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微分中值定理和不等式的证明
淮北师范大学
2013届学士学位论文
微分中值定理和不等式的证明
学院、
研究
专业数学科学学院数学与应用数学
方向
函数论
学生
姓名
谢晨西
学
号
20091101169
指导教师姓名卓泽朋
指导教师职称副教授
2013年4月20日
微分中值定理及不等式的证明
谢晨西
（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）
摘要微分中值定理在数学分析中具有重要作用,不等式在初等数学中是最基本的内容之一,微分中值定理主要包括：
拉格朗日中值定理，罗尔中值定理,以及柯西中值定理.本文采用举例的方式归纳了微分中值定理在不等式证明中的几种常见方法和技巧，并对中值定理进行了适当的推广,同时结合几个常见的实例论述了罗尔中值定理,拉格朗日中值定理在证明不等式面的应用,从而加深对两个定理的理解,总结了微分中值定理在不等式证明中的基本思想和方法.
关键词：
微分中值定理，柯西中值定理，费马定理，不等式
DifferentialMeanValueTheoremandProofofInequality
XieChenxi
（SchoolofMathematicalscience,HuaibeiNormalUniversity,Huaibei,2350000）
Abstract
Differentialmeanvaluetheoremplaysanimportantroleinmathematicalanalysis.Inequalityisoneofthemostimportantelementsinelementarymathematics.Differentialmeanvaluetheoreminclude:
lagrangemeanvaluetheorem,rolletheorem,cauchymeanvaluetheorem.Thisarticlesummarizesseveralcommonmethodsandtechniquesofdifferentialmeanvaluetheoremtoproveinequality..Appropriatepromotiondifferentialmeanvaluetheorem.Combinedwithafewcommonexamplesdiscussedrolletheoremoflagrangemeanvaluetheoreminprovinginequalitiessurface.Soastodeepentheunderstandingofthetwotheorems,summarizethebasicmethodofdifferentialmeanvaluetheoremtoproveinequality
Keywords:
Differentialmeanvaluetheorem，CauchyMeanValueTheorem，generalizedFermat'stheorem，;inequalities
引言1
1预备知识1
2微分中值定理及其证明1
2.1费马引理1
2.2罗尔中值定理及其推广2
2.3拉格朗日中值定理及其推广3
2.4柯西中值定理及其推广3
2.5泰勒中值定理4
3利用微分中值定理证明不等式4
3.1罗尔中值定理证明不等式4
3.2利用拉格朗日中值定理证明不等式5
3.3利用柯西中值定理证明不等式6
3.4利用泰勒中值定理证明不等式8
3.5综合利用微分中值定理证明不等式10
结论11
参考文献11
引言
在高等数学课程中罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理等统称为微分中值定理，他们是微分中值学中最基本、最重要的定理为加深学生对微分中值定理的理解.它的出现是一个过程，聚集了众多数学家的研究成果.从费马到柯西不断发展，理论知识也不断完善，成为了人们引进微分学以后，数学研究中的重要工具之一，而且应用也越来越广泛.微分中值定理在函数在某一点的局部性质；函数图象的走向；曲线凹凸性的判断；积分中值定理；级数理论；等式及不等式证明等问题的研究中也发挥着十分重要的作用.因此，微分中值定理已经成为整个微分学基础而又举足轻重的内容.
1预备知识
微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具，其中最重要
的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。
也就是说微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理等基本定理在内的定理的总称.以下是证明微分中值定理时用到的几个概念.
定义1[1]（单调性）函数f（x）在定义域内,当X,x2时，有
f（Xi）f（X2）（f（Xi）f（X2））
则称f（X）单调递增.当XiX2时,有
f（Xi）f（X2）（f（Xi）f（X2））,
则称f（X）单调递减.
定义2[1]（保号性）若limf（X）limg（x）,则存在0,任意X（冷,
XXoXX）
Xo）,使得f（X）g（X）.
定义3[1]（最值）设f（X）在I上有定义,若存在XoI使任意xI,
f（Xo）f（x）（f（Xo）f（x））,则f（Xo）称为f（x）的最小值（最大值）.Xo为最小值
点（最大值点）.
定义4⑴（极值）设f（x）在任意xI上有定义,若存在XoI,o,任意
x（Xo,Xo）,都有f（x）f（Xo）（f（x）f（Xo）），贝Uf（Xo）称为f（x）
的一个极小值（极大值）,Xo称为极小值点（极大值点）.
2微分中值定理及其证明
2.1费马引理
定理12设函数f（X）在点X的某邻域内有定义,且在点X。
可导，若X。
为f的极值点，则必有
f'（Xo）0
费马定理的几何意义：
如果将函数f（X）的曲线置于直角坐标系XOY,则费马定理具有几何意义表示若在曲线yf（x）上有一点（x0,f（X）））存在切线,且在X）在f（x）取得极值.则这一点处的切线必平行于X轴.
2.2罗尔中值定理及其推广
定理2[3]如果函数f（x）满足：
（1）在闭区间上连续；
（2）在开区间内可导；
（3）在区间端点处的函数值相等，即f（a）f（b），
那么在内至少有一点使得f（）0
罗尔定理的几何意义：
若f（x）满足罗尔定理的条件,则在曲线yf（x）上至少存在一点P（,f（））,使得点P处的切线平行于X轴（如图）,其中A（a,f（a））,B（b,f（b））
证明因为ab,且f（b）f（a）.
（1）若f（x）f（b）f（a）为常数,则必有f（x）0，所以,存在（a,b）,
使得f（）0;
（2）若f（x）不是常数,则f（x）非单调,又有f（x）在a,b上连续在a,b内可导,根据引理1,存在（a,b）,使得
f（）0.
证毕.
定理33设f（x）在a,b内可导，且limf（x）limf（x）A,其中a,
xaxb
则存在（a,b）使得f（）0.
2.3拉格朗日中值定理及其推广
定理44如果函数f（x）满足
（1）在闭区间a,b上连续；
（2）在开区间a,b内可导；则至少存在一点（a,b）使等式
f（b）f（a）
ba
证法利用罗尔中值定理
F（x）f（x）f（a）芈血（xa）.
ba
定理5[5]（推广一）设f（x）,g（x）,h（x）在a,b上连续,在a,b内可导,则存在
（a,b）使得
f（a）
g（a）
h（a）
f（b）
g（b）
h（b）
f（）
g（）
h（）
0.
定理6[6]（推广二）若f（x）在有限开区间a,b内可导,且f（a0）与f（b0）
存在,则至少存在一点（a,b）使得
f（b0）f（a0）
2.4柯西中值定理及其推广
定理77设函数f（x）、g（x）满足:
（1）在闭区间a,b上连续;
（2）在开区间a,b内可导,且g（x）0，则至少存在一点（a,b）使得
f（）f（b）f（a）g（）g（b）g（a）'
定理8[7]（洛必达法则一）若函数f（x）与（x）满足下列条件：
0
（1）在a的某去心领域U（a）可导，且'（x）0；
limf（x）0与lim（x）0;
（2）xaxa
limIMl.
（3）xa（x）
则lim型limiMl.
Xa（x）Xa（x）
证法证明洛必达法则要找到两个函数之比与这两个函数的倒数之比之间的联系.柯西中值定理正是实现这种联系的纽带•为了使函数f（x）与（X）在a满足柯西中值定理的条件，将函数f（x）与（x）在a作连续开拓.这不影响定理的证明，因为讨论函数空在a的极限与函数f（x）与（x）在a的函数值无关.
2.5泰勒中值定理
定理9[8]
立
（x）
若函数fX在x的某邻域UXo内存在n阶导数，则在该邻域成
Rn
fXo2
Xon!
n
Xo尺X
其中
pnx
fn1Tn
xXoGxG.n!
G
称为fX在Xo的n次泰勒多项式，Rn
Rnx
称为n次泰勒多项式的余项.
利用微分中值定理证明不等式
3.1罗尔中值定理证明不等式
罗尔中值定理的几何意义：
在满足定理条件下，在曲线yf（x）上必有一点，使得过该点P（,f（））的切线平行于x轴.
在一般情况下，利用罗尔中值定理很容易证明关于方程的根的问题，但是仅
用罗尔中值定理却很难证明不等式，所以在利用罗尔中值定理证明时要综合利用其他的微分中值定理.
X
例1
（1）如果X0,试证ln（1X）x;
1x
（2）求证:
arctgarctg
证
（1）令f（x）ln（1x）,f（x）在区间0,x（x0）上连续,在0,x（x0）内
可导,应用拉格朗日中值定理,则有ln（1x）ln
（1）—,（0,x）.
由于在闭区间0,x上,有XX
1X1
X,所以1Xx
ln（1x）x（x0）
（2）当时
显然等号成立
当时，不妨设
.设f（x）
arctgx,x,
J
由拉格朗日中值定理得,arCtgarCtg112,
（,
）.
则有
arctgarctg
12（
）
所以
arctgarctg
112（）
3.2利用拉格朗日中值定理证明不等式
拉格朗日中值定理的几何意义：
在满足定理条件下，在曲线yf（x）上必有一点P（,f（））,使得过该点的切线平行于曲线两端点的连线（a,f（a））,（b,f（b））
两点的弦•我们在证明中引入的辅助函数F（x）f（x）f（a）丄©―（xa）,
ba
正是曲线yf（x）与弦线之差.
拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,当f（a）f（b）时，本定理即为罗
尔中值定理的结论，这表明罗尔中值定理是朗格朗日定理的一个特殊情形yf（x）.
拉格朗日中值定理的其它表示形式：
（1）f（b）f（a）f（）（ba）,ab;
（2）f（b）f（a）f（a（ba））（ba）（01）；
（3）f（ah）f（a）f（ah）,01.
值得注意的是：
拉格朗日中值定理无论对于ab,还是ab都成立.而则是介于a与b之间的某一定数,而
（2）,（3）两式的特点,在于把中值点表示成了a（ba）,使得不论a,b为何值,总可为小于1的某一整数.
例2当x0时，函数f（x）在其定义域上可导，且f（x）为不增函数,
nn
f（x）0,x0,i1,2,...,n,求证f（n）f（N）.
i1i1
证用数学归纳法
当n1时,显然不等式成立.
当n2时，若％,x2均为0,或者一个为0时,当一个为0时，
显然有f（X1X2）f（xjf（X2）.
设0X2均大于0,不妨设NX2,在0,M应用拉格朗日中值定理可得：
f（X1）f（xjf（0）
x1x10
f
（1）,1
0,1
在X2,XiX2上再次利用拉格朗日中值定理可得
k
情况.取uX，由前面已证的结论有
i1
f（uXk1）f（u）f（Xk1）,
k1k1
再用归纳假设可得f（Xi）f（Xi）,
i1i1
即当以上例子是利用拉格朗日中值定理来证明不等式，有些不等式利用此定
n
f（X）.
i1
n
理时,方法要灵活些nk1时结论成立.所以f（Xi）
i1
3.3利用柯西中值定理证明不等式
柯西中值定理是研究两个函数f（X）,g（X）的变量关系的中值定理，当一个函数（不妨设此函数为g（X））取作自变量自身时它就是拉格朗日中值定理，所以用
拉格朗日中值定理能证明的不等式一定能用柯西中值定理来证明，反之则不然.
下面举例来说明：
对例1用柯西中值定理证明，这里仅用第一个小题来说明，其证法如下：
证
（1）令f（X）ln（1X）,g（X）X.f（X）,g（X）在区间0,x（x0）上连续，在
0,x（X0）内可导，且g（x）在0,x（X0）内每一点都不为零，那么由柯西中值
定理可得：
ln（1x）In
（1）1心、
（0,X）
（1X）11
则有
ln（1x）In
（1）—,（0,x）.
1
F面与例1中解法同，这里就不再赘述了.
例3
（1）设X0,对01的情况，求证：
xX1
（2）设x0，求证：
sinxeX1.
证明
（1）设f（t）x,g（t）X.
当x1时结论显然成立.
当x1时,取x,1或1,x,f（x）,g（x）在闭区间x,1或1,x上连续,在开区
区间0,x内可导,且g（x）在0,x内每一点均不为零,那么由柯西中值定理可
在上式中取x0a,X旦-,并利用已知条件f（a）0,则有:
2
于是f（电上）f（a）（ba）k.
28
同理再取xb,x¥，并利用已知条件f（b）0,则得：
2
f（S）f（b）（ba）f（C2）,其中C2满足皂上C2b.
282
2
于是：
f（b）f（j）g_k.
28
因此,
,ab
rab,
（ba）2上上
f（b）f（a）
f（b）f（）
f（）f（a）
'丿kf（b）f（a）
2
2
4
这是不可能的.所以在区间a,b内至少存在一点c,使得lf（c）占f（b）f（a）
3.4利用泰勒中值定理证明不等式
泰勒公式的余项大体分两种：
佩亚诺型余项，拉格朗日型余项.与带拉格朗日型余项的泰勒公式相比，带佩亚诺型余项的泰勒公式对函数f（x）的假设条件较
少，只需函数f（x）在Xo处n阶可导,不需要n1阶可导,也不需要在X0的邻域内存在n阶连续导数，因此应用范围较广.但是在证明不等式时，精确度却不如带拉格朗日型余项的泰勒公式好.
利用此原理可以证明一般的不等式，积分不等式，估值不等式等多种不等式这种方法的用法非常广泛.
证明方法：
（1）根据已知条件，围绕证明目标，寻取适当的点将函数在该点展成泰勒展式.
⑵根据已知条件，向着有利于证明不等式的方向对上面的展式作适当的处理,直到可以结合已知条件证出不等式为止.下面举例来说明：
显然第二个比前一个的不等式的精确度高得多
确度会大幅度地提高，所以我们在做题过程中，按题目的要求来选择适当的方法来证明不同的不等式.
证令f（x）sinx,那么函数f（x）在x00点展开前2n项的泰勒公式,
余项取拉格朗形式，那么有:
sin4n3x
sinx
2nk2k1
（1）x
0
（2k
Rtn3（X）
（4n3）!
x4n
x
sin（
R"）
3
（4n3）!
24n3
x
cos4n3
x（4n3）!
因为0
x,所以cos
2
0,从而R2n1（x）0,
所以有
sinx
sinx
2n
（1）kx2k1k0（2k1）!
2n
（1）kx2kk0（2k1）!
sin（
同理，因为R2n（x）
（4n1）!
另外,在遇到高阶导数的不等式，
4.我们也可以用泰勒中值定理来证明
例4的另一种证法：
由题设条件，应用泰勒展开式有：
f（Uf（a）
2
f（Jb
2
其中1介于a与乞上之间，
2
上述两式相减，且有f（a）
0,所以左端的不等号也成立•
一般都首先考虑泰勒中值定理•像之前的例,下面具体来说明：
）f（b）
baf（a）—
2
f（b）--
2
-f（
2
if（
J（j,
2
2）（专几
2
—与b之间.
2
f（b）0,得：
2介于-
f（b）
f（b）
1ab
f（a）（
22
（ab）2
2
）[f
（2）
f
（1）],
f（a）
令max{f
（2）,f
（1）}f（）,
f（a）f（b）
8
（a,b）,则有（ab）2f
4
4
f
（2）
f
（1）.
（）,
（a,b）.
（ba）2f（b）f（a）.
例6设函数
求证：
对任意的x
证对任意的
f（x）在a,b上二阶可导，且f（x）0,f（x）0.
厶.2
a,b,有f（x）
ba
a,b,将f（x）在t点展开（ta,b）.
ba®.
f（x）f（t）f（t）（xt）OX其中介于x与t之间）•
注意到f（x）
0,所以有f（x）f（t）f（xt）.
对上述不等式的两边对t积分,得：
bbb
f（x）dtf（t）dtf（t）（xt）dt
aaa
bbb
（ba）f（x）af（t）dtf（x）（xt）aaf（t）dt
b
2f（t）dtf（b）（xb）f（a）（xa）a
因为f（x）0
2b
f（b）（xb）f（a）（xa）0.所以f（x）f（t）
baa
3.5综合利用微分中值定理证明不等式
禾用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性，其方法是：
如果
函数f（x）在a,b上连续,在a,b内可导,则有：
（1）如果在在a,b内函数f（x）的导数f（x）0,则函数f（x）在a,b上单调
增加；
（2）如果在在a,b内函数f（x）的导数f（x）0,则函数f（x）在a,b上单调
减少.另外,函数f（x）在a,b内除有个别点外,仍有f（x）0（或f（x）0）,则函
数f（x）在a,b上单调增加（或减少）的,即连续函数在个别点处无导数并不影响函数的单调性.
再利用函数的单调性及函数图象上峰值点与各极值点的性质，便可以方便地
求出函数的极值，从而证明出不等式.
其方法为：
确定函数f（x）的定义域，然后求出定义域内的所有驻点，并找出f（x）连续但f（x）不存在的所有点，讨论所有驻点和不可导点左右两侧附近f（x）的符号变化情况，确定函数f（x）的极值点，并求出相应的极大值点与极小值点，从而进一步证明不等式.
例7求证
（1）当x
0时，证明ln（1x）
2）当x
（0,-）时,证明
tanx
x
2
—成立.
2
x成立.sinx
证
（1）令f（X）
ln（1
x）
因为函数f（x）在［0,）上连续,在
（0,）内可导,且
当x0时，f（x）
0,所以当
0时，函数f（x）是单调递增的.故当x0
f（x）
f（0）
从而
ln（1
x）x
0,即f（x）0,
2
—成立.
（2）因为x（0,-）,所以sinx0,心0.令函数f（x）sinxtanxx2,则
有：
2
f（x）sinxsecxsinx2xtanx（cosx
时严格递增的,又因为f（x）0,所以f（x）0（x（0,—））,即四—成立.
2xsinx
例8设函数f（x）在闭区间a,b上二次可微,且满足f（x）0,
试证:
当axb时,有不等式：
f（x）f⑻他f⑻成立.
xaba
证令（x）f（x）f（a）,那么（x）f（x）f（）（ax）.
xaxa
由于f（x）0,可知f（x）在闭区间a,b上是严格递增的，即f（x）f（）,
从而有（x）0,
故函数（x）在闭区间a,b上也是严格递增的，于是当xa,b时，有:
（x）（b）,
f（x）f（a）f（b）f（a）成立
xaba
结论
由上所述,我们发现微分中值定理的证明除了构造辅助函数，还可以利用其他
的证明方法加以证明，同时从罗尔定理到柯西中值定理的层次之间还存在着递进关系•除了本文介绍的几个方面，利用微分中值定理还可以导出洛必达法则，泰勒
公式等•由导数研究函数的性态（极值、最值、凹凸性）也要用到微分中值定理的结论•深入研究微分中值定理，有助于加深对这些定理的理解；清楚这些定理的证明,能促使我们掌握微分中值定理的具体应用•
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