弧弦圆心角教案导学案.docx

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弧弦圆心角教案导学案

24.1.3弧、弦、圆心角

【知识与技能】

1.理解圆心角概念和圆的旋转不变性.

2.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，以及它们在解题过程中的应用.

【过程与方法】

通过学生动手或计算机演示使学生感受圆的旋转不变性，发展学生的观察分析能力.

【情感态度】

培养学生勇于探索的良好习惯，激发学生探究，发现数学问题的兴趣.

【教学重点】

圆心角、弧、弦之间的关系，并能运用此关系进行有关计算和证明.

【教学难点】

理解圆的旋转不变性和定理推论的应用.

一、情境导入，初步认识

汽车能正常行驶（其他情况正常）得益于车轮；而车轮又是具有什么性质才具有如此奇妙的作用呢？

教师拿出做好的教具，在纸上画下任意圆，任意画出两条半径，构成一个顶点在圆心上的角α，将这个圆绕圆心O旋转任意角度α，你会发现什么？

像α这样，顶点在圆心上的角叫圆心角.

这节课我们将要研究与它有关的一些定理，引入课题.

二、思考探究，获取新知

1.圆的旋转不变性

由上述探究活动中，我们不难发现：

围绕圆心O旋转任意角度α，都能与原来的图形重合，所以圆是中心对称图形，并且具有旋转不变的特征.

这也是车轮具有的特征，所以汽车才能正常行驶.

2.弧、弦、圆心角之间的关系

探究如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系，为什么？

【教学说明】让学生利用学具动手演示，观察，思考，同学之间合作交流，并归纳总结.教师提问几位学生代表回答他们发现的等量关系，教师同时在黑板上写出他们的结论.

【归纳结论】

AB=A′B′

∴由圆的旋转不变性可得出下面的定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相同.

议一议

（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？

所对的弦相等吗？

（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？

所对的弧相等吗？

【教学说明】学生利用学具，结合圆的旋转不变性，很容易得出结论.这两个问题是为了使学生深切体会，圆心角、弧、弦三者在同圆或等圆中之间存在的关系.

推论：

在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等.

在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等.

请同学们根据图形给出定理及其推论的符号语言.

【教学说明】培养学生用符号语言表示结论，发展学生用符号语言说理的能力.

由此可总结为：

在同圆或等圆中，圆心角相等弧相等弦相等.

3.圆心角、弧、弦定理及推论的应用

例1如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证：

∠AOB=∠BOC=∠AOC.

分析：

在⊙O中，要使圆心角相等，可通过证明圆心角所对的弦或弧相等解题.

证明：

∵AB=AC，∴AB=AC，△ABC是等腰三角形.

又∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA.∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.

例2如图所示，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F两点，交BA的延长线于G，判断EF和FG是否相等，并说明理由.

证明：

如图.连接AE，

∵在ABCD中，AD∥BC，

∴∠1=∠2，∠3=∠4

又∵在⊙A中，AB=AE，

∴∠2=∠3，∴∠1=∠4

∴EF=FG（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）

【教学说明】巩固定理内容，加深对定理的理解，初步应用定理解决问题，培养学生的逻辑推理能力及运用知识的能力.

三、运用新知，深化理解

1.观察下列选项中的图形及推理，其中正确的是：

∵∠AOB=∠A′OB′∵AD=BC

∴AB=A′B′∴AB=CD

（1）

（2）

∵∠AOC=∠BOC

∴AD=BC

（3）

2.如图所示，C、D为半圆O的三等分点，AB为直径，则下列说法正确的有个.

①AD=CD=BC

②∠AOD=∠DOC=∠BOC

③四边形ADCO为菱形

【教学说明】这两道题要求学生当堂完成，学生独立思考并回答问题，教师作点评，要强调定理及推论的应用范围，以及对应量之间的关系.对回答好的同学及时给予鼓励表扬，增强学习数学的信心和热情.

【答案】1.

（2）2.3

四、师生互动，课堂小结

通过这堂课的学习，你掌握了哪些基本概念和基本方法?

如圆心角的概念，弧、弦、圆心角三者之间的关系等，试着与同伴交流.

【教学说明】先让学生对上述问题进行回顾与思考，完善知识体系，教师再进行补充说明.

1.布置作业：

从教材“习题24.1”中选取.

2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.

1.本节课学生通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，得出了圆的中心对称性、圆心角定理及推论，可以发展学生勇于探索的良好习惯，培养动手解决问题的能力.

2.本节课中，教师应让学生掌握解题方法，即要证弦相等或弧相等或圆心角相等，可先证其中一组量对应相等.掌握这个解题方法有助于提升学生的抽象思维能力.

24.1.3弧、弦、圆心角

一、新课导入

1.导入课题：

问题1：

圆是中心对称图形吗？

它的对称中心在哪里？

问题2：

把圆绕着圆心旋转一个任意角度，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？

这节课我们利用圆的任意旋转不变性来探究圆的另一个重要定理.（板书课题）

2.学习目标：

（1）知道圆是中心对称图形，并且具有任意旋转不变性.

（2）知道什么样的角是圆心角，探究并得出弧、弦、圆心角的关系定理.

（3）初步学会运用弧、弦、圆心角定理解决一些简单的问题.

3.学习重、难点：

重点：

弧、弦、圆心角关系定理.

难点：

探究并证明弧、弦、圆心角关系定理.

二、分层学习

1.自学指导：

（1）自学内容：

教材第83页至第84页例3之前的内容.

（2）自学时间：

8分钟.

（3）自学方法：

完成探究提纲.

（4）探究参考提纲：

①剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°和任意角度，观察旋转前后的两个图形是否重合，并填空：

圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；把圆绕着圆心旋转任意一个角度，旋转之后的图形都与原图形重合.

②顶点在圆心的角叫做圆心角.

重合

④结论：

在在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量都相等.

2.自学：

学生结合自学指导进行自学.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：

观察学生能否在提纲的指导下顺利完成整个探究活动.

②差异指导：

根据学情进行个别指导或分类指导.

（2）生助生：

小组内相互交流、研讨.

4.强化：

（1）弧、弦、圆心角关系定理，尤其是定理成立的前提条件是“在同圆或等圆中”.

（2）该定理可以实现角、线段（弦）、弧的相互转换.

（3）练习：

如图，AB,CD是⊙O的两条弦.

解：

相等.理由：

∵OE⊥AB,OF⊥CD，由垂径定理得AE=BE=

AB，CF=DF=

CD.

又AB=CD,∴AE=CF.在Rt△AOE和Rt△COF中，

OA=OC,AE=CF,

∴Rt△AOE≌Rt△COF，∴OE=OF.

1.自学指导：

（1）自学内容：

教材第84页例3.

（2）自学时间：

3分钟.

（3）自学方法：

阅读理解，推理论证.

（4）自学参考提纲：

它们所对的弦AB=BC=AC，或证明它们都是120°.

b.在每一步后面填上相应的依据:

证明：

∴AB=AC（在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等）.

又∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.

即AB=BC=AC，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC（在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆心角相等）.

c.你还有其他的证法吗？

∴AB＝AC.又∠ACB＝60°，

∴△ABC是等边三角形.

易证△AOB≌△BOC≌△AOC,

∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.

2.自学：

学生结合自学指导进行自学.

3.助学：

（1）师助生：

①明了学情：

观察学生是否会用定理实现角、线段、弧的转换.

②差异指导：

看图逐步适应从直线到曲线的过渡.

（2）生助生：

小组内相互交流、研讨.

4.强化：

弧、弦、圆心角的关系定理是证弧等、弦等、角等的常用定理.

三、评价

1.学生的自我评价（围绕三维目标）：

这节课你学到了哪些知识？

还存在哪些疑惑？

2.教师对学生的评价：

（1）表现性评价：

点评学生的学习态度、积极性，小组合作情况、存在的问题等.

（2）纸笔评价：

课堂评价检测.

3.教师的自我评价（教学反思）：

（1）本节课学生通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，得出了圆的中心对称性、圆心角定理及推论，可以发展学生勇于探究的良好习惯，培养动手解决问题的能力.

（2）本节课中，教师应让学生掌握解题方法，即要证弦相等或弧相等或圆心角相等，可先证其中一组量对应相等.掌握这个解题方法有助于提升学生的抽象思维能力.

（时间：

12分钟满分：

100分）

一、基础巩固（70分）

A．36°B．72°C．108°D．48°

2.（15分）如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是半圆上两个三等分点，则∠COD=60°.

3.（15分）如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=40°．

二、综合应用（20分）

6.（20分）如图，A,B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C的中点，求证：

四边形OACB是菱形.

证明：

∵C是AB的中点，∴AC=BC，

∴∠AOC=∠BOC=

∠AOB=60°.

又∵OA=OC=OB,

∴△AOC与△BOC是等边三角形.∴∠A=60°.

又∠AOB=120°,∴AC∥OB.

∵AC=OC=OB,

∴四边形OACB是平行四边形.

又OA=AC,∴四边形OACB是菱形.

三、拓展延伸（10分）

7.（10分）如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD．

（1）求证：

△AEC≌△DEB；

（2）点B与点C关于直线OE对称吗？

试说明理由．

（2）解：

对称.理由：

连接OB、OC.则OB=OC.

由

（1）知BE=CE，

连接BC，则OE垂直平分BC.

∴点B与点C关于直线OE对称.