中考复习讲义 全等中的一线三等直角与手拉手模型部分无答案.docx
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中考复习讲义全等中的一线三等直角与手拉手模型部分无答案
全等中的“一线三等(直)角”与“手拉手”模型
一、何为一线三等(直)角模型
我们先来研究最特殊的一线三直角.
如图,当∠CAB=∠CBE=∠BDE=90°,CB=BE时,△CAB≌△BDE.证明略.
一般的,当∠CAB=∠CBE=∠BDE,(钝角或锐角),CB=BE时,同样有△CAB≌△BDE.
可能有些同学对证明过程有疑虑,
其实不难,利用外角.
∠C+∠CAB=∠CBD=∠CBE+∠EBD
∵∠CAB=∠CBE,∴∠C=∠EBD,下略.
当然,这里还有引申结论,如CA+DE=AD等.
即便CB与BE不等,这两个三角形也是初三学习相似时的重要模型.
本讲,我们主要研究最特殊的一线三直角.
二、一线三直角典型例题
例1:
分析:
这里的背景是正方形,则其邻边相等,加上∠COA=90°,则可以构造一线三直角模型.
解答:
变式:
已知点P的坐标为(3,4),O为原点,连结OP,将线段OP绕点P按顺时针方向旋转90°得线段PQ,则点Q的坐标为________
分析:
本题无图,需自己画图,结合题目来看,旋转90°,与例1类似,构造一线三直角.
解答:
如图,
过点P作PA∥y轴,交x轴于点A,
过点Q作QB⊥y轴,交AP延长线于点B.
易证△OPA≌△PQB,
PB=OA=3,
QB=AP=4
P(3,4)向上3个单位,
再向左4个单位到点Q,
Q(-1,7).
例2:
解析:
变式:
分析:
易知A(3,0),B(0,2).显然,这里有2种情况,分别是以点B为直角顶点,或以点A为直角顶点.
若以点A为直角顶点,则过点C作x轴垂线;若以点B为直角顶点,则过点C作y轴垂线.
解答:
思考:
将此题再变,若BA为底边,C为直角顶点,求过B、C两点直线的解析式.
三、手拉手模型例题
例3:
如图,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一条直线上,连接BE,则∠AEB的度数是_________
分析:
不难得出∠ACD=∠BCE,则有手拉手旋转型全等,△ACD≌△BCE,或用八字形直接得∠AEB度数,或得到∠ADC=∠BEC,再用∠BEC-∠AEC的度数.
解答:
易证△ACD≌△BCE(SAS),
∴∠CAD=∠CBE
∴∠AEB=∠ACB
或
∴∠ADC=∠BEC,
∵∠ADC+∠CDE=180°,
∠CDE=60°,
∴∠ADC=120°,
∴∠BEC=120°,
∴∠AEB=∠BEC-∠CED
=120°-60°=60°.
变式:
AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=90°,且∠EBD=42°,则∠AEB=________.
解析:
本题属于如下模型.
易证△BDC≌△AEC(SAS),
∴∠DBC=∠EAC,
∴∠EAC+∠EBC=42°,
∴∠AEB=∠BCA+∠EAC+∠EBC=132°.
(规形图结论)
例4:
如图,点E是正方形ABCD内的一点,连接AE、BE、CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE'的位置,若AE=1,BE=2,CE=3,则∠AEB=_______度.
分析:
要求∠AEB的度数,即求∠CE’B的度数,由于旋转,可得BE=BE’,不妨连接EE’.
解答:
变式:
如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,若四边形ABCD的面积是18,则AC长是_______.
分析:
这题有等线段AB,AD,共顶点A,想到构造旋转的手拉手.可由AD旋转到AB,想到将AC顺时针旋转.也可由AB旋转到AD,想到将AC逆时针旋转.但有一点还是要注意,虽然用旋转省去证明全等的过程,但需证明三点共线.
解答:
小结:
应该说,目前的一线三直角和手拉手模型还算比较简单,但在今后的学习中,由一线三直角转化到一线三等角,手拉手旋转全等转化为旋转相似,证明题,最值题,各种类型的难题还有很多,我们需要慢慢消化.
四、练习反馈: