高考文科数学一轮 专题七 导数及其应用 听课手册.docx

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高考文科数学一轮专题七导数及其应用听课手册

导数及其应用

1．[2015·天津卷]已知函数f（x）＝axlnx，x∈（0，＋∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数．若f′

（1）＝3，则a的值为________．

2．[2015·全国卷Ⅰ]已知函数f（x）＝ax3＋x＋1的图像在点（1，f

（1））处的切线过点（2，7），则a＝________．

3．[2015·陕西卷改编]函数y＝xex在（－1，－）处的切线方程为________．

4．[2015·福建卷改编]已知函数f（x）＝lnx－，则函数f（x）的单调递增区间为________．

5．[2014·福建卷改编]已知函数f（x）＝ex－2x，则函数f（x）的极小值为________．

6．[2013·江苏卷改编]设函数f（x）＝ex－ax（其中a为正实数）在（1，＋∞）上有最小值，则a的取值范围为________．

7．[2014·湖北卷改编]比较大小：

________（π为圆周率）．

8．[2014·辽宁卷改编]当x∈（0，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．

考点一　　　导数的几何意义

题型：

选择、填空　　　分值：

5分

难度：

简单热点：

导数的几何意义

1

（1）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）＋lnx，则f（e）＝________．

（2）[2015·全国卷Ⅱ]已知曲线y＝x＋lnx在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2＋（a＋2）x＋1相切，则a＝________．

[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

[小结]函数在某点的导数值就是对应曲线在该点的切线斜率，这是导数的几何意义，所以与此有关的问题常涉及求导数、求斜率、求切点坐标、求切线方程、求参数等．

式题已知f（x＋1）＝x－1＋ex＋1，则函数f（x）在点（0，f（0））处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积为（　　）

A.B.C．1D．2

考点二　　　函数的单调性与极值、最值

题型：

解答题　　　分值：

5～10分

难度：

较难热点：

单调性与极值、最值

　　　考向一　判断函数的单调性

2已知函数f（x）＝ax2＋2x－lnx.

（1）当a＝0时，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）在区间[，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

[小结]对含有参数的函数，已知其单调性求参数范围，在利用导数求解时，要注意导数等于0的情况，如本题第

（2）问，函数f（x）为增函数，则应是f′（x）≥0，而不是f′（x）>0，否则参数a的取值范围会少一个值．

式题已知函数f（x）＝alnx－ax（a∈R）．

（1）当a＝－2时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数y＝f（x）的图像在点（，f（））处的切线的倾斜角为135°，且对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）＝x3＋x2[f′（x）＋]在区间（t，3）上不是单调函数，求m的取值范围．

　　　考向二　求函数的极值

3已知函数f（x）＝2ax－－（2＋a）lnx（a≥0）．

（1）当a＝0时，求f（x）的极值；

（2）当a>0时，讨论f（x）的单调性．

[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

[小结]利用导数研究函数的极值的一般步骤：

对可导函数求出导数等于零的点，然后判断在导数等于零的点的两侧导数的符号，确定其是否为极值点，是极值点时，再确定是极大值点还是极小值点．

式题已知e为自然对数的底数，设函数f（x）＝xex，则（　　）

A．x＝1是f（x）的极小值点

B．x＝－1是f（x）的极小值点

C．x＝1是f（x）的极大值点

D．x＝－1是f（x）的极大值点

　　　考向三　求函数的最值

4已知函数f（x）＝ax3＋bx＋c（a≠0）为奇函数，f（x）在x＝处取得极值，且曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线与直线x＋6y＋7＝0垂直．

（1）求a，b，c的值；

（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）在[－1，3]上的最值．

[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

[小结]求函数在指定区间上的最值，一般步骤是先对函数求导，确定单调区间、确定极值，再将极值与所求区间的函数的端点值比较，从而得出函数在该区间的最大值和最小值．

高考易失分题6

利用导数求解函数最值的含参问题

范例[2015·全国卷Ⅱ]已知函数f（x）＝lnx＋a（1－x）．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当f（x）有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．

失分分析

（1）讨论单调性时，对a分类不全，容易忽略a＝0时的情况；

（2）由于有参数a，所以需要分类讨论函数f（x）的最大值；（3）由不等式lna＋a－1<0求a的范围时，不懂得通过构建函数g（a）＝lna＋a－1去解决．

高考预测已知函数f（x）＝＋lnx，其中a∈R.

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若不等式f（x）≥1在（0，e]上恒成立，求实数a的取值范围．

考点三　　　导数与函数、不等式的综合问题

题型：

解答题　　　分值：

5～10分

难度：

较难热点：

不等式的证明与求参

　　　考向一　利用导数证明不等式恒成立问题

5[2015·福建卷改编]已知函数f（x）＝lnx－.

（1）证明：

当x>1时，f（x）

（2）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0>1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）>k（x－1）．

[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

[小结]利用导数方法证明不等式在给定区间上的恒成立问题，一般先将待证不等式如f（x）≥g（x）的形式，转化为f（x）－g（x）≥0的形式，再设h（x）＝f（x）－g（x），进而转化为研究函数h（x）在指定区间上的最小值问题．不过由于不等式呈现的形式多样，具体求解时还要灵活多变．

式题已知函数f（x）＝与函数g（x）＝lnx在点（1，0）处有公共的切线．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求证：

g（x）≥f（x）在[1，＋∞）上恒成立．

　　　考向二　构建函数解决不等式证明问题

6若0

A．ex2－ex1>lnx2－lnx1B．ex2－ex1

C．x2ex1>x1ex2D．x1ex1

[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

[小结]构建可导函数比较大小体现了推理论证能力与运算技巧的结合，这种构建有以下一些要求：

（1）熟悉可导法则；

（2）了解一些常见函数的导数，如lnx，ex，xlnx，xex等；（3）进行必要的尝试．

式题设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a>b>cB．b>a>c

C．c>b>aD．c>a>b

　　　考向三　确定双变量不等式中参数值或范围

7设函数f（x）＝x2＋ax－lnx（a∈R）．

（1）当a>1时，讨论函数f（x）的单调性；

（2）若对任意a∈（3，4）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有m＋ln2>|f（x1）－f（x2）|成立，求实数m的取值范围．

[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

[小结]确定不等式中的参数的范围，一般是先分离参数，即转化为a≥f（x）（或a≤f（x））的形式，再利用导数求出函数f（x）的最大值或最小值，从而得出参数a的范围．

　导数及其应用

■核心知识聚焦

1．3　[解析]f′（x）＝alnx＋a.因为f′

（1）＝3，所以a＝3.

2．1　[解析]因为f′（x）＝3ax2＋1，所以函数在点（1，f

（1）），即点（1，2＋a）处的切线的斜率k＝f′

（1）＝3a＋1.又切线过点（2，7），则经过点（1，2＋a），（2，7）的直线的斜率k＝，所以3a＋1＝，解得a＝1.

3．y＝－　[解析]y′＝（x＋1）ex，当x＝－1时，y′＝0，即函数在点（－1，－）处的切线斜率为0，故所求切线方程为y＝－.

4.　[解析]f′（x）＝－x＋1＝，x∈（0，＋∞）．

由f′（x）>0，得解得0

故f（x）的单调递增区间是.

5．2－ln4　[解析]f（x）＝ex－2x，则f′（x）＝ex－2.

令f′（x）＝0，得x＝ln2.

当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

所以当x＝ln2时，f（x）取得极小值，

且极小值为f（ln2）＝eln2－2ln2＝2－ln4.

6．（e，＋∞）　[解析]由f′（x）＝ex－a＝0，得x＝lna，当xlna时，f′（x）>0.又因为f（x）在（1，＋∞）上有最小值，所以lna>1，得a>e，即a的取值范围为（e，＋∞）．

7．<　[解析]构建函数f（x）＝（x>0），则f′（x）＝.

当x>e时，f′（x）<0，函数f（x）单调递减，又π>3>e，所以f（π）

8．[－6，＋∞）　[解析]当0

令f（x）＝（0

故f（x）在（0，1]上单调递增，所以有a≥f（x）max＝＝－6.

考点一　导数的几何意义

例1　

（1）－1　

（2）8　[解析]

（1）对f（x）求导得f′（x）＝2f′（e）＋，把x＝e代入得f′（e）＝e－1＋2f′（e），

解得f′（e）＝－e－1，∴f（e）＝2ef′（e）＋lne＝－1.

（2）对函数y＝x＋lnx求导得y′＝1＋，函数在点（1，1）处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝2，所以在点（1，1）处的切线方程为y＝2x－1，又该切线也为函数y＝ax2＋（a＋2）x＋1的切线，所以由得ax2＋ax＋2＝0，此方程应有唯一解，所以Δ＝a2－8a＝0，得a＝8或a＝0（舍）．

变式题　A　[解析]由f（x＋1）＝x－1＋ex＋1知f（x）＝x－2＋ex，则f′（x）＝1＋ex，f′（0）＝2.又f（0）＝－1，即切点坐标为（0，－1），所以切线l的方程为y－（－1）＝2（x－0），即y＝2x－1，切线l与坐标轴的交点分别为（，0）和（0，－1），所以切线l与坐标轴围成的三角形的面积S＝××|－1|＝.

考点二　导数的单调性与极值、最值

例2　解：

（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f（x）＝2x－lnx，则f′（x）＝2－.当f′（x）>0时，x>；当f′（x）<0时，得0

（2）已知f（x）＝ax2＋2x－lnx，则f′（x）＝ax＋2－＝.

若a＝0，由f′（x）>0，得x>，显然不合题意；

若a≠0，∵函数f（x）在区间[，2]上是增函数，

∴f′（x）≥0对x∈[，2]恒成立，

即不等式ax2＋2x－1≥0对x∈[，2]恒成立，

即a≥＝－＝（－1）2－1对x∈[，2]恒成立，

故a≥[（－1）2－1]max＝3，

∴实数a的取值范围为a≥3.

变式题　解：

（1）因为a＝－2，所以f（x）＝2x－2lnx（x>0）