最新高中数学解题思路和方法+高中所有数学公式优秀名师资料.docx
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最新高中数学解题思路和方法+高中所有数学公式优秀名师资料
高中数学解题思路和方法+高中所有数学公式
目录
王力平博士根据多年教学经验总结出以下参考方法，望广大师生受益
前言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2第一章高中数学解题基本方法„„„„„„„„„3
一、配方法„„„„„„„„„„„„„„„3
二、换元法„„„„„„„„„„„„„„„7
三、待定系数法„„„„„„„„„„„„„14
四、定义法„„„„„„„„„„„„„„„19
五、数学归纳法„„„„„„„„„„„„„23
六、参数法„„„„„„„„„„„„„„„28
七、反证法„„„„„„„„„„„„„„„32
八、消去法„„„„„„„„„„„„„„„
九、分析与综合法„„„„„„„„„„„„
十、特殊与一般法„„„„„„„„„„„„
十一、类比与归纳法„„„„„„„„„„
十二、观察与实验法„„„„„„„„„„第二章高中数学常用的数学思想„„„„„„„„35
一、数形结合思想„„„„„„„„„„„„35
二、分类讨论思想„„„„„„„„„„„„41
三、函数与方程思想„„„„„„„„„„„47
四、转化（化归）思想„„„„„„„„„„54第三章高考热点问题和解题策略„„„„„„„„59
一、应用问题„„„„„„„„„„„„„„59
二、探索性问题„„„„„„„„„„„„„65
三、选择题解答策略„„„„„„„„„„„71
四、填空题解答策略„„„„„„„„„„„77附录„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„
一、高考数学试卷分析„„„„„„„„„„
二、两套高考模拟试卷„„„„„„„„„„
三、参考答案„„„„„„„„„„„„„„
32页以后为公式大全
2
前言
美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。
而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。
高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。
我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。
高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查:
?
常用数学方法:
配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等;
?
数学逻辑方法:
分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等;
?
数学思维方法:
观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和
演绎等;
?
常用数学思想:
函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想
等。
数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。
数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。
而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。
数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。
数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。
可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。
为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法:
配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想:
函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。
最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。
在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。
再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。
巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。
每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。
2
3
第一章高中数学解题基本方法
一、配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于:
已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
222配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式（a，b）,a，2ab，b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如:
2222a，b,（a，b）,2ab,（a,b），2ab;
3b222222a，ab，b,（a，b）,ab,（a,b），3ab,（a，），（b）;22
1222222a，b，c，ab，bc，ca,[（a，b），（b，c），（c，a）]2
22222a，b，c,（a，b，c）,2（ab，bc，ca）,（a，b,c）,2（ab,bc,ca）,„
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如:
21，sin2α,1，2sinαcosα,（sinα，cosα）;
111222x，,（x，）,2,（x,），2;„„等等。
2xxx
?
、再现性题组:
1.在正项等比数列{a}中，a,a+2a,a+a,a=25，则a，a,_______。
5353735n1222.方程x，y,4kx,2y，5k,0表示圆的充要条件是_____。
111A.1C.k?
RD.k,或k,1444
443.已知sinα，cosα,1，则sinα，cosα的值为______。
A.1B.,1C.1或,1D.0
24.函数y,log（,2x，5x，3）的单调递增区间是_____。
12
55155A.（,?
]B.[,+?
）C.（,,]D.[,3）44244
2225.已知方程x+（a-2）x+a-1=0的两根x、x，则点P（x,x）在圆x+y=4上，则实2211
数a,_____。
2【简解】1小题:
利用等比数列性质aa,a，将已知等式左边后配方（a，mp,mp，m3
2a）易求。
答案是:
5。
522222小题:
配方成圆的标准方程形式（x,a），（y,b）,r，解r>0即可，选B。
222223小题:
已知等式经配方成（sinα，cosα）,2sinαcosα,1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。
选C。
4小题:
配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。
选D。
115小题:
答案3,。
?
、示范性题组:
3
4
例1.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。
A.2B.C.5D.6314
【分析】先转换为数学表达式:
设长方体长宽高分别为x,y,z，则211（）xyyzxz，，,,222,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可xyz，，,424（）xyz，，,,得。
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度
211（）xyyzxz，，,,之和为24”而得:
。
424（）xyz，，,,22222xyz，，（）（）xyzxyyzxz，，,，，2长方体所求对角线长为:
,611,,5
所以选B。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。
这也是我们使用配方法的一种解题模式。
pq222例2.设方程x，kx，2=0的两实根为p、q，若（）+（）?
7成立，求实数k的取qp
值范围。
2【解】方程x，kx，2=0的两实根为p、q，由韦达定理得:
p，q,,k，pq,2,
22224422222pq，[（）]pqpqpq，,,22（）pqpq，,2pq22（）+（）,,,,222qp（）pq（）pq（）pq
22（）k,,481010?
7，解得k?
或k?
。
4
2222又?
p、q为方程x，kx，2=0的两实根，?
?
k,8?
0即k?
2或k?
2
10222210综合起来，k的取值范围是:
?
k?
或者?
k?
。
【注】关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”;已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。
本题由韦达定理得到p，q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p，q与pq的组合式。
假如本题不对“?
”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“?
”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。
ba2219981998例3.设非零复数a、b满足a，ab，b=0，求（），（）。
ab，ab，
aaa2【分析】对已知式可以联想:
变形为（），（），1,0，则,ω（ω为1的立方bbb
2虚根）;或配方为（a，b）,ab。
则代入所求式即得。
aa222【解】由a，ab，b=0变形得:
（），（），1,0，bb
4
5
a1b233设ω,，则ω，ω，1,0，可知ω为1的立方虚根，所以:
，ω,,1。
ba,
222又由a，ab，b=0变形得:
（a，b）,ab，
22babaab199********999999999999所以（），（）,（），（）,（），（）,ω，baab，ababab，
999,2。
【注】本题通过配方，简化了所求的表达式;巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。
一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。
,13iaab222【另解】由a，ab，b,0变形得:
（），（），1,0，解出,后，化bba2
ab999999成三角形式，代入所求表达式的变形式（），（）后，完成后面的运算。
此方法用于ba
,13i只是未联想到ω时进行解题。
2
,13i22假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a，ab，b,0解出:
a,b，2直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。
?
、巩固性题组:
221.函数y,（x,a），（x,b）（a、b为常数）的最小值为_____。
222，ab（）ab,A.8B.C.D.最小值不存在222222.α、β是方程x,2ax，a，6,0的两实根，则（α-1）+（β-1）的最小值是_____。
49A.,B.8C.18D.不存在4
，xy3.已知x、y?
R，且满足x，3y,1,0，则函数t,2，8有_____。
22A.最大值2B.最大值C.最小值2B.最小值22222224.椭圆x,2ax，3y，a,6,0的一个焦点在直线x，y，4,0上，则a,_____。
A.2B.,6C.,2或,6D.2或6
5.化简:
2，的结果是_____。
18,sin228，cos
A.2sin4B.2sin4,4cos4C.,2sin4D.4cos4,2sin422x6.设F和F为双曲线,y,1的两个焦点，点P在双曲线上且满足?
FPF,90?
，12124
则?
FPF的面积是_________。
12217.若x>,1，则f（x）,x，2x，的最小值为___________。
x，1
33128.已知〈β<α〈π，cos（α-β）,，sin（α+β）,,，求sin2α的值。
（92年45213
高考题）
222229.设二次函数f（x）,Ax，Bx，C，给定m、n（m22,Cmn]，B，C,0。
5
6
?
解不等式f（x）>0;
?
是否存在一个实数t，使当t?
（m+t,n-t）时，f（x）<0,若不存在，说出理由;若存在，指出t的取值范围。
442210.设s>1，t>1，m?
R，x,logt，logs，y,logt，logs，m（logt，logs）,ststst?
将y表示为x的函数y,f（x），并求出f（x）的定义域;
?
若关于x的方程f（x）,0有且仅有一个实根，求m的取值范围。
二、换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研
6
7
究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有:
局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过
xxx变形才能发现。
例如解不等式:
4，2,2?
0，先变形为设2,t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知
2识中有某点联系进行换元。
如求函数y,，的值域时，易发现x?
[0,1]，设x,sinx1,x
α，α?
[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该2
222是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x，y,r（r>0）时，则可作三角代换x,rcosθ、y,rsinθ化为三角问题。
SS均值换元，如遇到x，y,S形式时，设x,，t，y,,t等等。
22
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中
的t>0和α?
[0,]。
2
?
、再现性题组:
1.y,sinx?
cosx，sinx+cosx的最大值是_________。
242.设f（x，1）,log（4,x）（a>1），则f（x）的值域是_______________。
a
3.已知数列{a}中，a,,1，a?
a,a,a，则数列通项a,___________。
n1n，1nn，1nn24.设实数x、y满足x，2xy,1,0，则x，y的取值范围是___________。
x13，5.方程,3的解是_______________。
x13，
xx，16.不等式log（2,1）?
log（2,2）〈2的解集是_______________。
22
2t122【简解】1小题:
设sinx+cosx,t?
[,,]，则y,，t,，对称轴t,,1，22
122当t,，y,，;max2
222小题:
设x，1,t（t?
1），则f（t）,log[-（t-1），4]，所以值域为（,?
log4];aa
1113小题:
已知变形为,,,1,设b,，则b,,1,b,,1，（n,1）（-1）n1naaan，1nn
1,,n，所以a,,;nn
7
8
224小题:
设x，y,k，则x,2kx，1,0,?
4k,4?
0,所以k?
1或k?
1;
1x25小题:
设3,y，则3y，2y,1,0,解得y,，所以x,,1;3
5x6小题:
设log（2,1）,y，则y（y，1）<2，解得,2（log,log3）。
2224?
、示范性题组:
112222例1.实数x、y满足4x,5xy，4y,5（?
式），设S,x，y，求，SSmaxmin
的值。
（93年全国高中数学联赛题）
2222【分析】由S,x，y联想到cosα，sinα,1,于是进行三角换元，设
xS,cosα,代入?
式求S和S的值。
maxmin,yS,sinα,
xS,cosα,【解】设代入?
式得:
4S,5S?
sinαcosα,5,,yS,sinα,
10解得S,;852,sinα
101010?
-1?
sin2α?
1?
3?
8,5sin2α?
13?
?
?
13,385,sin
31316811?
，,，,,1010105SSmaxmin
810S,此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α,的有界性而求，即解不等S
810S,式:
||?
1。
这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。
S
SSSS2222【另解】由S,x，y，设x,，t，y,,t，t?
[,，]，2222
22SS22,,tt则xy,?
代入?
式得:
4S?
5=5，44
22移项平方整理得100t+39S,160S，100,0。
10102?
39S,160S，100?
0解得:
?
S?
133
31316811?
，,，,,1010105SSmaxmin22【注】此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S,x，y与三角公22式cosα，sinα,1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问
22题。
第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S,x，y而按照均值换元的思路，设
8
9
22SSx,，t、y,,t，减少了元的个数，问题且容易求解。
另外，还用到了求值域的几种22
方法:
有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x,a，b，y,a,b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。
本题设x,a，b，y
522222,a,b，代入?
式整理得3a，13b,5，求得a?
[0,]，所以S,（a,b），（a，b）,3
10201010112222（a，b）,，a?
[,]，再求，的值。
1313133SSmaxmin
21AC,1例2（?
ABC的三个内角A、B、C满足:
A，C,2B，，,,，求coscosB2cosAcosC
的值。
（96年全国理）
【分析】由已知“A，C,2B”和“三角形内角和等于180?
”的性质，可得,,AC，,120?
A,?
60，α
;由“A，C,120?
”进行均值换元，则设，再代入可求,,B,?
60C,?
60α,,
AC,cosα即cos。
2
AC，,120?
【解】由?
ABC中已知A，C,2B，可得,,B,?
60,
A,?
60，α
由A，C,120?
，设，代入已知等式得:
C,?
60α,
11111，,，,，,,cosAcosCcos（）60:
，cos（）60:
13,,,cossin22
1cos,cos,2,,,,2,13313222,,coscossin,,,,,，cossin44422
22AC,解得:
cosα,，即:
cos,。
222
211【另解】由A，C,2B，得A，C,120?
，B,60?
。
所以，,,cosBcosAcosC
11222,,2，设,,，m，,,,m，cosAcosC
11所以cosA,，cosC,，两式分别相加、相减得:
，2m,,2m
9
10
22AC，AC,AC,cosA，cosC,2coscos,cos,，2222m,2
AC，AC,AC,2mcosA,cosC,,2sinsin,,sin,，32222m,2
22AC,AC,AC,2m22即:
sin,,，,,，代入sin，cos,1整理22222m,232（）m,
222AC,42得:
3m,16m,12,0,解出m,6，代入cos,,。
222m,2
11【注】本题两种解法由“A，C,120?
”、“，,,2”分别进行均值2cosAcosC
换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对
三角公式的运用相当熟练。
假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出:
由A，C,
2112B，得A，C,120?
，B,60?
。
所以，,,,,2，即cosA，cosC2cosBcosAcosC
,22cosAcosC，和积互化得:
2AC，AC,AC,2coscos,,2[cos（A+C），cos（A-C），即cos,,2cos（A-C）22222AC,AC,AC,22222,,（2cos,1），整理得:
4cos，2cos,3,0,2222
2AC,解得:
cos,22
2例3.设a>0，求f（x）,2a（sinx，cosx）,sinx?
cosx,2a的最大值和最小值。
222【解】设sinx，cosx,t，则t?
[-,]，由（sinx，cosx）y2t,1,,,1，2sinx?
cosx得:
sinx?
cosx,2x,2211222?
f（x）,g（t）,,（t,2a），（a>0），t?
[-,]22
1222t,-时，取最小值:
2a,2a,2
12222当2a?
时，t,，取最大值:
2a，2a,;2
12当0<2a?
时，t,2a，取最大值:
。
2
12（）,,a0,1,2222?
f（x）的最小值为,2a,2a,，最大值为。
212,2,，,,aaa（）222,22,
10
11
【注】此题属于局部换元法，设sinx，cosx,t后，抓住sinx，cosx与sinx?
cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。
换元过程中一定要注意新的参数的范围（t?
[-,]）与sinx，cosx对应，否则将会出22
错。
本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f（sinx?
cosx，sinxcsox），经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
2（）a，12a41（）a，2例4.设对所于有实数x，不等式xlog，2xlog，log>0恒2222a，1a4a成立，求a的取值范围。
（87年全国理）
22a（）a，141（）a，【分析】不等式中log、log、log三项有何联系,进行对数2222a，14aa
式的有关变形后不难发现，再实施换元法。
2a81（）a，a，141（）a，【解】设log,t，则log,log,3，log,3,2222a，12a2aa
2（）a，12aa，1log,3,t，log,2log,,2t，2222a，12a4a2代入后原不等式简化为（
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