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1、导数压轴题处理套路导数压轴题处理套路专题一 双变量同构式（含拉格朗日中值定理）.- 2 -专题二 分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）.- 4 -专题三 导数与零点问题（如何取点） .- 7 -专题四 隐零点问题整体代换.- 13 -专题五 极值点偏移 .- 18 -专题六 导数处理数列求和不等式.- 25 -说明：题目全来自网络和群友分享，在此一并谢过 专题一 双变量同构式（含拉格朗日中值定理）例1. 已知 f (x) = (a +1)ln x + ax2 +1（1）讨论 f (x)的单调性（2）设a -2，求证： x1, x2 (0, +), f (x1 )- f (x2 ) 4

2、x1 - x2例2. 已知函数 f (x) = 1 x2 - ax + (a -1) ln x ， a 1。2（1）讨论函数 f (x) 的单调性；（2）证明：若a -1。1 2 1 2x - x1 2例3. 设函数 f (x) = ln x + m , m R .x（1）当m = e （ e 为自然对数的底数）时，求 f (x) 的最小值；x（2）讨论函数 g(x) =f (x) -零点的个数；3（3）若对任意b a 0, f (b) - f (a) k ，求 k 的取值范围x1x2例5. 已知函数 f (x) = 1 x2 - a ln x + (a - 2)x ，是否存在a R ，对任意

3、 x ，x (0, +) ，2 1 21 2 x - x1 2例6. 已知函数 f (x) = ax + x ln x 的图象在点 x = e （ e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为 3（1）求实数a 的值；（2）若 f (x) kx2 对任意 x 0 成立,求实数k 的取值范围；（3）当n m 1(m, n N* ) 时,证明： m n 专题二 分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）例1. 已知函数 f (x)= a ln x + b ，曲线 y=f (x) 在点(1，f (1) 处的切线方程为 x + 2y - 3=0 . x +1 x（1）求a 、b 的值；（2）如果当 x 0

4、 ，且 x 1时， f (x) ln x + k ， 求k 的取值范围. x -1 x例2. 设函数 f (x)=ex -1- x - ax2 .（1）若a = 0 ，求 f (x) 的单调区间；（2）当 x 0 时， f (x) 0 ，求a 的取值范围.例3. 已知函数 f (x) = x(ex -1) - ax2 .（1）若 f (x) 在 x = -1时有极值，求函数 f (x) 的解析式；（2）当 x 1时， f (x) 0 ，求a 的取值范围.（3）当 x 0 时， f (x) 0 ，求a 的取值范围.例4. 设函数 f (x) = 1- e- x .（1）证明：当 x -1时， f

5、 (x) xx +1 ；（2）设当 x 0 时， f (x) x ax +1，求a 的取值范围.例5. 设函数 f (x)=sin x2 + cos x （1）求 f (x) 的单调区间；（2）如果对任何 x0 ，都有 f (x) ax ，求a 的取值范围例6. 已知函数 f (x)=x x +1+ e- x -1（1）证明：当 = 0 时间， f (x) 0（2）若当 x 0 时， f (x) 0 ，求实数 的取值范围。例7. 已知函数 f (x)= ln (x +1)+ a (x2 - x)，其中a R（1）讨论函数 f (x) 的极值点个数，并说明理由（2）若x 0, f (x) 0 成

6、立，求a 取值范围。例8. 已知函数 f (x)= ln 1 + 1 ax + x2 - ax.(a 0) 2 2 （1）求证0 m(1- a2 )成立，求实数 m 的取值范围0 2 0例9. 已知函数 f (x)=(x - 2)ex + a(x -1)2 有两个零点.求 a 的取值范围；例10. 已知函数 f (x)=(x +1) ln x - a(x -1) .（1）当a = 4 时，求曲线 y = f (x) 在(1, f (1) 处的切线方程；（2）若当 x (1, +)时， f (x)0 ，求a 的取值范围. 专题三 导数与零点问题（如何取点）例1. 已知函数 f ( x) = a

7、e2 x + (a - 2)ex - x.（1）讨论 f ( x) 单调性；（2）若 f ( x) 有两个零点，求 a 的取值范围；例2. 已知函数 f (x) = (x - 2)ex + a (x -1)2有两个零点.求a 的取值范围；例3. 设函数 f (x)=e2 x - a ln x .讨论 f (x)的导函数 f (x) 的零点的个数；例4. 已知函数 f (x) = (x -1)ex + ax2有两个零点. (2) 求 a 的取值范围例5. 已知函数 f ( x) = e x - m x2 - m x -1 . 当 m0 时，试讨论 y=f(x)的零点的个数；2例6. 设函数 f

8、( x) = ln x - l n x + l n ( x + 1) ，是否存在实数a ，使得关于 x 的不等式x + 1例7. 已知函数 f ( x) = a e2 x -(2a x+1)ex + x2 + 2 x. 当0 0, a 0x2，函数 f ( x) = - a l n x, 对于任意给定的正数x + , a证明存在实数 x0 ，当 x x0 时， f ( x) 0例10. 已知函数 f (x)= x + a ln x.（1）当 a = 1时，求曲线 y = f (x)在点(1, f (1)处的切线方程；（2）求 f (x)的单调区间；（3）若函数 f (x)没有零点，求a 的取值

9、范围.例11. 已知函数 f (x)= (x + a)ex ，其中e 是自然对数的底数， a R .（1）求函数 f (x)的单调区间；（2）当a 1时，试确定函数 g(x)= f (x - a)- x2 的零点个数，并说明理由.例12. 已知函数 f (x)= a ln x + 1 (a 0).x（1）求函数 f (x)的单调区间；（2）若x f (x) 0= b, c (其中b 0 时， (x - k ) f (x)- x +1 0，求k 的最大值例2. 已知函数 f (x) = ax + x ln x 的图像在点 x = e （ e 为自然对数的底数）处的切线斜率为 3(1)求实数a 的

10、值(2)若 k Z ，且k 1恒成立，求k 的最大值x -1例3. 若对于任意 x 0 ， xe2x - kx - ln x -1 0 恒成立，求k 的取值范围。例4. 已知函数 f (x)=ex - ln (x + m).（1）设 x = 0 是 f (x)的极值点，求m ,并讨论 f (x)的单调性；（2）当m 2 时，证明 f (x) 0 .例5. 已知函数 f (x) = 2 x3 + x2 + ax +1在(-1, 0) 上有两个极值点 x1 、 x2 ，且 x1 11 .12例6. 已知a R ，函数 f (x)=ex + ax2 ； g (x)是 f (x)的导函数.（1）当a

11、=- 1 时，求函数 f (x)的单调区间；2（2）当a 0 时，求证：存在唯一的 x - 1 ,0 ，使得 g (x) = 0 ；0 2a 0 （3）若存在实数a, b ，使得 f (x) b 恒成立，求a - b 的最小值.例7. 已知函数 f (x) 满足满足 f (x) = f (1)ex-1 - f (0)x + 1 x2 .2（1）求 f (x) 的解析式及单调区间；（2）若 f (x) 1 x2 + ax + b ，求(a +1)b 的最大值.2例8. 已知函数 f (x) = -2(x + a)ln x + x2 - 2ax - 2a2 + a ，其中a 0 .（1）设 g (

12、x)是 f (x)的导函数，讨论 g (x)的单调性；（2）证明：存在 a (0,1) ，使得 f (x) 0 在区间 (1, +) 内恒成立，且 f (x) = 0 在区间(1, +)内有唯一解.例9. 已知函数 f (x)= - 2ln x + x2 - 2ax + a2 ，其中a 0 ，设 g (x)是 f (x)的导函数.（1）讨论 g (x)的单调性；（2）证明：存在a (0,1) ，使得 f (x) 0 恒成立，且 f (x) = 0 在区间(1, +)内有唯一解.例10. 已知函数 f (x)= a x2 - ln x + x +1， g (x)=aex + a + ax - 2

13、a -1 ，其中a R .2 x（1）若a = 2 ，求 f (x)的极值点；（2）试讨论 f (x)的单调性；（3）若a 0 ， x (0, +) ，恒有 g (x) f (x) ，求a 的最小值.例11. 已知函数 f (x)= ln x - 1 ax2 + x ， a R .2（1）求函数 f (x)的单调区间；例12. 设函数 f (x) = e2 x - a ln x .（1）讨论 f (x)的导函数 f (x) 的零点的个数；（2）证明：当a 0 时 f (x) 2a + a ln 2 .a例13. 设函数 f (x) = ex - ax - 2 .（1）求函数 f (x) 的单调

14、区间；（2）若a = 1， k 为整数，且当 x 0 时， (x - k) f (x) + x +1 0 ，求k 的最大值。例14. 设函数 f (x) = ex - ln(x + m) .（1）若 x 0 是 f (x) 的极值点，求m 0 ，并讨论 f (x) 的单调性；（2）当m 2 时，求证： f (x) 0 .例15. 已知函数 f (x)=ex+m - x3 , g (x) = ln (x +1)+ 2 （1）若曲线 y = f (x)在点(0，f (0)处的切线斜率为1，求实数m 的值；（2）当m 1时，证明： f (x) g(x) - x3 .例16. 已知函数 f (x) =

15、 ln x + 1 ax2 + x + 1.2（1）当a = -2 时，求 f (x) 的极值点；（2）当a = 0 时，证明：对任意的 x 0 ，不等式 xe x f (x) 恒成立。 专题五 极值点偏移例1. 已知函数 f (x) = 2ln x + x2 + x ，若正实数 x ， x满足 f (x )+f (x)=4 ，求证: x1 + x2 21 2 1 2例2. 已知函数 f (x) = ln x + x2 + x ，正实数 x ， x满足 f (x )+ f (x)+ x x= 0 ，求证：x1 + x2 2 1 2 1 2 1 2例3. 已知函数 f (x) = xe- x （

16、1）求函数 f (x)的单调区间和极值；（2）已知函数 g (x)的图像与 f (x)的图像关于直线 x = 1对称，证明：当 x 1时，f (x) g (x)；（3）如果 x1 x2 ，且 f (x1 ) = f (x2 )，证明： x1 + x2 2 例4. 已知函数 f (x) = (x - 2)ex + a (x -1)2 有两个零点（1）求a 的取值范围；（2）设 x1 ， x2 是 f (x)的两个零点，证明： x1 + x2 2 例5. 已知函数 f (x) = x ln x 的图像与直线 y = m 交于不同的两点 A(x1, y1 )， B (x2 , y2 ) ，求证： x

17、1x2 2e ；1 2（2）求证： x x e2 例7. 已知函数 f (x) = ex - ax 有两个不同的零点 x ， x，其极值点为 x （1）求a 的取值范围；（2）求证： x1 + x2 2 ；（4）求证： x1x2 1,x1 ， x2 为函数 f (x)的两个零点，求证 x1 + x2 0例9. 已知函数 f (x) = x - ln x ，若两相异正实数 x1 ， x2 满足 f (x1 ) = f (x2 ) ，求证：f (x1 )+ f (x2 ) 2 1 2 e例11. 已知b a 0 ，且b ln a - a ln b = a - b （1）求证： a + b - ab

18、 1；（2）求证： a + b 2 ；（3）求证： 1 + 1 2 a b例12. 已知函数 f (x) = 2ln x - ax ，若 x1 ， x2 (x1 x2 ) 是 f (x)的两个零点，证明：f x1 + 2x2 0 3 例13. 设函数 f (x) = ex - ax + a ，其图像与 x 轴交于点 A(x ,0) ， B (x ,0)，证明：1 2f ( x1x2 ) x 0 ，求证： x1- f (x1 )- f (x2 ) 11 2 x2 + x2 x - x1 2 1 2例15. 设 f (x) = x - aex (a R)， x R 已知函数 y = f (x)有两

19、个零点 x ， x ，且1 2x1 x2 （1）求a 的取值范围；（2）证明： x2 随着a 的减小而增大；x1（3）证明： x1 + x2 随着a 的减小而增大例16. 对于正数a ， b ，且a b ，求证： a - bln a - ln ba + b ，2例17. 设函数 f (x) = ln x - ax2 + (2 - a) x 的两个零点是 x ， x ，求证： f x1 + x2 e2（ e 2.8, ln 2 0.7, 1.4 ）1 1 2 2 1 2 专题六 导数处理数列求和不等式例1. 已知函数 f (x) = x -1- a ln x 。（1）若 f (x) 0，求 a

20、的值；（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n 1+ 1 1+1 1+1 1 + 1 + 1 + + 1 (n N * ) . 3 5 7 2n +1例4. 已知函数 f (x) = a sin(1- x) + ln x .（1）若 f (x) 在 (0,1)上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）求证： sin1 (1 + 1)2+sin1(2 + 1)2+ + sin1(8 + 1)2 ln 9 .5例5. 已知函数 f (x) = a(x - 1 ) - 2 ln x .x（1）若对于任意 x 1，有 f (x) 0 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求证： 122+ 1 + 132

21、 42+ + 1n2 2 ln2n n + 1- 3 .4例6. 已知函数 f (x) = ln (x + a)- x2 - x 在 x = 0 处取得极值（1）求实数a 的值（2）证明：对于任意的正整数n ，不等式2 + 3 + 4 + + n +1 ln(n +1) 都成立4 9 n2例7. 已知函数 f (x) = ax2 + ln (x +1)（1）当a =- 1 时，求函数 f (x)的单调区间4 y - x 0（2）当 x 0, +)时，函数 y = f (x) 图像上的点都在x 0所表示的平面区域内，求实数 a 的取值范围（3）求证：1+2 4 1+2nn-1 n e（其中n N* , e 是 2 3 3 5 58 (2 +1)(2 +1)例8.