锐角三角函数教案.docx

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锐角三角函数教案

第二十八章锐角三角函数

内容简介

本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容．第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用．

相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础．

本章属于三角学中的最基础的部分内容，而高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础．

教学目标

1．知识与技能

（1）通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值．

（2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角．

（3）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题．

（4）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．

2．过程与方法

贯彻在实践活动中发现问题，提出问题，在探究问题的过程中找出规律，再运用这些规律于实际生活中．

3．情感、态度与价值观

通过解直角三角形培养学生数形结合的思想．

重点与难点

1．重点

（1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，应该牢牢记住．

（2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题．

2．难点

（1）锐角三角函数的概念．

（2）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析，解决问题的能力．

教学方法

在本章，学生首次接触到以角度为自变量的三角函数，初学者不易理解．讲课时应注意，只有让学生正确理解锐角三角函数的概念，才能掌握直角三角形边与角之间的关系，才能运用这些关系解直角三角形．故教学中应注意以下几点：

1．突出学数学、用数学的意识与过程．三角函数的应用尽量和实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的问题．

2．在呈现方式上，突出实践性与研究性，三角函数的意义要通过问题经出，再加以探索认识．

3．对实际问题，注意联系生活实际．

4．适度增加训练学生逻辑思维的习题，减少机械操作性习题，增加探索性问题的比重．

课时安排

本章共分9课时．

28．1锐角三角函数4课时

28．2解直角三角形4课时

小结1课时

28．1锐角三角函数

内容简介

本节先研究正弦函数，在此基础上给出余弦函数和正切函数的概念．通过两个特殊的直角三角形，让学生感受到不管直角三角形大小，只要角度不变，那么它们所对的边与斜边的比分别都是常数，这为引出正弦函数的概念作好铺垫．这样引出正弦函数的概念，能够使学生充分感受到函数的思想，由于教科书比较详细地讨论了正弦函数的概念，因此对余弦函数和正切函数概念的讨论采用了直接给出的方式，具体的讨论由学生类比着正弦函数自己完成．教科书将求特殊角的三角函数值和已知特殊角的三角函数值求角这两个相反方向的问题安排在一起，目的是体现锐角三角函数中角与函数值之间的对应关系．本节最后介绍了如何使用计算器求非特殊角的三角函数值以及如何根据三角函数值求对应的角等内容．由于不同的计算器操作步骤有所不同，教科书只就常见的情况进行介绍．

教学目标

1．知识与技能

（1）了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；

（2）能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角．

2．过程与方法

通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．

3．情感、态度与价值观

引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．

重点与难点

1．重点：

正弦、余弦；正切三个三角函数概念及其应用．

2．难点：

使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦；正弦、余弦概念．

教学方法

学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论．正弦、余弦的概念是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，教学中应十分重视．同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理．

第1课时正弦函数

复习引入

教师讲解：

杂志上有过这样的一篇报道：

始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜．1972年比萨发生地震，这座高54.5m的斜塔大幅度摇摆22分之分，仍巍然屹立．可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，而且还以每年倾斜1cm的速度继续增加，随时都有倒塌的危险．为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm．

根据上面的这段报道中，“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，”这句话你是怎样理解的，它能用来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？

这个问题涉及到锐角三角函数的知识．学过本章之后，你就可以轻松地解答这个问题了!

探究新知

（1）问题的引入

教师讲解：

为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？

教师提出问题：

怎样将上述实际问题用数学语言表达，要求学生写在纸上，互相讨论，看谁写得最合理，然后由教师总结．

教师总结：

这个问题可以归纳为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB（课本图28．1-1）．

根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即

＝

可得AB=2BC=70m，也就是说，需要准备70m长的水管．

教师更换问题的条件后提出新问题：

在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？

要求学生在解决新问题时寻找解决这两个问题的共同点．

教师引导学生得出这样的结论：

在上面求AB（所需水管的长度）的过程中，虽然问题条件改变了，但我们所用的定理是一样的：

在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于．也是说，只要山坡的坡度是30°这个条件不变，那么斜边与对边的比值不变．

教师提出第2个问题：

既然直角三角形中，30°角的斜边与对边的比值不变，那么其他角度的对边与斜边的比值是否也不会变呢？

我们再换一个解试一试．如课本图28．1-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边的比值是一个定值吗？

如果是，是多少？

教师要求学生自己计算，得出结论，然后再由教师总结：

在Rt△ABC中，∠C=90°由于∠A=45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2，AB=BC．

因此=，

即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于．

教师再将问题提升到更高一个层次：

从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：

当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？

教师直接告诉学生，这个问题的回答是肯定的，并边板书，边与学生共同探究证明方法．这为问题可以转化为以下数学语言：

任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′（课本图28．1-3），使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，那么有什么关系．

在课本图28．1-3中，由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，，即．

这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．

（二）正弦函数概念的提出

教师讲解：

在日常生活中和数学活动中上面所得出的结论是非常有用的．为了引用这个结论时叙述方便，数学家作出了如下规定：

如课本图28．1-4，在Rt△BC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA==．

在课本图28．1-4中，∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c．

例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=；

当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°=．

（三）正弦函数的简单应用

教师讲解课本第79页例题1．

例1如课本图28．1-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．

教师对题目进行分析：

求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比．我们已经知道了∠A对边的值，所以解题时应先求斜边的高．

解：

如课本图28．5-1

（1），在Rt△ABC中，

AB==5．

因此sinA==，sinB==．

如课本图28．5-1

（2），在Rt△ABC中，

sinA==，AC==12．

因此，sinB==．

随堂练习

做课本第79页练习．

课时总结

在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，

教后反思

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第1课时作业设计

课本练习

做课本第85页习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分）

双基与中考

1．如图1，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（）

A．B．C．

（1）

（2）（3）

2．（2005，南京）如图2，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）

A．B．C．D．

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则sinB等于（）

A．B．C．D．

4．（2004．辽宁大连）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA的值是（）．

A．

5．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB=，BC的长是（）．

A．2

28.1.2余弦、正切函数（第2课时）

复习引入

教师提问：

我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？

为什么可以这样定义它．

学生回答后教师提出新问题：

在上道，如课本图28．1-6所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定了．现在我们要问：

其他边之间的比是否也确定了呢？

为什么？

探究新知

（一）余弦、正切概念的引入

教师引导学生论，其证明方法与上一节课证明对边比斜边为定值的方法相同，都是通过两个三