高三数学上学期第二次阶段期中测试试题 理.docx
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高三数学上学期第二次阶段期中测试试题理
2019-2020年高三数学上学期第二次阶段（期中）测试试题理
满分:
150分 考试时间:
120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
）
1、已知集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2、幂函数
的图像经过点
，则
的值为（ ）
A.1B.2C.3D.4
3、已知
都是单位向量，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4、已知命题
：
对任意
，总有
，
：
“
”是“
”的充分不必要条件，则
下列命题为真命题的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5、下列函数中,在区间
上为增函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
6、函数
的图像可能是下列图像中的（ ）
7、若曲线
的一条切线
与直线
垂直，则
的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
8、下列命题中，真命题是（ ）
A.函数
的单调递增区间为
B.命题“
”的否定是“
”
C.
若
为共轭复数，则
为实数
D.
是函数
的图像的一条对称轴
9、已知定义在
上的函数
满足以下三个条件:
①对于任意的
都有
;②对于任意的
，且
，都有
③函数
的图像关于
轴对称,则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10、已知函数
若函数
有三个零点,则实数
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分。
）
11、在复平面内，复数
对应的点的坐标为____________
12、若
则
的值是____________
13、已知向量
夹角为
且
;则
____________
14、直角坐标平面内三点
，若
为线段
的三等分点，则
＝____________.
15、对于函数
，若存在区间
，当
时的值域为
，则称
为
倍值函数.若
是
倍值函数，则实数
的取值范围是.
年级班级座号姓名
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
清流一中2014-2015学年上学期高三理科
半期考试卷答题卡
满分:
150分 考试时间:
120分钟
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
二、填空题（本大题共5题，每小题4分，共20分。
）
11、12、13、
14、15、
三、解答题（本大题共6小题，共80分。
）
16、（本小题满分13分）在等差数列
中,
且
求数列
的首项、公差及前
项和.
17、（本小题满分13分）设
的内角
所对的边分别为
，已知
（1）求
的周长与面积；
（2）求
.
18、（本小题满分13分）函数
最小正周期为
（1）求
的表达式;
（2）将函数
的图像向右平移
个单位,再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到函数
的图像,若关于
的方程
在区间
上有且只有一个实数解,求实数
的取值范围.
19、（本小题满分13分）已知向量
（1）求证：
；
（2）若存在不等于
的实数
和
，使
满足
。
试求此时
的最小值。
20、（本小题满分14分）如图所示，甲船以每小时
海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于
处时，乙船位于甲船的北偏西
方向的
处，此时两船相距
海里．当甲船航行
分钟到达
处时，乙船航行到甲船的北偏西
方向的
处，此时两船相距
海里．问乙船每小时航行多少海里？
21、（本小题满分14分）设函数
，
是
的导函数．
………………………密……………………………………封…………………………………………………………线…………………………………
（1）令
，猜想
的表达式；
（2）若
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）设
，比较
与
的大小，并加以证明．
清流一中2014-2015学年上学期高三理科数学
半期考试卷参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
C
B
B
D
A
C
A
C
A
D
二、填空题（本大题共5小题,每小题4分,满分20分.把答案填在题中相应位置横线上）
11、
12、213、
14、2215、
三、解答题（本大题共6小题,满分80分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）
16、解:
设该数列公差为
前
项和为
.由已知,可得
.………………………4所以
解得
或
………………………7
即数列
的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.………………………9所以数列的前
项和
或
………………13
17、解：
（Ⅰ）
………2
的周长为
……………………4
……………………5
………………………7
（Ⅱ）
………………………9
故A为锐角
.
.……………………11
.………………13
18、（I）
…………………3
由题意知
的最小正周期
所以
所以
………………………6
（Ⅱ）将
的图象向右平移个
个单位后,得到
的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到
的图象.
所以
………………………8
因为
所以
.………………………9
在区间
上有且只有一个实数解,即函数
与
在区间
上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知
或
所以
或
.………………………13
19、解：
由诱导公式得：
………………………2
（1）
则
………………………4
（2）
即：
………………………7
……………………10
即当
时，
的最小值为
.………………………13
20、解 如图所示，连结A1B2，
由已知A2B2＝10
，
A1A2＝30
×
＝10
，∴A1A2＝A2B2，
又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，
∴△A1A2B2是等边三角形，
∴A1B2＝A1A2＝10
.………………………6
由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，
在△A1B2B1中，由余弦定理，
B1B
＝A1B
＋A1B
－2A1B1·A1B2·cos45°
＝202＋（10
）2－2×20×10
×
＝200.
∴B1B2＝10
.………………………12
因此，乙船速度的大小为
×60＝30
（海里/小时）．………13
答 乙船每小时航行30
海里．………14
21、解：
由题设得，g（x）＝
（x≥0）．………………………1
（1）由已知，g1（x）＝
，
g2（x）＝g（g1（x））＝
＝
，
g3（x）＝
，…，猜想gn（x）＝
.………………………4
（2）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1＋x）≥
恒成立．
设φ（x）＝ln（1＋x）－
（x≥0），
则φ′（x）＝
－
＝
，………………………6
当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x＝0，a＝1时等号成立），
∴φ（x）在[0，＋∞）上单调递增，又φ（0）＝0，
∴φ（x）≥0在[0，＋∞）上恒成立，
∴a≤1时，ln（1＋x）≥
恒成立（仅当x＝0时等号成立）．………………8
当a>1时，对x∈（0，a－1]有φ′（x）<0，
∴φ（x）在（0，a－1]上单调递减，
∴φ（a－1）<φ（0）＝0.
即a>1时，存在x>0，使φ（x）<0，
故知ln（1＋x）≥
不恒成立．
综上可知，a的取值范围是（－∞，1]．………………………10
（3）由题设知g
（1）＋g
（2）＋…＋g（n）＝
＋
＋…＋
，
比较结果为g
（1）＋g
（2）＋…＋g（n）>n－ln（n＋1）．
证明如下：
方法一：
上述不等式等价于
＋
＋…＋
在
（2）中取a＝1，可得ln（1＋x）>
，x>0.
令x＝
，n∈N＋，则
.………………………11
下面用数学归纳法证明．
①当n＝1时，
②假设当n＝k时结论成立，即
＋
＋…＋
那么，当n＝k＋1时，………………………12
＋
＋…＋
＋
＝ln（k＋2），
即结论成立．
由①②可知，结论对n∈N＋成立．………………………14
方法二：
上述不等式等价于
＋
＋…＋
在
（2）中取a＝1，可得ln（1＋x）>
，x>0.………………………11
令x＝
，n∈N＋，则ln
>
.
故有ln2－ln1>
，
ln3－ln2>
，
……
ln（n＋1）－lnn>
，………………………13
上述各式相加可得ln（n＋1）>
＋
＋…＋
，
结论得证．………………………14
方法三：
如图，
dx是由曲线y＝
，x＝n及x轴所围成的曲边梯形的面积，而
＋
＋…＋
是图中所示各矩形的面积和，
∴
＋
＋…＋
>
dx＝
dx＝n－ln（n＋1），
结论得证．………………………14
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