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动态认知条件句逻辑DEC2修改稿

动态认知条件句逻辑DEC2（修改稿）

李小五

（中山大学逻辑与认知研究所，中山大学哲学系，广东广州510275）

摘要：

首先，我们构造动态认知条件句系统DEC2，给出它的一些证明论结果。

其次，我们引入有序邻域语义，给出描述DEC2的特征公理的框架条件，证明DEC2相对这些框架条件是框架可靠的。

最后，我们证明DEC2相对这些框架条件也是框架完全的。

关键词：

动态认知条件句系统；有序邻域语义；框架可靠性；框架完全性

中国分类号:

B81文献标识码:

A

主体的一个动态认知全过程至少有4个要素：

认知目的、背景知识、认知活动和认知结果。

主体根据它的认知目的和背景知识，通过认知活动，最后达到认知结果。

本文我们用一种4元条件句ABa≥C来描述这个过程。

在这样的条件句，A表示主体的认知目的，B表示它的背景知识，a表示它的认知活动，C表示由此产生的认知结果。

因此ABa≥C的直观意义是“主体根据它的认知目的A和背景知识B通过认知活动a能得到认知结果C（能认知C）”。

所以ABa≥C应该是模态公式。

我们在参考文献［1］已经建立动态认知逻辑DEC1，本文我们提出另一个动态认知逻辑DEC2。

较之DEC1，DEC2有一些部分与之相同，也有一些部分不同。

［顺便指出，我们在［1］的定义3.9（b）的N（a,w）表述有误，应该更正为：

N（a,w）＝{<|A|,Y,Z>：

存在ABa≥Cw使得Y|B|且|C|Z}。

］

1形式系统及其证明论

定义1.1　形成规则

（1）我们总用a和b（加或不加下标）表示认知活动，其形成规则如下：

　　　a;babab。

（2）所有活动的集合记为Action。

（3）这里我们规定：

aa＝a，　aa＝a。

（4）我们总用A,B,C和D（加或不加下标）表示公式，其形成规则如下：

　　　pA（AB）（ABa≥C）。

（5）所有公式的集合记为Form。

Form也称为认知过程语言。

（6）ABa≥C称为有三个前件的条件句，其中A,B和a分别称为ABa≥C的第一前件，第二前件和第三前件。

┤

说明：

（2）中的表示原子认知活动。

a;b表示认知活动a和b的复合（composition）：

先进行a再进行b。

ab表示认知活动a和b的选择（choice）：

任选a或b中一个活动进行。

ab表示认知活动a和b的并行（parallelism）：

同时进行活动a和b。

规定与缩写1.2

（1）联结符，和定义如通常。

（2）为了叙述方便，我们规定任一公式最外面的一对括号省略，且规定联结符的结合力从左到右依次减弱：

，，，≥，，。

（3）若有必要，我们也用圆点“·”隔开ABa≥C的三个前件。

例如，

（ABa1≥C1）（ABa2≥C2）AB·a1a2≥C1C2，

（A1Ba≥C）（A2Ba≥C）A1A2·Ba≥C，且

（AB·a1;a2≥C）（ABa1≥D）A·BD·a2≥C

分别表示

（ABa1≥C1）（ABa2≥C2）AB（a1a2）≥C1C2，

（A1Ba≥C）（A2Ba≥C）（A1A2）Ba≥C，且

（AB（a1;a2）≥C）（ABa1≥D）A（BD）a2≥C。

（4）和T分别表示某个固定的常假式和常真式。

（5）我们常用符号表示“当且仅当”，用表示“若…，则…”。

┤

定义1.3

动态认知条件句系统DEC2定义如下：

公理（模式）：

（TA）所有重言式的代入特例，

（CC）（ABa1≥C1）（ABa2≥C2）AB·a1a2≥C1C2，

（AD）　（A1Ba≥C）（A2Ba≥C）A1A2·Ba≥C，

（ACH）AB·a1a2≥C（ABa1≥C）（ABa2≥C），

（AW）　AB·a1a2≥CAB·a1a2≥C，

（ACO1）　（AB·a1;a2≥C）（ABa1≥D）A·BD·a2≥C，

（ACO2）　（ABa1≥D）（A·BD·a2≥C）AB·a1;a2≥C。

推理规则：

（MP）　A,AC／C，　

（RAE）A0A／A0Ba≥CABa≥C，

（RBE）　B0B／AB0a≥CABa≥C，

（RCE）C0C／ABa≥C0ABa≥C。

┤

说明：

（1）由TA和MP构成的系统称为经典句子系统，记为PC。

我们也用PC0表示用不含≥的语言表述的PC。

（2）CC称为结果合取公理。

CC的直观意义是：

若某个主体根据它的认知目的A和背景知识B分别通过认知活动a1和a2能认知C1和C2，则它根据A和B通过并行认知活动a1a2能认知C1C2。

这个公理的合理性建立在认知活动a1和a2在并行时不会互相干扰的前提下。

（3）AD称为目的析取公理。

（4）ACH称为活动选择公理。

（5）AW称为弱化公理。

（6）ACO1和ACO2称为活动复合公理。

ACO1的直观意义是：

若某个主体根据它的认知目的A和背景知识B通过复合认知活动a1;a2能认知C，又通过第一个认知活动a1能认知中间结果D，则把D加入它的背景知识后，主体通过第二个认知活动a2能认知C。

这个公理刻画了某种知识增长的过程。

ACO2的直观意义是：

若主体根据它的认知目的A和背景知识B通过第一个认知活动a1能认知中间结果D，又把D加入它的背景知识后，主体通过第二个认知活动a2能认知C，则该主体根据A和原来的背景知识B通过复合认知活动a1;a2能认知C。

这个公理刻画了某种认知活动连续的过程。

这两个公理我们感到比较有趣。

（7）RAE称为认知目的等价置换规则。

（8）RBE称为背景知识等价置换规则。

（9）RCE称为认知结果等价置换规则。

（10）上述除TA以外的公理都称为DEC2的特征公理。

这样称谓是因为我们在后面将看到，需要一定的语义条件才能保证这样的公理有效。

定义1.4　

（1）我们用⊢A表示A是DEC2的内定理：

A在DEC2中有一个形式证明。

（2）DEC2的全体内定理的集合记为Th（DEC2）。

（3）我们也用⊬A表示ATh（DEC2）。

┤

引理1.5　

下面是DEC2的内定理：

（1）（ABa1≥C）（ABa2≥C）AB·a1a2≥C，

（2）（ABa≥C1）（ABa≥C2）ABa≥C1C2，

（3）（ABa1≥C）（ABa2≥C）AB（a1a2）≥C。

证明：

我们只给出证明的主要步骤和主要根据。

请读者自行补充细节。

（1）据CC和RCE。

（2）据CC和定义1.1（3）。

（3）据ACH和AW。

┤

下面我们研究DEC2与PC0的关系。

我们要证明前者是后者的协调概括，或者说前者可以协调地退化为后者。

定义1.6　

（1）定义从语言Form到不含≤的子语言Form0Form的翻译映射t如下：

t（p）＝p，　对所有句符p；

t（A）＝t（A）；

t（AB）＝t（A）t（B）；

t（ABa≥C）＝t（C）。

（2）对每一公式AForm，我们称t（A）是A的t-翻译。

┤

说明：

据上面的定义，易证

t（AB）＝t（A）t（B），

t（AB）＝t（A）t（B），

t（AB）＝t（A）t（B）。

定义1.7　

令S和T是任意两个公理化系统。

我们称S能t-退化为T，当且仅当S的所有内定理都能t-翻译为T的内定理。

┤

定理1.8　

DEC2能t-退化为PC0。

证明：

据上一定义，证明显然。

┤

定义1.9　

称公理化系统S是协调系统，当且仅当不存在A使得A和A都是S的内定理。

┤

定理1.10　

DEC2是协调的。

证明：

假设DEC2不协调，则存在A使得A和A都是DEC2的内定理。

据上面的定理，t（A）和t（A）都是PC0的内定理，矛盾于PC0的协调性。

┤

2有序邻域语义和可靠性定理

任给集合X，我们总用P（X）表示X的幂集。

定义2.1　

（1）称二元组F＝W,N是有序邻域框架，简称F是ON-框架，当且仅当

①　W是非空的可能世界集，

②　邻域映射N是从Action×W到P（P（W）×P（W）×P（W））中的映射。

（2）称三元组M＝W,N,[]是有序邻域模型，简称M是ON-模型，当且仅当W,N是ON-框架且

③　[]是从全体句符到P（W）的指派映射。

（3）[]也称为框架W,N上的指派映射。

┤

定义2.2　真值集定义

令M＝W,N,[]是ON-模型。

对每一复合公式A，定义A相对M的真值集[A]如下：

对任意wW,aAction和公式A,B和C，

（1）w[A]w[A]，

（2）w[AB]w[A]且w[B]，

（3）w[ABa≥C]<[A],[B],[C]>N（a,w）。

┤

说明：

基于框架定义的模型和定义复合公式的真值集，两者合在一起称为语义，因为由此我们可以在任何一个模型的任意可能世界中给任何一个公式赋予一个意义（真值）。

上面给出的语义称为有序邻域语义。

定义2.3　

（1）称ON-框架F＝W,N是动态认知条件句框架，简称F是dec2-框架，当且仅当下列框架条件成立：

对任意wW和a,a1,a2Action和X,Y,Z,U,Z1,Z2,X1,X2W，

（cc）　X,Y,Z1N（a1,w）且X,Y,Z2N（a2,w）X,Y,Z1Z2N（a1a2,w），

（ad）　X1,Y,ZN（a,w）且X2,Y,ZN（a,w）X1X2,Y,ZN（a,w），

（ach）　　N（a1a2,w）＝N（a1,w）N（a2,w），

（aw）　　N（a1a2,w）N（a1a2,w），

（aco1）　X,Y,ZN（a1;a2,w）且X,Y,UN（a1,w）X,YU,ZN（a2,w），

（aco2）　X,Y,UN（a1,w）且X,YU,ZN（a2,w）X,Y,ZN（a1;a2,w）。

（2）所有的dec2-框架的类记作Frame（dec2）。

┤

定义2.4　有效性定义

令F＝W,N是ON-框架，M＝W,N,[]是ON-模型。

（1）称A在M中有效，记为M⊨A，当且仅当[A]＝W；否则称A在M中不有效，记为M⊭A。

（2）称A在F中有效，记为F⊨A，当且仅当，对F上的任意指派映射[]，有[A]＝W；否则称A在F中不有效，记为F⊭A。

（3）称规则A1,…,An／C相对M保持有效性，当且仅当，若[A1]＝…＝[An]＝W，则[C]＝W。

┤

引理2.5　

令M＝W,N,[]是ON-模型。

则

（1）[A]＝W－[A]，

[AB]＝[A][B]，

[AB]＝[A][B]，

[]＝，[T]＝W。

（2）[A][AB][B]。

（3）[AB]＝W[A][B]。

（4）[AB]＝W[A]＝[B]。

┤

定义2.6　

（1）称系统S相对框架类C是框架可靠系统，当且仅当，S的内定理在C的所有框架中有效。

（2）称系统S相对框架类C是框架完全系统，当且仅当，在C的所有框架中有效的公式是S的内定理。

┤

定理2.7　框架可靠性定理

DEC2相对框架类Frame（dec2）是可靠的。

证明：

任给dec2-框架F＝和F上赋值[]。

下面验证DEC2的公理相对M＝有效且DEC2的推理规则相对M保持有效性。

验证公理TA和规则MP：

显然。

验证公理CC：

任给w[（ABa1≥C1）（ABa2≥C2）]。

据真值集定义2.2

（2）－（3），有

[A],[B],[C1]N（a1,w），　[A],[B],[C2]N（a2,w）。

据定义2.3的（cc），我们有

[A],[B],[C1][C2]N（a1a2,w）。

据引理2.5，我们有

[A],[B],[C1C2]N（a1a2,w）。

所以我们有w[AB·a1a2≥C1C2]。

所以据2.5（3），我们有

　　　　w[（ABa1≥C1）（ABa2≥C2）AB·a1a2≥C1C2]。

验证公理AD：

任给w[（A1Ba≥C）（A2Ba≥C）]。

则

[A1],[B],[C]N（a,w），　[A2],[B],[C]N（a,w）。

据定义2.3的（ad），我们有

[A1][A2],[B],[C]N（a,w）。

据引理2.5，我们有

[A1A2],[B],[C]N（a,w）。

所以我们有w[A1A2·Ba≥C]。

验证公理ACH：

任给wW，我们有

w[AB·a1a2≥C]

[A],[B],[C]N（a1a2,w）。

[A],[B],[C]N（a1,w）N（a2,w）据定义2.3的（ach）

w[（ABa1≥C）（ABa2≥C）]。

验证公理AW：

任给w[AB·a1a2≥C]。

则

[A],[B],[C]N（a1a2,w）。

据定义2.3的（aw），我们有

[A],[B],[C]N（a1a2,w）。

所以我们有w[AB·a1a2≥C]。

验证公理ACO1：

任给w[（AB·a1;a2≥C）（ABa1≥D）]。

则

[A],[B],[C]N（a1;a2,w），　[A],[B],[D]N（a1,w）。

据定义2.3的（aco1），我们有

[A],[B][D],[C]N（a2,w）。

据引理2.5，我们有

[A],[BD],[C]N（a2,w）。

所以我们有w[A·BD·a2≥C]。

验证公理ACO2：

任给w[（ABa1≥D）（A·BD·a2≥C）]。

则

（%）[A],[B],[D]N（a1,w），　[A],[BD],[C]N（a2,w）。

据（%）的后者和引理2.5，我们有

[A],[B][D],[C]N（a2,w）。

再据（%）的前者和定义2.3的（aco2），我们有

[A],[B],[C]N（a1;a2,w）。

所以我们有w[AB·a1;a2≥C]。

验证规则RAE：

设[A0A]＝W。

据2.5，有

（＃）[A0]＝[A]。

任给wW，我们有

w[A0Ba≥C][A0],[B],[C]N（a,w）　据真值集定义2.2

[A],[B],[C]N（a,w）　　　据（＃）

w[ABa≥C]　　　　　据真值集定义2.2。

因此据w的任意性，有

[A0Ba≥C]＝[ABa≥C]，

据2.5，我们有

[A0Ba≥CABa≥C]＝W。

同理可验证规则RBE和RCE。

┤

3完全性定理

定义3.1

令w是公式集。

（1）称w是一致集，当且仅当对所有有穷序列A1,…,Anw，有

　　　　　⊬（A1…An）。

（2）称w是极大集，当且仅当对所有AForm，Aw或Aw。

（3）称w是极大一致集，当且仅当w既是一致的又是极大的。

（4）称DEC2是一致系统，当且仅当Th（DEC2）是一致的。

┤

引理3.2　

DEC2是一致的。

证明：

假设DEC2不一致。

则Th（DEC2）不一致，所以存在A1,…,AnTh（DEC2）使得

　　　　⊢（A1…An）。

另一方面，因为A1,…,AnTh（DEC2），所以易证

　　　　⊢A1…An。

据定义1.9，DEC2不协调，矛盾于定理1.10。

┤

因为DEC2是PC的扩充，所以如通常证明，我们有下列结果。

引理3.3　

令w是极大一致集。

（1）AwAw，

ABwAw且Bw，

ABwAw或Bw，

Aw且⊢ABBw，

Aw且ABwBw。

（2）Th（DEC2）w。

（3）若⊬A，则存在极大一致集u使得Au。

┤

定义3.4　

|A|＝{w：

w是极大一致集使得Aw}。

┤

引理3.5　

（1）|A|＝W－|A|，　其中W是所有极大一致集的集合，

|AB|＝|A||B|，

|AB|＝|A||B|，

||＝，|T|＝W。

（2）|A||AB||B|。

（3）|AB|＝W|A||B|⊢AB。

（4）|AB|＝W|A|＝|B|⊢AB。

证明：

据上一引理易证。

┤

定义3.6　

（1）定义DEC2的典范框架N＝如下：

①　W＝{w：

w是极大一致集}，

②　N是从Action×W到P（P（W）×P（W）×P（W））中的映射使得

<|A|,|B|,|C|>N（a,w）ABa≥Cw，

对任意wW,aAction和公式A,B和C。

（2）定义DEC2的典范模型M＝如下：

是DEC2的典范框架，且

③　[p]＝|p|，　对每一句符p。

┤

说明：

据引理3.2，DEC2是一致的，所以W非空。

定理3.7　典范模型基本定理　

令M＝是如上定义的DEC2的典范模型。

（1）Dww[D]，　对每一wW和公式D。

（2）|D|＝[D]，　对每一公式D。

证明：

（2）从

（1）易得。

所以我们只须证

（1）。

施归纳于D的结构。

句符的情况据上一定义的③。

布尔联结符和的情况如通常所证。

令D＝ABa≥C。

所以

w[D]w[ABa≥C]

<[A],[B],[C]>N（a,w）　　据2.2的（3）

<|A|,|B|,|C|>N（a,w）　　　据归纳假设

ABa≥Cw　　　　　　　　据上一定义的②

Dw。

┤

定理3.8

令M是DEC2的典范模型。

则对每一公式A，我们有

M⊨A⊢A。

证明：

⊢A|A|＝W　　据引理3.3

（2）－（3）

[A]＝W　据上一定理

M⊨A　　据有效性定义2.4。

┤

定义3.9

（1）定义DEC2的适当结构（properstructure）M＝如下。

（a）W＝{w：

w是极大一致集}；

（b）N（a,w）＝{<|A|,|B|,|C|>：

存在ABa≥Cw}，　对所有aAction和wW；

（c）[p]＝|p|，　对每一句符p。

（2）F＝称为DEC2的适当框架。

┤

引理3.10　

令M＝是DEC2的适当结构。

则M是DEC2的典范模型。

证明：

据定义3.6，只须证：

对任意aAction,wW和公式A,B和C，

（1）　<|A|,|B|,|C|>N（a,w）ABa≥Cw。

“”：

设ABa≥Cw。

据N（a,w）的构造，有

<|A|,|B|,|C|>N（a,w）。

“”：

设<|A|,|B|,|C|>N（a,w）。

因为等价类的代表元不是惟一的，所以据N（a,w）的构造，

（2）存在A0B0a≥C0w使得|A0|＝|A|,|B0|＝|B|且|C0|＝|C|。

因为|A0|＝|A|,|B0|＝|B|且|C0|＝|C|，所以据引理3.5，有

⊢A0A，⊢B0B，⊢C0C。

据⊢A0A和RAE，有

⊢A0B0a≥C0AB0a≥C0。

再据⊢B0B和RBE，有

⊢A0B0a≥C0ABa≥C0。

再据⊢C0C和RCE，有

⊢A0B0a≥C0ABa≥C。

因为A0B0a≥C0w，所以ABa≥Cw。

┤

引理3.11　

DEC2的适当框架F是dec2-框架。

证明：

下面我们来验证F满足定义2.3给出的框架条件。

验证（cc）。

设X,Y,Z1N（a1,w）且X,Y,Z2N（a2,w）。

则

（1）存在A1B1a1≥C1w使得|A1|＝X,|B1|＝Y且|C1|＝Z1，　且

（2）存在A2B2a2≥C2w使得|A2|＝X,|B2|＝Y且|C2|＝Z2。

因为|A1|＝|A2|且|B1|＝|B2|，所以

　　　　⊢A1A2，　⊢B1B2，

因此据

（1）的A1B1a1≥C1w和RAE以及RBE，有

A2B2a1≥C1w。

再据

（2）的A2B2a2≥C2w和公理CC，易得

（3）存在A2B2·a1a2≥C1C2w使得|A2|＝X,|B2|＝Y且|C1C2|＝Z1Z2。

所以X,Y,Z1Z2N（a,w）。

验证（ad）。

设X1,Y,ZN（a,w）且X2,Y,ZN（a,w）。

则

（1）存在A1B1a≥C1w使得|A1|＝X1,|B1|＝Y且|C1|＝Z，　且

（2）存在A2B2a≥C2w使得|A2|＝X2,|B2|＝Y且|C2|＝Z。

因为|B1|＝|B2|和|C1|＝|C2|，所以

（1）的A1B1a≥C1w和RBE以及RCE，有

A1B2a≥C2w。

所以据

（2）的A2B2a≥C2w和公理AD，易得

（4）存在A1A2·B2a≥C2w使得|A1A2|＝X1X2,|B2|＝Y且|C2|＝Z。

所以X1X2,Y,ZN（a,w）。

验证（ach）。

任给X,Y,ZW，易见下面命题等价：

（1）X,Y,ZN（a1a2,w）。

（2）存在AB·a1a2≥Cw使得|A|＝X,|B|＝Y且|C|＝Z。

（3）存在（ABa1≥C）（ABa2≥C）w使得|A|＝X,|B|＝Y且|C|＝Z。

（据公理ACH）

（4）存在ABa1≥Cw使得|A|＝X,|B|＝Y且|C|＝Z，　或

存在ABa2≥Cw使得|A|＝X,|B|＝Y且|C|＝Z。

　　（5）X,Y,ZN（a1,w），或X,Y,ZN（a2,w）。

（6）X,Y,ZN（a1,w）N（a2,w）。

因此我们有

N（a1a2,w）＝N（a1,w）N（a2,w）。

验证（aw）。

设X,Y,ZN（a1a2,w）。

则

（1）存在AB·a1a2≥Cw使得|A|＝X,|B|＝Y且|C|＝Z。

再据公理AW，易得

（2）存在AB·a1a2≥Cw使得|A|＝X,|B|＝Y且|C|＝Z。

所以X,Y,ZN（a1a2,w）。

验证（aco1）。

设X,Y,ZN（a1;a2,w）且X,Y,UN（a1,w）。

则

（1）存在A1B1·a1;a2≥C1w使得|A1|＝X,|B1|＝Y且|C1|＝Z，　且

（2）存在A2B2a1≥C2w使得|A2|＝X,|B2|＝Y且|C2|＝U。

因为|A1|＝|A2|且|B1|＝|B2|，所以据

（1）的A1B1·a1;a2≥C1w和RAE以及RBE，有

A2B2·a1;a2≥C1w。

再据

（2）的A2B2a1≥C2w和公理ACO1，易得

（3）存在A2·B2C2·a2≥C1w使得|A2|＝X,|B2C2|＝YU且|C1|＝Z。

所以X,YU,ZN（a2,w）。

验证（aco2）。

设X,Y,UN（a1,w）且X,YU,ZN（a2,w）。

则

（1）存在A1B1a1≥C1w使得|A1|＝X,|B1|＝Y且|C1|＝U，　且

（2）存在A2B2a2≥C2w使得|A2|＝X,|B2|＝YU且|C2|＝Z。

因为

|A1|＝|A2|，　|B2|＝YU＝|B1||C1|＝|B1C1|，

所以据

（2）的A2B2a2≥C2w和RAE以及RBE，有

A1·B1C1·a2≥C2w。

再据

（1）的A1B1a1≥C1w和公理ACO2，易得

（3）存在A1B1·a1;a2≥C2w使得|A1|＝X,|B1|＝Y且|C2|＝Z。

所以X,Y,ZN（a1;a2,w）。

┤

定理3.12　框架完全性定理

DEC2相对框架类Frame（dec2）是完全的。

证明：

只须证：