）求实数a的值；

（2）若f（x）≤kx2对任意x>0成立,求实数k的取值范围；

（3）当

n>m>1

（m,n∈N

*）时,证明：

>m．

n

专题二分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）

例1.已知函数f（x）=alnx+b，曲线y=f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为x+2y-3=0.

x+1x

（1）求a、b的值；

（2）如果当x>0，且x≠1时，f（x）>lnx+k，求k的取值范围.

x-1x

例2.设函数f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0，求f（x）的单调区间；

（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围.

例3.已知函数f（x）=x（ex-1）-ax2.

（1）若f（x）在x=-1时有极值，求函数f（x）的解析式；

（2）当x≥1时，f（x）≥0，求a的取值范围.

（3）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围.

例4.设函数f（x）=1-e-x.

（1）证明：

当x>-1时，f（x）≥

x

x+1；

（2）设当x≥0时，f（x）≤

xax+1

，求a的取值范围.

例5.设函数f（x）=

sinx

2+cosx．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．

例6.已知函数f（x）=

x

λx+1

+e-x-1

（1）证明：

当λ=0时间，f（x）≥0

（2）若当x≥0时，f（x）≥0，求实数λ的取值范围。

例7.已知函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R

（1）讨论函数f（x）的极值点个数，并说明理由

（2）若∀x>0,f（x）≥0成立，求a取值范围。

例8.已知函数f（x）=ln⎛1+1ax⎫+x2-ax.（a>0）

ç22⎪

⎝⎭

（1）求证0

⎢⎣2

（2）若对任意的a∈（1,2），总存在x

⎪

⎭

⎭

∈⎡1,+∞⎫使不等式f（x）>m（1-a2）成立，求实

数m的取值范围

0⎢⎣2⎪0

例9.已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.求a的取值范围；

例10.已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）.

（1）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1,f

（1））处的切线方程；

（2）若当x∈（1,+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围.

专题三导数与零点问题（如何取点）

例1.已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）讨论f（x）单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；

例2.已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2

有两个零点.求a的取值范围；

例3.设函数f（x）=e2x-alnx.讨论f（x）的导函数f'（x）的零点的个数；

例4.已知函数f（x）=（x-1）ex+ax2

有两个零点.

（2）求a的取值范围

例5.已知函数f（x）=ex-mx2-mx-1.当m<0时，试讨论y=f（x）的零点的个数；

2

例6.设函数f（x）=lnx-lnx+ln（x+1），是否存在实数a，使得关于x的不等式

x+1

例7.已知函数f（x）=ae2x-（2ax+1）ex+x2+2x.当0

例8.已知函数f（x）=a+

xlnx（a∈R）

（1）求f（x）的单调区间

（2）求函数f（x）的零点个数，并证明你的结论

例9.设常数

λ>0,a>0

x2

，函数f（x）=-alnx,对于任意给定的正数

x+λ

λ,a

证明存在

实数x0，当x>x0时，f（x）>0

例10.已知函数f（x）=x+alnx.

（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1,f

（1））处的切线方程；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围.

例11.已知函数f（x）=（x+a）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）当a<1时，试确定函数g（x）=f（x-a）-x2的零点个数，并说明理由.

例12.已知函数f（x）=alnx+1（a≠0）.

x

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若{xf（x）≤0}=[b,c]（其中b

分析{xf（x）≤0}=[b,c]的形式类似不等式的解集，问题即转化为研究方程的根，即转化为研究函数的零点范围.

例13.已知函数f（x）=x2-（a-2）x+alnx+2a+2，其中a≤2

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在（0,2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围。

例14.已知关于x的函数f（x）=ax-a（a≠0），

ex

（1）当a=-1时，求函数f（x）的极值；

（2）若函数F（x）=f（x）+1没有零点，求实数a的取值范围。

例15.已知函数

（1）若曲线y=f（x）在点（a,f（a））处与直线y=b相切，求a与b值；

（2）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围。

例16.已知函数f（x）=a+

xlnx，（a∈R）

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）试求函数y=f（x）的零点个数，并证明。

专题四隐零点问题整体代换

例1.设函数f（x）=ex-ax-2

（1）求f（x）的单调区间

（2）若a=1，k为整数，且当x>0时，（x-k）f'（x）-x+1>0

，求k的最大值

例2.已知函数f（x）=ax+xlnx的图像在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3

（1）求实数a的值

（2）若k∈Z，且k1恒成立，求k的最大值

x-1

例3.若对于任意x>0，xe2x-kx-lnx-1≥0恒成立，求k的取值范围。

例4.已知函数f（x）=ex-ln（x+m）.

（1）设x=0是f（x）的极值点，求m,并讨论f（x）的单调性；

（2）当m≤2时，证明f（x）>0.

例5.已知函数f（x）=2x3+x2+ax+1在（-1,0）上有两个极值点x1、x2，且x1

3

（1）求实数a的取值范围；

（2）证明：

f（x2

）>11.

12

例6.已知a∈R，函数f（x）=ex+ax2；g（x）是f（x）的导函数.

（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间；

2

（2）当a>0时，求证：

存在唯一的x∈⎛-1,0⎫，使得g（x

）=0；

0ç2a⎪0

⎝⎭

（3）若存在实数a,b，使得f（x）≥b恒成立，求a-b的最小值.

例7.已知函数f（x）满足满足f（x）=f'

（1）ex-1-f（0）x+1x2.

2

（1）求f（x）的解析式及单调区间；

（2）若f（x）≥1x2+ax+b，求（a+1）b的最大值.

2

例8.已知函数f（x）=-2（x+a）lnx+x2-2ax-2a2+a，其中a>0.

（1）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；

（2）证明：

存在a∈（0,1），使得f（x）≥0在区间（1,+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间

（1,+∞）内有唯一解.

例9.已知函数f（x）=-2lnx+x2-2ax+a2，其中a>0，设g（x）是f（x）的导函数.

（1）讨论g（x）的单调性；

（2）证明：

存在a∈（0,1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1,+∞）内有唯一解.

例10.已知函数f（x）=ax2-lnx+x+1，g（x）=aex+a+ax-2a-1，其中a∈R.

2x

（1）若a=2，求f（x）的极值点；

（2）试讨论f（x）的单调性；

（3）若a>0，∀x∈（0,+∞），恒有g（x）≥f'（x），求a的最小值.

例11.已知函数f（x）=lnx-1ax2+x，a∈R.

2

（1）求函数f（x）的单调区间；

例12.设函数f（x）=e2x-alnx.

（1）讨论f（x）的导函数f'（x）的零点的个数；

（2）证明：

当a>0时f（x）≥2a+aln2.

a

例13.设函数f（x）=ex-ax-2.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x-k）f'（x）+x+1＞0，求k的最大值。

例14.设函数f（x）=ex-ln（x+m）.

（1）若x＝0是f（x）的极值点，求m＞0，并讨论f（x）的单调性；

（2）当m≤2时，求证：

f（x）＞0.

例15.已知函数f（x）=ex+m-x3,g（x）=ln（x+1）+2．

（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的值；

（2）当m≥1时，证明：

f（x）>g（x）-x3.

例16.已知函数f（x）=lnx+1ax2+x+1.

2

（1）当a=-2时，求f（x）的极值点；

（2）当a=0时，证明：

对任意的x＞0，不等式xex≥f（x）恒成立。

专题五极值点偏移

例1.已知函数f（x）=2lnx+x2+x，若正实数x，x

满足f（x）+f（x

）=4，

求证:

x1+x2≥2

1212

例2.已知函数f（x）=lnx+x2+x，正实数x，x

满足f（x）+f（x

）+xx

=0，求证：

x1+x2≥2．

121212

例3.已知函数f（x）=xe-x．

（1）求函数f（x）的单调区间和极值；

（2）已知函数g（x）的图像与f（x）的图像关于直线x=1对称，证明：

当x>1时，

f（x）>g（x）；

（3）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：

x1+x2>2．

例4.已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点．

（1）求a的取值范围；

（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：

x1+x2<2．

例5.已知函数f（x）=xlnx的图像与直线y=m交于不同的两点A（x1,y1），B（x2,y2），求

证：

x1x2

例6.已知函数f（x）=lnx和g（x）=ax，若存在两个实数x1，x2，且x1≠x2，满足

f（x1）=g（x1），f（x2）=g（x2），

（1）求证：

x1+x2>2e；

12

（2）求证：

xx>e2．

例7.已知函数f（x）=ex-ax有两个不同的零点x，x

，其极值点为x．

（1）求a的取值范围；

（2）求证：

x1+x2<2x0；

（3）求证：

x1+x2>2；

（4）求证：

x1x2<1．

120

例8.已知f（x）=ln（x+m）-mx

（1）求f（x）的单调区间

（2）设m>1,

x1，x2为函数f（x）的两个零点，求证x1+x2<0

例9.已知函数f（x）=x-lnx，若两相异正实数x1，x2满足f（x1）=f（x2），求证：

f'（x1）+f'（x2）<0．

例10.已知函数f（x）=xlnx．

x-1

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若h（x）=（x2-x）f（x），且方程h（x）=m有两个不相等的实根x，x

，求证：

12

x2+x2>2．

12e

例11.已知b>a>0，且blna-alnb=a-b．

（1）求证：

a+b-ab>1；

（2）求证：

a+b>2；

（3）求证：

1+1>2．

ab

例12.已知函数f（x）=2lnx-ax，若x1，x2（x1

f'⎛x1+2x2⎫<0．

ç3⎪

⎝⎭

例13.设函数f（x）=ex-ax+a，其图像与x轴交于点A（x,0），B（x,0），证明：

12

f'（x1x2）<0

例14.已知函数f（x）=lnx-x，设x>x

>0，求证：

x1

-f（x1）-f（x2）<1．

12x2+x2x-x

1212

例15.设f（x）=x-aex（a∈R），x∈R．已知函数y=f（x）有两个零点x，x，且

12

x1

（1）求a的取值范围；

（2）证明：

x2随着a的减小而增大；

x1

（3）证明：

x1+x2随着a的减小而增大．

例16.对于正数a，b，且a≠b，求证：

lna-lnb

a+b

<，

2

例17.设函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x的两个零点是x，x，求证：

f'⎛x1+x2⎫<0．

12ç2⎪

⎝⎭

例18.已知函数f（x）=lnx-1，g（x）=ax+b

x

（1）若函数h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的范围；

（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx-1图像的切线a+b的最小值；

x

（3）当b=0时，若f（x）和g（x）的图像有两个交点A（x,y）,B（x,y

），求证xx

>e2

（e≈2.8,ln2≈0.7,

≈1.4）

112212

专题六导数处理数列求和不等式

例1.已知函数f（x）=x-1-alnx。

（1）若f（x）≥0

，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n⎛1+1⎫⎛1+

1⎫⎛1+

1⎫

，求m的最小值。

ç2⎪ç22⎪ç2n⎪

èøèø

例2.已知函数f（x）=ln（x+1）-ax在x=-1处的切线斜率为1.

2

（1）求f（x）的最大值；

（2）证明：

当n∈N*时，1+1+1++1＞ln（n+1）.

23n

（3）设g（x）=b（ex-x），若g（x）≥f（x）恒成立，求实数b的取值范围.

例3.已知函数f（x）=lnx+

2.

x+1

（1）试比较f（x）与1的大小；

（2）求证：

ln（n+1）>1+1+1++1（n∈N*）.

3572n+1

例4.已知函数f（x）=asin（1-x）+lnx.

（1）若f（x）在（0,1）上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）求证：

sin

1

（1+1）2

+

sin

1

（2+1）2

++sin

1

（8+1）2

＜ln9.

5

例5.已知函数f（x）=a（x-1）-2lnx.

x

（1）若对于任意x≥1，有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；

（2）求证：

1

22

+1+1

3242

++1

n2

＞2ln

2nn+1

-3.

4

例6.已知函数f（x）=ln（x+a）-x2-x在x=0处取得极值

（1）求实数a的值

（2）证明：

对于任意的正整数n，不等式2+3+4++n+1>ln（n+1）都成立

49n2

例7.已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）

（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间

4

⎨y-x≤0

（2）当x∈[0,+∞）时，函数y=f（x）图像上的点都在⎧x≥0

⎩

所表示的平面区域内，求实

数a的取值范围

（3）求证：

⎛1+

2⎫⎛

⎪ç

4⎫⎛

⎪ç

⎛

⎪ç1+

2n

n-1n

⎫

⎪

*,e是

⎝2⨯3⎭⎝

3⨯5⎭⎝

5⨯8⎭ç（2+1）（2+1）⎪

例8.