吉林省长春市五县学年高二上学期期末考试数学理试题 Word版含答案.docx
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吉林省长春市五县学年高二上学期期末考试数学理试题Word版含答案
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.双曲线
的虚轴长是（）
A．8B．
C．
D．2
2.在公差为
的等差数列
中，“
”是“
是递增数列”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.为了了解800名高三学生是否喜欢背诵诗词，从中抽取一个容量为20的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔
为（）
A．50B．60C．30D．40
4.已知椭圆
的左、右焦点分别为
，过
的直线交椭圆
于
两点，若
，则
等于（）
A．8B．6C.4D．2
5.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下，则这100个成绩的平均数为（）
A．3B．2.5C.3.5D．2.75
6.某单位有员工120人，其中女员工有72人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为15的样本，则男员工应选取的人数是（）
A．5B．6C.7D．8
7.已知椭圆
的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则该椭圆的方程是（）
A．
B．
C.
D．
8.已知点
是抛物线
上一点，且它在第一象限内，焦点为
坐标原点，若
，
，则此抛物线的准线方程为（）
A．
B．
C.
D．
9.某班
名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这
名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，则
等于（）
A．45B．48C.50D．55
10.已知定点
，
，如果动点
满足
，则点
的轨迹所包围的图形面积等于（）
A．
B．
C.
D．
11.已知命题
：
直线
与直线
之间的距离不大于1，命题
：
椭圆
与双曲线
有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（）
A．
B．
C.
D．
12.如图，
分别是双曲线
的左、右焦点，过
的直线
与双曲线分别交于点
，且
，若
为等边三角形，则
的面积为（）
A．1B．
C.
D．2
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知
，
，向量
与
垂直，则
的最大值为．
14.若
表示不超过
的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出
的值为．
15.在区间
上任取一个数
，则函数
的值不小于0的概率为．
16.已知点
是抛物线
上一点，
为坐标原点，若
是以点
为圆心，
的长为半径的圆与抛物线
的两个公共点，且
为等边三角形，则
的值是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），以原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆
的极坐标方程为
.
（1）写出直线
的普通方程及圆
的直角坐标方程；
（2）点
是直线
上的点，求点
的坐标，使
到圆心
的距离最小.
18.（本小题满分12分）
已知
：
方程
有两个不等的正根；
：
方程
表示焦点在
轴上的双曲线.
（1）若
为真命题，求实数
的取值范围；
（2）若“
或
”为真，“
且
”为假，求实数
的取值范围.
19.（本小题满分12分）
某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价
（百元）与日销售量
（件）之间有如下关系：
（1）求
关于
的回归直线方程；
（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大？
相关公式：
，
.
20.（本小题满分12分）
如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用
表示.
（1）若乙组同学投篮命中次数的平均数比甲组同学的平均数少1，求
及乙组同学投篮命中次数的方差；
（2）在
（1）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为16的概率.
21.（本小题满分12分）
如图，在三棱锥
中，
平面
，
，
，
分别在线段
上，
，
，
是
的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）若二面角
的大小为
，求
.
22.（本小题满分12分）
已知
的左、右焦点分别为
，
，点
在椭圆上，
，且
的面积为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）点
是椭圆上任意一点，
分别是椭圆的左、右顶点，直线
与直线
分别交于
两点，试证：
以
为直径的圆交
轴于定点，并求该定点的坐标.
试卷答案
一、选择题
1.
因为
，所以虚轴长
.
2.
若
，则
，
，所以，
是递增数列；若
是递增数列，则
，
，推不出
3.
由于
，即分段的间隔
.
4.
因为直线
过椭圆的右焦点
，由椭圆的定义，在
中，
.又
，所以
.
5.
设这100个成绩的平均数记为
，则
.
6.
男员工应抽取的人数为
.
7.
设焦距为
，则有
，解得
，所以椭圆
.
8.
因为
，所以
，
.
又
，所以
，准线方程为
.
9.
，由
，得
.
10.
设
，则由
得
，化简得
，即
，所以所求图形的面积
.
11.
对于命题
，将直线
平移到与椭圆相切，设这条平行线的方程为
，联立方程组
，消去
得
.
由
得，所以
，椭圆上的点到直线
最近距离为直线
与
的距离
，所以命题
为假命题，于是
为真命题.
对于命题
，椭圆
与双曲线
有相同的焦点
，故
为真命题.
从而
为真命题.
12.
由已知
，
，又
为等边三角形，所以
，所以
.在
中，
，
，
，
，由余弦定理得
，所以
，
，所以双曲线方程为
，又
在双曲线上，所以
，解得
，即
.
所以
.
二、填空题
13.9因为，所以，又，所以.
14.7第一次循环，
，
；第二次循环，
，
；第三次循环，
，
；第四次循环，
，
；第五次循环，
.因为8>6，所以输出
的值为7.
15.
当
时，
.当
，即
时
，则所求概率为
.
16.
如图，因为
，所以，点
在线段
的中垂线上，
又
，所以可设
.
由
，得
，
所以
的坐标代入方程
，得
.
三、解答题
17.解：
（1）由
消去参数
，得直线
的普通方程为
，
由
得
，
，即圆
的直角坐标方程为
.
（2）
，
，
，
时
最小，此时
.
18.解：
（1）由已知方程
表示焦点在
轴上的双曲线，
则
解得
，即
.
因
或
为真，所以
至少有一个为真.
又
且
为假，所以
至少有一个为假.
因此，
两命题应一真一假，当
为真，
为假时，
，解得
；
当
为假，
为真时，
，解得
.
综上，
或
.
19.解：
（1）因为
，
，
所以，
，
，
于是得到
关于
的回归直线方程
.
（2）销售价为
时的利润为
，
当
时，日利润最大.
20.
（1）解：
依题意得：
，解得
，
，
.
（2）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为
，他们的命中次数分别为9，8，7.
乙组投篮命中次数低于10次的同学为
，他们的命中次数分别为6，8，8，9.
依题意，不同的选取方法有：
共12种.
设“这两名同学的投篮命中次数之和为16”为事件，则中恰含有
共3种.
.
21.
（1）证明：
取
的中点
，连接
，则
，所以
.
又
平面
，所以
平面
.
又
是
的中位线，所以
，
从而
平面
.
又
，所以平面
平面
.
因为
平面
，所以
平面
.
（2）解：
法1：
由
平面
知，
，
由
，
，知
，
故
平面
.
由
（1）知
，面
，故
.
所以
是二面角
的平面角，
即
.
设
，则
，又易知在
中，
，可知
，
在
中，
.
法2：
以
为坐标原点，
所在的直线分别为
轴，
轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标.
设
，
，则
，
，
，则
，
，
设
是平面
的一个法向量，
则
即
取
，
不难得到平面
的一个法向量为
，
所以
，所以
，
在
中，
.
22.解：
（1）因为
，所以
，
.
由题意得
，解得
.
从而
，结合
，得
，
故椭圆的方程为
.
（2）由
（1）得
，
，
设
，则直线
的方程为
，
它与直线
的交点的坐标为
，
直线
的方程为
，它与直线
的交点的坐标为
，
再设以
为直径的圆交
轴于点
，则
，从而
，即
，即
，解得
.
故以
为直径的圆交
轴于定点，该定点的坐标为
或
.
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