黑洞与弯曲的时空.docx
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黑洞与弯曲的时空
黑洞与弯曲的时空
复习
1.黑洞研究
黑洞最初被视为一颗死亡的星，被认为是恒星演化的最终归宿。
起初，人们的着眼点只放在研究它的力学行为上。
后来才突然发现黑洞有着丰富的内涵，它不仅有力学性质，而且有量子性质和热性质。
黑洞不是一颗死亡了的星体，它有着丰富的生命力。
黑洞不是天体演化的最终归宿，而是天体演化的一个中间阶段。
最为奇妙的是，黑洞有温度，有热辐射，黑洞的表面积可以看作熵。
黑洞具有负的热容量，发出热辐射后，自身温度不仅不降低反而会升高。
因此，黑洞与外界很难形成稳定的热平衡。
大黑洞温度很低，小黑洞具有极高的温度，最终会发生爆炸。
研究表明，两个黑洞碰撞时，接触点的温度会降到绝对零度，而尾部会产生高温喷流。
2.两大难题
广义相对论的研究，特别是黑洞理论的研究，引导出物理学的一个基本困难——奇点困难。
奇点是时空曲率发散（无穷大）的地方，是时空的病态部分。
目前认为，奇点本身不应属于时空。
奇点可以看作时间开始或者终结的地方。
彭若斯和霍金等人严格证明了一条奇点定理。
该定理的内容可粗略表述如下：
只要广义相对论正确，因果性良好，而且时空中至少有一点存在物质，那么这个时空就一定有奇点，或者说，就至少有一个物理过程，时间有开始，或者有结束，或者既有开始又有结束。
他们似乎证明了，任何物理时空中的时间，都不可能是无限的。
彭若斯和霍金证明了时间的有限性！
奇点定理对物理学和哲学的影响是显而易见的。
现代物理学的另一个重要困难也来自弯曲时空的研究。
多年的探讨表明，引力场量子化后不能重正化，其中有一些无穷大的项（发散部分）没有办法消除，即使采用现在的任何一种超对称、超引力和超弦方案也解决不了这一困难。
“奇点困难”和“引力场量子化困难”，是目前摆在物理学工作者面前的两大难题，它们有可能把物理学导向一场新的革命。
3.发展前景
这里，黑洞的研究最值得注意。
它把热力学与时间弯曲联系起来。
物理学中有两个规律比较特别，一个是广义相对论，另一个是热力学第二定律。
所有的物理理论都把时空看作平直的，都认为时空是与物质和运动无关的背景，只有广义相对论认为时空与物质和运动不可分离，时空不是平直的，而是弯曲的。
所有的物理理论（甚至包括广义相对论）都认为时间是可逆的，只有热力学第二定律显示了时间演化的箭头。
热力学与时空理论（广义相对论）的结合，很有可能是物理学革命的新起点。
一、对时空和宇宙的早期认识
二、相对论与量子论
（一）相对论的提出
1.麦克斯韦电磁理论
2.洛伦兹收缩，洛伦兹变换
3.爱因斯坦相对论
（二）相对论的内容
相对论以洛伦兹变换为核心。
1.同时的相对性
2.运动时钟变慢
3.质能关系
4.闵可夫斯基时空
x0=ct,x1=x,x2=y,x3=z
在相对论中，矢量被定义为在洛伦兹变换下与坐标（微分元）一样变的量。
例如，在c=
=G=1的自然单位制下（其中
=h/2π），电磁场的电势φ和磁势Ai（i=1，2，3）可构成洛伦兹变换下的四维矢量
（2.2.16）
其中A0=φ。
Jβ=（J0,J1,J2,J3）为四维电流密度矢量，其中J0=ρ为电荷密度，Ji（i=1,2,3）为三维电流密度。
所有的力学量和电学量都可以写成张量，所有的力学规律（除万有引力定律之外）和电磁学规律都可以写成张量方程。
力学规律和电磁学规律都满足洛伦兹变换和相对性原理，都符合相对论。
在相对论中，时间与空间构成一个不可分割的整体——四维时空，能量与动量也构成一个不可分割的整体——四维动量。
（三）相对论的若干重要概念
1.世界线
闵可夫斯基时空中的一个点，用（t,x,y,z）四个座标表示，称为一个事件。
三维空间中的一个点，不管是运动的还是不动的点，由于时间的不停发展，在四维时空中都会描出一根线，称为世界线。
图231，z未画。
三维空间，两点之间距离dl的平方
dl2=dx2+dy2+dz2（2.3.1）
dx2=（x2–x1）2,dy2=（y2–y1）2,dz2=（z2–z1）2
四维时空中两点的“距离”表示为
ds2=-c2dt2+dx2+dy2+dz2（2.3.2）
ds通常称为两点的间隔。
又可看作世界线的线元。
当ds2=0时，有
2.光锥
时空中任选一点P，与P点的间隔类光的点组成的锥面，称为P点的光锥，图232。
光锥实际上是四维时空中的一个三维超曲面，图中略去了一维空间。
内部，类时。
未来，过去。
面上，类光。
外部，类空。
相对论，无因果联系。
类时矢量，类空矢量，类光矢量。
图233。
3.固有时间与双生子佯谬
定义
（2.3.4）
为此质点的固有时间。
相对论认为，一个质点的固有时间是它经历的真实时间。
当质点静止在S系中时，它的固有时间τ与S系的时间t（称为S系的坐标时间）一致。
但是，如果质点不在S系中静止，而是在运动，那么dx，dy，dz都可能不为零。
这时，从
ds2=-c2dt2+dx2+dy2+dz2（2.3.2）
可知
（2.3.5）
v为质点在S系中的运动速度。
质点运动，其固有时间与S系的坐标时间并不一致。
那么，哪一个是质点经历的真实时间呢？
相对论认为，是固有时间τ，而不是坐标时间t。
假如此质点是一个钟，它指示的时间是τ而不是t。
（2.3.4），固有时间τ与s成正比。
s表示世界线的“长度”，故τ也表示世界线的“长度”。
因此，质点世界线的长度就是它所经历的真实时间——固有时间。
固有时间不依赖于选用什么坐标系，只依赖于质点（这个质点可以是一个观测者）自身描出的世界线的长度。
4.时空图与零曲面
法矢量倒在超曲面内，并与其一个切矢量重合的现象在黑洞研究中极为重要。
我们称这样的超曲面为零超曲面，简称零曲面或类光曲面。
它的法矢量称为零矢量或类光矢量。
（四）量子论的进展
1.量子力学的建立
2.相对论量子力学与狄拉克真空
克莱因—高登方程描述自旋为零的粒子。
狄拉克方程描述自旋为1/2的粒子。
克莱因—高登方程存在负能困难和负几率困难。
狄拉克方程避免了负几率困难，但仍存在负能困难。
狄拉克提出“真空不空”的思想，在泡利不相容原理的基础上克服了负能困难，并预言了正电子和反物质的存在。
狄拉克认为，真空并不是一无所有的状态，而是能量最低的状态。
也就是说，真空是所有正能态都空着，而所有负能态都被粒子填满的状态。
注意，空着的负能态比填满时的能量要高。
3.二次量子化与量子场论
三、弯曲的时空
（一）广义相对论的物理基础
1.狭义相对论的困难
（1）惯性系所引起的困难
（2）万有引力所引起的困难
爱因斯坦把万有引力定律写成洛伦兹协变形式的任何企图都失败了。
爱因斯坦提出了广义相对性原理和等效原理作为建立新理论的基石。
2.广义相对性原理和马赫原理
假定相对性原理和光速不变原理在任何参考系中都成立，而不仅仅只在惯性系中成立。
这样，狭义相对性原理被推广为广义相对性原理：
一切参考系都是平权的，即物理规律在任何坐标系下形式都不变——广义协变性。
光速不变原理适用的范围也从惯性观测者推广到任意观测者：
任意观测者测量的光速都是c。
马赫原理引导爱因斯坦找到了新理论最重要的一块基石——等效原理。
3.引力质量与惯性质量相等
4.等效原理
引力质量与惯性质量相等的推论是a=g。
它表明引力场与惯性场等效，这称为等效原理。
5.新理论的构想
他把等效原理、广义相对性原理和光速不变原理作为新理论的基础。
他觉得，新理论的基本方程应该有两个，一个描述质量如何使时空弯曲
质量项=曲率项
另一个描述弯曲时空中质量的运动。
广义相对论实际上是一个关于时间、空间和引力的理论。
（二）黎曼几何中的张量
1.黎曼几何的建立
2.广义坐标变换
弯曲时空不能建立大范围的直角坐标系，只能使用曲线坐标。
曲线坐标系之间的变换一般是非线性、非正交的。
我们称其为广义坐标变换。
广义坐标变换下坐标微分元的变换关系
μ，ν=0，1，2，3（3.2.2）
重复指标同样代表求和。
3.张量的定义
张量是按坐标变换的规律来定义的，这是张量最根本的特点。
定义在坐标变换下不变的量为标量。
（
）=u（x）（3.2.6）
在广义坐标变换下，像坐标微分元一样变换的量，称为逆变矢量
μ，ν=0，1，2，3（3.2.2）
μ，ν=0，1，2，3（3.2.7）
不难看出，（3.2.7）与（3.2.2）的变换规律一样。
在广义坐标变换下，变换规律为
（2.2.8）
的量，称为协变矢量。
它的变换规律与偏导数相同
容易看出，逆变和协变矢量都由四个分量组成。
在广义坐标变换下，也可定义逆变张量、协变张量和混合张量。
有两个指标的张量称为二阶张量。
有一个指标的矢量，称为一阶张量。
没有指标的标量，称为零阶张量。
存在二阶以上的张量，例如描述时空弯曲情况的曲率张量
，它有四个指标。
本节介绍的张量是广义坐标变换下的张量，由于坐标变换非线性，变换系数
不是常数，而是时空点的函数。
我们只能在时空中逐点定义张量。
不过，既然每一点都可以定义张量，那么，各点定义的同一个张量就可以构成一个张量场，每一点定义的同一个矢量也可以构成一个矢量场，当然每一点定义的同一个标量也可以构成一个标量场。
这样，我们就可以把洛伦兹变换下的电磁矢量和张量推广到弯曲时空中，得到电磁矢量场和电磁张量场。
4.张量的运算和缩并
Aμν+Bμν=Cμν（3.2.13）
AμνBσ=Dμνσ（3.2.14）
张量有一种特殊的运算，叫做缩并。
如果一个逆变矢量Aμ与一个协变矢量Bμ相乘，而且指标相同，则它们的乘积将变成标量
AμBμ=u（3.2.15）
这种运算叫做缩并。
它类似于普通物理力学、电磁学中的矢量的内积
A·B=AxBx+AyBy+AzBz（3.2.16）
运算的结果不再是矢量，而是标量。
实际上，由于重复指标代表求和，（3.2.15）可表示成
AμBμ=A0B0+A1B1+A2B2+A3B3（3.2.17）
与（3.2.16）非常相似。
我们把矢量之间的缩并（3.2.15）称为矢量的内积或标积。
二阶以上张量也可以做缩并运算，例如
AμνBν=Cμ（3.2.18）
缩并后成为一阶张量——矢量。
AμνBμCν=u（3.2.19）
缩并成标量。
总之，只要一个上指标与一个下指标相同，就发生缩并。
同时要注意，缩并时出现重复指标，别忘了求和。
5.度规张量
把“间隔”的概念，从平直时空推广到弯曲时空。
弯曲时空中的间隔，也是广义坐标变换下的不变量——标量。
现在来给出“间隔”与坐标微分元之间的关系。
我们引进一个二阶张量gμν，使得
ds2=gμνdxμdxνμ,ν=0，1，2，3（3.2.29）
注意重复指标代表求和，上式的右端一共16项。
张量gμν与间隔的度量有关，称为度规张量，共16个分量，可用矩阵表示
（3.2.30）
它是一个对称张量，gμν=gνμ。
例如，g12=g21，g01=g10。
所以，独立分量只有10个。
度规是广义相对论的基本几何量（同时又是基本物理量）。
确定了度规，就确定了时空曲率。
所以，知道了度规，就了解了整个时空的几何性质。
广义相对论的主要研究，都集中在确定和研讨时空的度规上。
6.能量—动量张量
（三）广义相对论中的时间和空间
1.坐标钟和标准钟
对于弯曲时空中的任意观测者，我们可以让他所持的钟的读数正比于自己世界线的长度。
这个钟就是他的标准钟，记录的时间就是他的固有时间。
他的坐标时间与固有时间之间的关系为
（3.3.7）
这里已考虑到观测者静止于坐标系xμ中的一个点。
2.固有距离的测量
相对论中用来测量距离的工具是钟而不是尺。
3.同时的传递性
在某些坐标系中，可把空间各点坐标钟的速率调得一样快，但是，不能在全空间建立同时面，即不能定义全空间统一的“同时时刻”。
（四）短程线
1.短程线
爱因斯坦在创建广义相对论时设想，万有引力不是真正的力，而是时空弯曲的表现。
这种弯曲由物质的存在和运动造成。
质点在万有引力场中的运动实质上是一种没有受到力的惯性运动。
在平直时空中，惯性运动是直线运动。
弯曲时空中没有直线，但有短程线。
他认为，质点在万有引力场中的运动，既然是弯曲时空中的惯性运动，就应沿弯曲时空中的“直线”（短程线）进行。
爱因斯坦认为，广义相对论的基本方程应该有两个，一个是描述物质如何造成时空弯曲的，称为场方程（爱因斯坦场方程），另一个是描述质点如何在弯曲时空中运动的，称为运动方程。
场方程在下一节中介绍，现在先介绍运动方程。
爱因斯坦认为，运动方程就是短程线方程，可以很容易地从黎曼几何得到。
（3.4.6）
它也就是广义相对论中的运动方程，弯曲时空中不受力（指不受万有引力之外的力，万有引力本身不算力）的质点就沿此线作惯性运动。
式中
称为联络，它与度规有如下关系
（3.4.7）
式中逗点表示偏微分，例如
（3.4.8）
用度规计算联络时，要注意重复指标代表求和。
2.联络
联络和度规一样，是广义相对论中重要的几何量。
同时也是重要的物理量。
联络有三个指标，有43=64个分量，很像（1+2）阶张量。
但它不是张量。
3.曲率与挠率
挠率表现为联络的反对称部分
（3.4.10）
可以证明
是一个（1+2）阶的张量，称为挠率张量。
曲率也可由联络构成
（3.4.11）
它是（1+3）阶的张量，称为曲率张量。
广义相对论是挠率为零的理论。
在挠率为零的情况下，联络变成对称的，曲率张量也会增加许多对称性。
4.协变微分
张量的普通微分不是张量。
我们希望张量的运算是闭合的，也就是说，它的加、减、乘、微分等运算的结果还应是张量。
加、减、乘法可以保证这一点，但微分出了问题。
研究发现，联络可以帮助我们定义另一种微分——协变微分，对张量做这种微分，所得的结果仍然是张量。
5.对短程线的讨论
（五）爱因斯坦场方程
1.场方程
爱因斯坦认为，时空的弯曲由物质决定，有关方程的一端应该是时空曲率，另一端应该是能量和动量。
时空曲率=能量动量（3.5.1）
在广义相对论中，统一写成四维时空的张量形式。
Rμν–gμνR/2=-κTμν（3.5.11）
Rμν–gμνR/2=-κTμν（3.5.12）
这两个方程就是爱因斯坦给出的广义相对论的基本方程——场方程。
它通常称为爱因斯坦场方程，反映物质的能量—动量如何决定时空曲率。
常数κ与万有引力常数G有关
（3.5.13）
式中c是光速。
2.对场方程的讨论
广义相对论的主要任务就是求解此方程。
场方程是关于度规的二阶微分方程，而且是非线性方程。
场方程和坐标条件是由10个二阶非线性偏微分方程组成的方程组，求解起来十分困难。
求场方程的严格解，成为一个重要的研究领域。
3.从场方程推出运动方程
最初，爱因斯坦认为广义相对论的基本方程有两个，一个是物质决定时空曲率的场方程，
Rμν–gμνR/2=-κTμν（3.5.11）
另一个是质点在弯曲时空中的自由运动方程
（3.4.6）
后来，爱因斯坦和福克分别独立证明了运动方程可从场方程推出，这表明广义相对论的基本方程只有一个——场方程。
4.引力波
值得一提的是，1974年泰勒和赫尔斯发现脉冲双星（由两颗中子星组成）PSR1913+16的公转周期每年减少约万分之一秒。
如果认为这是由于辐射引力波而使双星动能减少所致，则观测值与理论值符合得很好。
此效应似乎可看作发现引力波的一个间接证据。
5.弯曲时空中的力学和电磁学定律
（六）广义相对论的实验验证
1.史瓦西解
史瓦西给出了爱因斯坦方程的一个严格解。
这是一个静止、球对称星体外部的真空解。
其中不为零的度规分量为
g22=r2，g33=r2sin2θ（3.6.1）
写成矩阵形式是
（3.6.2）
用线元表示出来为
（3.6.3）
式中M为星体质量，G为万有引力常数，c为光速。
取x0=ct，x1=r，x2=θ，x3=φ。
太阳转动缓慢，外部近似为真空。
史瓦西解很好地描述了太阳外部的时空弯曲情况。
下面介绍用史瓦西解和太阳附近的观测效应来检验广义相对论。
2.引力红移
爱因斯坦预言，由于时空弯曲，太阳附近的钟会变慢，那里的光源发出的光，谱线将发生红移。
时空的弯曲情况不随时间变化的时空，称为稳态时空。
此时空的gμν与t无关
（3.6.4）
史瓦西时空的度规不仅满足条件（3.6.4），而且时间轴与三个空间轴都正交
g0i=0（3.6.5）
此式称为时轴正交条件。
同时满足上述两个条件的时空叫做静态时空。
静态时空一定是稳态的，但稳态时空不一定是静态的。
史瓦西时空是静态的，当然也就是稳态的。
爱因斯坦建议用光谱线频率的移动来检验时钟变慢的效应。
引力红移效应是由于太阳处时空弯曲得厉害，那里的时间变慢所致。
这个效应被天文观测和实验室观测所证实。
3.水星轨道近日点的进动
4.光线偏折
爱因斯坦用广义相对论预言的引力红移、光线偏折和行星轨道近日点的进动三个效应，都被实验观测所证实。
此后，还有雷达回波、引力透镜等实验，也支持了广义相对论。
五、黑洞
电荷
转动
类型
无
无
史瓦西
有
无
雷斯勒-诺斯特诺姆
Reissner–Nordstrom（R—N）
无
有
克尔
有
有
克尔-纽曼
（一）史瓦西黑洞
1.牛顿理论中的黑洞
2.史瓦西时空的奇点和奇面
史瓦西度规
（5.1.2）
奇点：
r=0内禀奇异性
奇面：
坐标奇异性
3.无限红移面
r=rg=2GM/c2。
4.零超曲面和事件视界
如果满足nμnμ=0
或
=0（5.1.14）
则此超曲面是一个零超曲面，其法矢量的长度为零。
为了方便，以后简称零超曲面为零曲面。
零曲面是普遍存在的。
例如，光波的波前就是零曲面。
不过，我们这里感兴趣的是一类特殊的零曲面，它保有该时空的对称特性，称为事件视界，简称视界。
（5.1.14）式可约化成
（5.1.15）
（5.1.15）式的解只能是
（5.1.16）
即
（5.1.17）
我们看到，史瓦西时空有事件视界，它恰是引力半径rg处的奇面，与无限红移面重合。
人们就把事件视界定义为黑洞的边界。
rrg的时空区，称为黑洞的外部
5.单向膜区
6.时空坐标互换
（二）克鲁斯卡坐标和彭若斯图
为了讨论的方便，我们今后选用c=
=G=1的自然单位制。
这时史瓦西时空的线元简写成
（5.2.1）
引力半径为rg=2M（5.2.2）
1.史瓦西坐标的缺点
2.自由下落观测者
Novikow坐标
3.Tortoise坐标和爱丁顿坐标
4.克鲁斯卡坐标
克鲁斯卡度规具有最大解析区和最高完备性。
5.彭若斯图
（三）带电的黑洞
1.R—N黑洞的构造
（1）度规
（2）奇点和奇面
奇点:
r=0内禀奇点
奇面：
坐标奇异性
（3）无限红移面
从红移公式
（5.3.4）
可知，只要g00=0（5.3.5）
就会产生无限红移。
因此，（5.3.5）式可看作稳态时空中决定无限红移面的普遍公式。
把（5.3.1）代入（5.3.5）可知，（5.3.3）所示的r+和r-恰是（5.3.5）的解。
（4）视界
把Reissner–Nordstrom时空（带电史瓦西时空）的度规代入零曲面公式
=0（5.1.14）
可得
（5.3.6）
此方程的解仍是（5.3.3）。
r=r+是这个黑洞的边界。
我们称这个黑洞为Reissner-Nordstrom黑洞（R-N黑洞）或带电史瓦西黑洞。
与通常的史瓦西黑洞一样，它的中心有一个奇点。
但与史瓦西黑洞不同的是，R–N黑洞有内、外两个视界，内、外两个无限红移面。
这两个视界分别与这两个无限红移面重合（图5.3.1）。
2.彭若斯图
3.奇点的不可抵达性
要求无限长时间，或无穷大加速度。
4.极端黑洞与裸奇点
M2=Q2（5.3.14）
r+=r-=M（5.3.15）
M2（四）转动的黑洞
（5.4.1）
其中ρ2≡r2+a2cos2θ（5.4.2）
Δ≡r2-2Mr+a2（5.4.3）
奇环
内禀奇环（5.4.9）
奇面
坐标奇异性（5.4.10）
1.无限红移面和视界
在第三节中曾经给出了求无限红移面的普遍公式
g00=0（5.3.5）（5.4.11）
在第一节中给出了求视界的普遍公式
=0（5.1.14）（5.4.12）
无限红移面
（5.4.14）
视界为
（5.4.26）
这就是克尔时空的视界。
我们看到，克尔时空的视界和无限红移面各有两个，而且视界和无限红移面不重合。
黑洞的边界是用视界而不是用无限红移面来定义的。
我们称外视界r+包围的部分为克尔黑洞。
（图5.4.1）
2.单向膜区和能层
3.奇异性
出现在视界处的奇异性是坐标奇异性，曲率不发散，粒子可自由地穿过它进入黑洞。
然而，有趣的是，克尔黑洞的内禀奇异区不是一个“点”，而是一个“环”（图5.4.2）。
4.彭若斯图
5.极端黑洞和裸奇点
a2=M2（5.4.35）
r+=r-=M（5.4.36）
M2奇环也不属于时空，裸露的奇环也会以不确定的信息影响时空中的因果关系。
（五）最一般的稳态黑洞
1.克尔—纽曼时空
纽曼（E.T.Newman）等人把克尔解推广到带电情况，得到克尔—纽曼（Kerr—Newman）解。
它描述一个转动带电星体的外部引力场，即该星体外部时空的弯曲情况。
其线元为
（5.5.1）
式中ρ2=r2+a2cos2θ
Δ=r2-2Mr+a2+Q2（5.5.2）
克尔—纽曼时空在M≠0，J≠0但Q=0时回到克尔时空；在M≠0，Q≠0但J
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