1、高考文科数学一轮 专题七 导数及其应用 听课手册 导数及其应用12015天津卷 已知函数f(x)axln x,x(0,),其中a为实数,f(x)为f(x)的导函数若f(1)3,则a的值为_22015全国卷 已知函数f(x)ax3x1的图像在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则 a_32015陕西卷改编 函数yxex在(1,)处的切线方程为_42015福建卷改编 已知函数f(x)ln x,则函数f(x)的单调递增区间为_52014福建卷改编 已知函数f(x)ex2x,则函数f(x)的极小值为_62013江苏卷改编 设函数f(x)exax(其中a为正实数)在(1,)上有最小值,则a的取值范围
2、为_72014湖北卷改编 比较大小:_(为圆周率)82014辽宁卷改编 当x(0,1时,不等式ax3x24x30恒成立,则实数a的取值范围是_考点一导数的几何意义题型:选择、填空分值:5分难度:简单 热点:导数的几何意义1 (1)已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)2xf(e)ln x,则f(e)_(2)2015全国卷 已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切,则a_听课笔记 小结 函数在某点的导数值就是对应曲线在该点的切线斜率,这是导数的几何意义,所以与此有关的问题常涉及求导数、求斜率、求切点坐标、求切线方程、求参数等式题 已知f(x1)x1ex
3、1,则函数f(x)在点(0,f(0)处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积为()A. B. C1 D2考点二函数的单调性与极值、最值题型:解答题分值:510分难度:较难 热点:单调性与极值、最值考向一判断函数的单调性2 已知函数f(x)ax22xln x.(1)当a0时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在区间,2上是增函数,求实数a的取值范围听课笔记 小结 对含有参数的函数,已知其单调性求参数范围,在利用导数求解时,要注意导数等于0的情况,如本题第(2)问,函数f(x)为增函数,则应是f(x)0,而不是f(x)0,否则参数a的取值范围会少一个值式题 已知函数f(x)aln xax(aR)(
4、1)当a2时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数yf(x)的图像在点(,f()处的切线的倾斜角为135,且对于任意的t1,2,函数g(x)x3x2f(x)在区间(t,3)上不是单调函数,求m的取值范围考向二求函数的极值3 已知函数f(x)2ax(2a)ln x(a0)(1)当a0时,求f(x)的极值;(2)当a0时,讨论f(x)的单调性听课笔记 小结 利用导数研究函数的极值的一般步骤:对可导函数求出导数等于零的点,然后判断在导数等于零的点的两侧导数的符号,确定其是否为极值点,是极值点时,再确定是极大值点还是极小值点式题 已知e为自然对数的底数,设函数f(x)xex,则()Ax1是f(x)的
5、极小值点 Bx1是f(x)的极小值点Cx1是f(x)的极大值点 Dx1是f(x)的极大值点考向三求函数的最值4 已知函数f(x)ax3bxc(a0)为奇函数,f(x)在x处取得极值,且曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线与直线x6y70垂直(1)求a,b,c的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)在1,3上的最值听课笔记 小结 求函数在指定区间上的最值,一般步骤是先对函数求导,确定单调区间、确定极值,再将极值与所求区间的函数的端点值比较,从而得出函数在该区间的最大值和最小值 高考易失分题6 利用导数求解函数最值的含参问题范例 2015全国卷 已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨
6、论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a2时,求a的取值范围失分分析 (1)讨论单调性时,对a分类不全,容易忽略a0时的情况;(2)由于有参数a,所以需要分类讨论函数f(x)的最大值;(3)由不等式ln aa11时,f(x)1,当x(1,x0)时,恒有f(x)k(x1)听课笔记 小结 利用导数方法证明不等式在给定区间上的恒成立问题,一般先将待证不等式如f(x)g(x)的形式,转化为f(x)g(x)0的形式,再设h(x)f(x)g(x),进而转化为研究函数h(x)在指定区间上的最小值问题不过由于不等式呈现的形式多样,具体求解时还要灵活多变式题 已知函数f(x)与函数g(x)
7、ln x在点(1,0)处有公共的切线(1)求函数f(x)的解析式;(2)求证:g(x)f(x)在1,)上恒成立考向二构建函数解决不等式证明问题6 若0x1x2ln x2ln x1 Bex2ex1x1ex2 Dx1ex1bc BbacCcba Dcab考向三确定双变量不等式中参数值或范围7 设函数f(x)x2axln x(aR)(1)当a1时,讨论函数f(x)的单调性;(2)若对任意a(3,4)及任意x1,x21,2,恒有mln 2|f(x1)f(x2)|成立,求实数m的取值范围听课笔记 小结 确定不等式中的参数的范围,一般是先分离参数,即转化为af(x)(或af(x)的形式,再利用导数求出函数
8、f(x)的最大值或最小值,从而得出参数a的范围导数及其应用 核心知识聚焦13解析 f(x)aln xa.因为f(1)3,所以a3.21解析 因为f(x)3ax21,所以函数在点(1,f(1),即点(1,2a)处的切线的斜率kf(1)3a1.又切线过点(2,7),则经过点(1,2a),(2,7)的直线的斜率k,所以3a1,解得a1.3y解析 y(x1)ex,当x1时,y0,即函数在点(1,)处的切线斜率为0,故所求切线方程为y.4.解析 f(x)x1,x(0,)由f(x)0,得解得0x.故f(x)的单调递增区间是.52ln 4解析 f(x)ex2x,则f(x)ex2.令f(x)0,得xln 2.
9、当xln 2时,f(x)0,f(x)单调递减;当xln 2时,f(x)0,f(x)单调递增所以当xln 2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln 2)eln 22ln 22ln 4.6(e,)解析 由f(x)exa0,得xln a,当xln a时,f(x)ln a时,f(x)0.又因为f(x)在(1,)上有最小值,所以ln a1,得ae,即a的取值范围为(e,)70),则f(x).当xe时,f(x)3e,所以f()f(3),即.86,)解析 当0x1时,a,令f(x)(00时,x;当f(x)0时,得0x0,得x,显然不合题意;若a0,函数f(x)在区间,2上是增函数,f(x)0对x,2恒成立,即不等式ax22x10对x,2恒成立,即a(1)21对x,2恒成立,故a(1)21max3,实数a的取值范围为a3.变式题解:(1)因为a2,所以f(x)2x2ln x(x0)
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