黑洞与弯曲的时空.docx

1、黑洞与弯曲的时空黑洞与弯曲的时空复习1. 黑洞研究黑洞最初被视为一颗死亡的星，被认为是恒星演化的最终归宿。起初，人们的着眼点只放在研究它的力学行为上。后来才突然发现黑洞有着丰富的内涵，它不仅有力学性质，而且有量子性质和热性质。黑洞不是一颗死亡了的星体，它有着丰富的生命力。黑洞不是天体演化的最终归宿，而是天体演化的一个中间阶段。最为奇妙的是，黑洞有温度，有热辐射，黑洞的表面积可以看作熵。黑洞具有负的热容量，发出热辐射后，自身温度不仅不降低反而会升高。因此，黑洞与外界很难形成稳定的热平衡。大黑洞温度很低，小黑洞具有极高的温度，最终会发生爆炸。研究表明，两个黑洞碰撞时，接触点的温度会降到绝对零度，而

2、尾部会产生高温喷流。2. 两大难题广义相对论的研究，特别是黑洞理论的研究，引导出物理学的一个基本困难奇点困难。奇点是时空曲率发散（无穷大）的地方，是时空的病态部分。目前认为，奇点本身不应属于时空。奇点可以看作时间开始或者终结的地方。彭若斯和霍金等人严格证明了一条奇点定理。该定理的内容可粗略表述如下：只要广义相对论正确，因果性良好，而且时空中至少有一点存在物质，那么这个时空就一定有奇点，或者说，就至少有一个物理过程，时间有开始，或者有结束，或者既有开始又有结束。他们似乎证明了，任何物理时空中的时间，都不可能是无限的。彭若斯和霍金证明了时间的有限性！奇点定理对物理学和哲学的影响是显而易见的。现代物

3、理学的另一个重要困难也来自弯曲时空的研究。多年的探讨表明，引力场量子化后不能重正化，其中有一些无穷大的项（发散部分）没有办法消除，即使采用现在的任何一种超对称、超引力和超弦方案也解决不了这一困难。“奇点困难”和“引力场量子化困难”，是目前摆在物理学工作者面前的两大难题，它们有可能把物理学导向一场新的革命。3. 发展前景这里，黑洞的研究最值得注意。它把热力学与时间弯曲联系起来。物理学中有两个规律比较特别，一个是广义相对论，另一个是热力学第二定律。所有的物理理论都把时空看作平直的，都认为时空是与物质和运动无关的背景，只有广义相对论认为时空与物质和运动不可分离，时空不是平直的，而是弯曲的。所有的物理

4、理论（甚至包括广义相对论）都认为时间是可逆的，只有热力学第二定律显示了时间演化的箭头。热力学与时空理论（广义相对论）的结合，很有可能是物理学革命的新起点。一、 对时空和宇宙的早期认识二、相对论与量子论（一）相对论的提出1. 麦克斯韦电磁理论2. 洛伦兹收缩，洛伦兹变换3. 爱因斯坦相对论（二）相对论的内容相对论以洛伦兹变换为核心。1. 同时的相对性2. 运动时钟变慢3. 质能关系4. 闵可夫斯基时空x0 = ct, x1=x, x2 = y, x3 = z在相对论中，矢量被定义为在洛伦兹变换下与坐标（微分元）一样变的量。例如，在c = G =1的自然单位制下（其中= h / 2），电磁场的电势

5、和磁势Ai (i = 1，2，3)可构成洛伦兹变换下的四维矢量 （2.2.16）其中A0 =。J = (J0, J1, J2, J3)为四维电流密度矢量，其中J0 =为电荷密度，Ji( i = 1, 2, 3)为三维电流密度。所有的力学量和电学量都可以写成张量，所有的力学规律（除万有引力定律之外）和电磁学规律都可以写成张量方程。力学规律和电磁学规律都满足洛伦兹变换和相对性原理，都符合相对论。在相对论中，时间与空间构成一个不可分割的整体四维时空，能量与动量也构成一个不可分割的整体四维动量。（三）相对论的若干重要概念1. 世界线闵可夫斯基时空中的一个点，用(t, x, y, z)四个座标表示，称为

6、一个事件。三维空间中的一个点，不管是运动的还是不动的点，由于时间的不停发展，在四维时空中都会描出一根线，称为世界线。图231，z未画。三维空间，两点之间距离dl的平方dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 （2.3.1）dx 2 = ( x 2 x 1 ) 2, dy 2 = ( y 2 y 1 ) 2, dz 2 = ( z 2 z 1 ) 2四维时空中两点的“距离”表示为ds 2 = - c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 （2.3.2）ds通常称为两点的间隔。又可看作世界线的线元。当ds 2 = 0时，有2. 光锥时空中任选一点P，与P点的间隔类光的点

7、组成的锥面，称为P点的光锥，图232。光锥实际上是四维时空中的一个三维超曲面，图中略去了一维空间。内部，类时。未来，过去。面上，类光。外部，类空。相对论，无因果联系。类时矢量，类空矢量，类光矢量。图233。3. 固有时间与双生子佯谬定义 （2.3.4）为此质点的固有时间。相对论认为，一个质点的固有时间是它经历的真实时间。当质点静止在S系中时，它的固有时间与S系的时间t（称为S系的坐标时间）一致。但是，如果质点不在S系中静止，而是在运动，那么dx，dy，dz都可能不为零。这时，从ds 2 = - c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 （2.3.2）可知 （2.3.5）v为质

8、点在S系中的运动速度。质点运动，其固有时间与S系的坐标时间并不一致。那么，哪一个是质点经历的真实时间呢？相对论认为，是固有时间，而不是坐标时间t。假如此质点是一个钟，它指示的时间是而不是t。（2.3.4），固有时间与s成正比。s表示世界线的“长度”，故也表示世界线的“长度”。因此，质点世界线的长度就是它所经历的真实时间固有时间。固有时间不依赖于选用什么坐标系，只依赖于质点（这个质点可以是一个观测者）自身描出的世界线的长度。4. 时空图与零曲面法矢量倒在超曲面内，并与其一个切矢量重合的现象在黑洞研究中极为重要。我们称这样的超曲面为零超曲面，简称零曲面或类光曲面。它的法矢量称为零矢量或类光矢量。（

9、四）量子论的进展1. 量子力学的建立2. 相对论量子力学与狄拉克真空克莱因高登方程描述自旋为零的粒子。狄拉克方程描述自旋为1/2的粒子。克莱因高登方程存在负能困难和负几率困难。狄拉克方程避免了负几率困难，但仍存在负能困难。 狄拉克提出“真空不空”的思想，在泡利不相容原理的基础上克服了负能困难，并预言了正电子和反物质的存在。狄拉克认为，真空并不是一无所有的状态，而是能量最低的状态。也就是说，真空是所有正能态都空着，而所有负能态都被粒子填满的状态。注意，空着的负能态比填满时的能量要高。3. 二次量子化与量子场论三、弯曲的时空（一）广义相对论的物理基础1. 狭义相对论的困难(1) 惯性系所引起的困难

10、(2) 万有引力所引起的困难爱因斯坦把万有引力定律写成洛伦兹协变形式的任何企图都失败了。爱因斯坦提出了广义相对性原理和等效原理作为建立新理论的基石。2. 广义相对性原理和马赫原理假定相对性原理和光速不变原理在任何参考系中都成立，而不仅仅只在惯性系中成立。这样，狭义相对性原理被推广为广义相对性原理：一切参考系都是平权的，即物理规律在任何坐标系下形式都不变广义协变性。光速不变原理适用的范围也从惯性观测者推广到任意观测者：任意观测者测量的光速都是c。马赫原理引导爱因斯坦找到了新理论最重要的一块基石等效原理。3. 引力质量与惯性质量相等4. 等效原理引力质量与惯性质量相等的推论是a = g。它表明引力

11、场与惯性场等效，这称为等效原理。5. 新理论的构想他把等效原理、广义相对性原理和光速不变原理作为新理论的基础。他觉得，新理论的基本方程应该有两个，一个描述质量如何使时空弯曲质量项 = 曲率项另一个描述弯曲时空中质量的运动。广义相对论实际上是一个关于时间、空间和引力的理论。（二）黎曼几何中的张量1. 黎曼几何的建立2. 广义坐标变换弯曲时空不能建立大范围的直角坐标系，只能使用曲线坐标。曲线坐标系之间的变换一般是非线性、非正交的。我们称其为广义坐标变换。广义坐标变换下坐标微分元的变换关系 ，= 0，1，2，3 （3.2.2）重复指标同样代表求和。3. 张量的定义张量是按坐标变换的规律来定义的，这是

12、张量最根本的特点。定义在坐标变换下不变的量为标量。() = u (x) （3.2.6） 在广义坐标变换下，像坐标微分元一样变换的量，称为逆变矢量 ，= 0，1，2，3 （3.2.2） ，= 0，1，2，3 （3.2.7）不难看出，(3.2.7)与(3.2.2)的变换规律一样。在广义坐标变换下，变换规律为 （2.2.8）的量，称为协变矢量。它的变换规律与偏导数相同 容易看出，逆变和协变矢量都由四个分量组成。在广义坐标变换下，也可定义逆变张量、协变张量和混合张量。有两个指标的张量称为二阶张量。有一个指标的矢量，称为一阶张量。没有指标的标量，称为零阶张量。存在二阶以上的张量，例如描述时空弯曲情况的曲

13、率张量，它有四个指标。本节介绍的张量是广义坐标变换下的张量，由于坐标变换非线性，变换系数不是常数，而是时空点的函数。我们只能在时空中逐点定义张量。不过，既然每一点都可以定义张量，那么，各点定义的同一个张量就可以构成一个张量场，每一点定义的同一个矢量也可以构成一个矢量场，当然每一点定义的同一个标量也可以构成一个标量场。这样，我们就可以把洛伦兹变换下的电磁矢量和张量推广到弯曲时空中，得到电磁矢量场和电磁张量场。4. 张量的运算和缩并A+ B= C （3.2.13）AB= D （3.2.14）张量有一种特殊的运算，叫做缩并。如果一个逆变矢量A与一个协变矢量B相乘，而且指标相同，则它们的乘积将变成标量

14、AB= u （3.2.15）这种运算叫做缩并。它类似于普通物理力学、电磁学中的矢量的内积AB = AxBx + AyBy + AzBz （3.2.16）运算的结果不再是矢量，而是标量。实际上，由于重复指标代表求和，（3.2.15）可表示成AB= A0B0 + A1B1 + A2B2 + A3B3 （3.2.17）与（3.2.16）非常相似。我们把矢量之间的缩并（3.2.15）称为矢量的内积或标积。二阶以上张量也可以做缩并运算，例如AB= C （3.2.18）缩并后成为一阶张量矢量。ABC= u （3.2.19）缩并成标量。总之，只要一个上指标与一个下指标相同，就发生缩并。同时要注意，缩并时出现

15、重复指标，别忘了求和。5. 度规张量把“间隔”的概念，从平直时空推广到弯曲时空。弯曲时空中的间隔，也是广义坐标变换下的不变量标量。现在来给出“间隔”与坐标微分元之间的关系。我们引进一个二阶张量g，使得ds 2 = gdxdx ,= 0，1，2，3 （3.2.29）注意重复指标代表求和，上式的右端一共16项。张量g与间隔的度量有关，称为度规张量，共16个分量，可用矩阵表示 （3.2.30）它是一个对称张量，g= g。例如，g12= g21，g01= g10。所以，独立分量只有10个。度规是广义相对论的基本几何量（同时又是基本物理量）。确定了度规，就确定了时空曲率。所以，知道了度规，就了解了整个时

16、空的几何性质。广义相对论的主要研究，都集中在确定和研讨时空的度规上。6. 能量动量张量（三）广义相对论中的时间和空间1. 坐标钟和标准钟对于弯曲时空中的任意观测者，我们可以让他所持的钟的读数正比于自己世界线的长度。这个钟就是他的标准钟，记录的时间就是他的固有时间。他的坐标时间与固有时间之间的关系为 （3.3.7）这里已考虑到观测者静止于坐标系x中的一个点。2.固有距离的测量相对论中用来测量距离的工具是钟而不是尺。3.同时的传递性在某些坐标系中，可把空间各点坐标钟的速率调得一样快，但是，不能在全空间建立同时面，即不能定义全空间统一的“同时时刻”。（四）短程线1. 短程线爱因斯坦在创建广义相对论时

17、设想，万有引力不是真正的力，而是时空弯曲的表现。这种弯曲由物质的存在和运动造成。质点在万有引力场中的运动实质上是一种没有受到力的惯性运动。在平直时空中，惯性运动是直线运动。弯曲时空中没有直线，但有短程线。他认为，质点在万有引力场中的运动，既然是弯曲时空中的惯性运动，就应沿弯曲时空中的“直线”（短程线）进行。爱因斯坦认为，广义相对论的基本方程应该有两个，一个是描述物质如何造成时空弯曲的，称为场方程（爱因斯坦场方程），另一个是描述质点如何在弯曲时空中运动的，称为运动方程。场方程在下一节中介绍，现在先介绍运动方程。爱因斯坦认为，运动方程就是短程线方程，可以很容易地从黎曼几何得到。 （3.4.6）它也

18、就是广义相对论中的运动方程，弯曲时空中不受力（指不受万有引力之外的力，万有引力本身不算力）的质点就沿此线作惯性运动。式中称为联络，它与度规有如下关系 （3.4.7）式中逗点表示偏微分，例如 （3.4.8）用度规计算联络时，要注意重复指标代表求和。2. 联络联络和度规一样，是广义相对论中重要的几何量。同时也是重要的物理量。联络有三个指标，有43 = 64个分量，很像（1+2）阶张量。但它不是张量。3. 曲率与挠率挠率表现为联络的反对称部分 （3.4.10）可以证明是一个（1+2）阶的张量，称为挠率张量。 曲率也可由联络构成 （3.4.11）它是（1+3）阶的张量，称为曲率张量。广义相对论是挠率为

19、零的理论。在挠率为零的情况下，联络变成对称的，曲率张量也会增加许多对称性。4. 协变微分张量的普通微分不是张量。我们希望张量的运算是闭合的，也就是说，它的加、减、乘、微分等运算的结果还应是张量。加、减、乘法可以保证这一点，但微分出了问题。研究发现，联络可以帮助我们定义另一种微分协变微分，对张量做这种微分，所得的结果仍然是张量。5. 对短程线的讨论（五）爱因斯坦场方程1.场方程爱因斯坦认为，时空的弯曲由物质决定，有关方程的一端应该是时空曲率，另一端应该是能量和动量。时空曲率 = 能量动量 （3.5.1）在广义相对论中，统一写成四维时空的张量形式。R gR/2= -T （3.5.11）R gR/2

20、= -T （3.5.12）这两个方程就是爱因斯坦给出的广义相对论的基本方程场方程。它通常称为爱因斯坦场方程，反映物质的能量动量如何决定时空曲率。常数与万有引力常数G有关 （3.5.13）式中c是光速。2.对场方程的讨论广义相对论的主要任务就是求解此方程。场方程是关于度规的二阶微分方程，而且是非线性方程。场方程和坐标条件是由10个二阶非线性偏微分方程组成的方程组，求解起来十分困难。求场方程的严格解，成为一个重要的研究领域。3.从场方程推出运动方程最初，爱因斯坦认为广义相对论的基本方程有两个，一个是物质决定时空曲率的场方程，R gR/2= -T （3.5.11）另一个是质点在弯曲时空中的自由运动方

21、程 （3.4.6）后来，爱因斯坦和福克分别独立证明了运动方程可从场方程推出，这表明广义相对论的基本方程只有一个场方程。4.引力波值得一提的是，1974年泰勒和赫尔斯发现脉冲双星（由两颗中子星组成）PSR1913 + 16的公转周期每年减少约万分之一秒。如果认为这是由于辐射引力波而使双星动能减少所致，则观测值与理论值符合得很好。此效应似乎可看作发现引力波的一个间接证据。5.弯曲时空中的力学和电磁学定律（六）广义相对论的实验验证1. 史瓦西解史瓦西给出了爱因斯坦方程的一个严格解。这是一个静止、球对称星体外部的真空解。其中不为零的度规分量为g22 = r2，g33 = r2sin2 （3.6.1）写

22、成矩阵形式是 （3.6.2）用线元表示出来为 （3.6.3）式中M为星体质量，G为万有引力常数，c为光速。取x0 = ct，x1 = r，x2 = ，x3 =。太阳转动缓慢，外部近似为真空。史瓦西解很好地描述了太阳外部的时空弯曲情况。下面介绍用史瓦西解和太阳附近的观测效应来检验广义相对论。2. 引力红移爱因斯坦预言，由于时空弯曲，太阳附近的钟会变慢，那里的光源发出的光，谱线将发生红移。时空的弯曲情况不随时间变化的时空，称为稳态时空。此时空的g与t无关 （3.6.4）史瓦西时空的度规不仅满足条件（3.6.4），而且时间轴与三个空间轴都正交g0i = 0 （3.6.5）此式称为时轴正交条件。同时满

23、足上述两个条件的时空叫做静态时空。静态时空一定是稳态的，但稳态时空不一定是静态的。史瓦西时空是静态的，当然也就是稳态的。爱因斯坦建议用光谱线频率的移动来检验时钟变慢的效应。引力红移效应是由于太阳处时空弯曲得厉害，那里的时间变慢所致。这个效应被天文观测和实验室观测所证实。3. 水星轨道近日点的进动4. 光线偏折爱因斯坦用广义相对论预言的引力红移、光线偏折和行星轨道近日点的进动三个效应，都被实验观测所证实。此后，还有雷达回波、引力透镜等实验，也支持了广义相对论。五、黑洞电荷转动类 型无无史瓦西有无雷斯勒-诺斯特诺姆Reissner Nordstrom(RN)无有克尔有有克尔-纽曼（一）史瓦西黑洞1

24、. 牛顿理论中的黑洞2. 史瓦西时空的奇点和奇面史瓦西度规 （5.1.2）奇点：r = 0 内禀奇异性奇面： 坐标奇异性3. 无限红移面r = rg = 2GM / c2。4. 零超曲面和事件视界如果满足 nn= 0或 = 0 （5.1.14）则此超曲面是一个零超曲面，其法矢量的长度为零。为了方便，以后简称零超曲面为零曲面。零曲面是普遍存在的。例如，光波的波前就是零曲面。不过，我们这里感兴趣的是一类特殊的零曲面，它保有该时空的对称特性，称为事件视界，简称视界。（5.1.14）式可约化成 （5.1.15）（5.1.15）式的解只能是 （5.1.16）即 （5.1.17）我们看到，史瓦西时空有事件

25、视界，它恰是引力半径rg处的奇面，与无限红移面重合。人们就把事件视界定义为黑洞的边界。r rg的时空区，称为黑洞的外部5. 单向膜区6. 时空坐标互换（二）克鲁斯卡坐标和彭若斯图为了讨论的方便，我们今后选用c = = G = 1的自然单位制。这时史瓦西时空的线元简写成 （5.2.1）引力半径为 rg = 2M （5.2.2）1. 史瓦西坐标的缺点2. 自由下落观测者Novikow坐标3. Tortoise坐标和爱丁顿坐标4. 克鲁斯卡坐标克鲁斯卡度规具有最大解析区和最高完备性。5. 彭若斯图（三）带电的黑洞1. RN黑洞的构造(1)度规(2)奇点和奇面奇点:r = 0 内禀奇点奇面： 坐标奇异

26、性 (3)无限红移面从红移公式 （5.3.4）可知，只要 g00 = 0 （5.3.5）就会产生无限红移。因此，（5.3.5）式可看作稳态时空中决定无限红移面的普遍公式。把（5.3.1）代入（5.3.5）可知，（5.3.3）所示的r+和r-恰是（5.3.5）的解。 (4)视界把Reissner Nordstrom时空（带电史瓦西时空）的度规代入零曲面公式= 0 （5.1.14）可得（5.3.6）此方程的解仍是（5.3.3）。r = r+是这个黑洞的边界。我们称这个黑洞为Reissner - Nordstrom黑洞（R - N黑洞）或带电史瓦西黑洞。与通常的史瓦西黑洞一样，它的中心有一个奇点。但

27、与史瓦西黑洞不同的是，R N黑洞有内、外两个视界，内、外两个无限红移面。这两个视界分别与这两个无限红移面重合（图5.3.1）。2. 彭若斯图3. 奇点的不可抵达性要求无限长时间，或无穷大加速度。4. 极端黑洞与裸奇点M2 = Q2 （5.3.14）r+ = r- = M （5.3.15）M2 Q2 （5.3.16）（四）转动的黑洞 （5.4.1）其中 2r2 + a2cos2 （5.4.2）r2 - 2Mr + a2 （5.4.3）奇环 内禀奇环 （5.4.9）奇面 坐标奇异性 （5.4.10）1. 无限红移面和视界在第三节中曾经给出了求无限红移面的普遍公式g00 = 0 （5.3.5） （5

28、.4.11）在第一节中给出了求视界的普遍公式= 0 （5.1.14） （5.4.12）无限红移面 （5.4.14）视界为 （5.4.26）这就是克尔时空的视界。我们看到，克尔时空的视界和无限红移面各有两个，而且视界和无限红移面不重合。黑洞的边界是用视界而不是用无限红移面来定义的。我们称外视界r+包围的部分为克尔黑洞。（图5.4.1）2. 单向膜区和能层3. 奇异性出现在视界处的奇异性是坐标奇异性，曲率不发散，粒子可自由地穿过它进入黑洞。然而，有趣的是，克尔黑洞的内禀奇异区不是一个“点”，而是一个“环”（图5.4.2）。4. 彭若斯图5. 极端黑洞和裸奇点a2 = M2 （5.4.35）r+ = r- = M （5.4.36）M2 a2 （5.4.37）奇环也不属于时空，裸露的奇环也会以不确定的信息影响时空中的因果关系。（五）最一般的稳态黑洞1. 克尔纽曼时空纽曼(E. T. Newman)等人把克尔解推广到带电情况，得到克尔纽曼(KerrNewman)解。它描述一个转动带电星体的外部引力场，即该星体外部时空的弯曲情况。其线元为（5.5.1）式中 2 = r2 + a2cos2= r2 - 2Mr + a2 + Q2 （5.5.2）克尔纽曼时空在M0，J0但Q = 0时回到克尔时空；在M0，Q0但J