课时作业十 函数的最大小值经典例题及答案详解.docx

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课时作业十函数的最大小值经典例题及答案详解

课时作业（十）　函数的最大（小）值

一、选择题

1．函数f（x）在[－2，＋∞）上的图象如图132所示，则此函数的最大、最小值分别为（　　）

图132

A．3，0

B．3，1

C．3，无最小值

D．3，－2

【解析】　观察图象可以知道，图象的最高点坐标是（0，3），从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.

【答案】　C

2．已知函数f（x）＝

（x∈[2，6]），则函数的最大值为（　　）

A．0.4　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．2.5

【解析】　∵函数f（x）＝

在[2，6]上是单调递减函数，∴f（x）max＝f

（2）＝

＝2.

【答案】　C

3．函数f（x）＝

则f（x）的最大值、最小值分别为（　　）

A．10，6B．10，8

C．8，6D．以上都不对

【解析】　当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，

当－1≤x<1时，6≤x＋7<8.

∴f（x）min＝f（－1）＝6，f（x）max＝f

（2）＝10.故选A.

【答案】　A

4．函数y＝x＋

的最值的情况为（　　）

A．最小值为

，无最大值

B．最大值为

，无最小值

C．最小值为

，最大值为2

D．无最大值，也无最小值

【解析】　∵y＝x＋

在定义域

上是增函数，∴函数最小值为

，无最大值，故选A.

【答案】　A

二、填空题

5．已知函数y＝x2－4x＋6，当x∈[1，4]时，则函数的值域为________．

【解析】　∵y＝x2－4x＋6＝（x－2）2＋2，

∴当x＝2时，y取得最小值2.

∵函数y＝x2－4x＋6在[1，2]上递减，在[2，4]上递增．

又当x＝1时，y＝3，当x＝4时，y＝6，

∴函数的最大值为6.

∴函数的值域为[2，6]．

【答案】　[2，6]

6．（2014·济宁高一检测）函数f（x）＝

在[1，b]（b＞1）上的最小值是

，则b＝________．

【解析】　因为f（x）＝

在[1，b]上是减函数，所以f（x）在[1，b]上的最小值为f（b）＝

＝

，所以b＝4.

【答案】　4

图133

7．（2013·陕西高考）在如图133所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x为________（m）．

【解析】　设矩形花园的宽为ym，则

＝

，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x（40－x）＝－x2＋40x＝－（x－20）2＋400，当x＝20m时，面积最大．

【答案】　20

三、解答题

8．（2014·新田高一检测）已知函数f（x）＝

（1）求f

，f

，f

的值；

（2）作出函数的简图；

（3）求函数的最大值和最小值．

【解】　

（1）当－1≤x≤0时，f（x）＝－x，

所以f

＝－

＝

，

当0＜x≤1时，f（x）＝x2，

所以f

＝

＝

，

当1＜x≤2时，f（x）＝x，

所以f

＝

.

（2）如图：

（3）由图象可知：

f（x）max＝f

（2）＝2；

f（x）min＝f（0）＝0.

9．（2014·宁波高一检测）已知f（x）＝3x2－12x＋5，当f（x）的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值．

（1）[0，3]；

（2）[－1，1]；（3）[3，＋∞）．

【解】　作出f（x）＝3x2－12x＋5的图象如图所示，

（1）由图可知，函数f（x）在[0，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增．

且f（0）＝5，f

（2）＝－7，f（3）＝－4.

故在区间[0，3]上，当x＝2时，f（x）min＝－7；

当x＝0时，f（x）max＝5.

（2）由图可知，f（x）在[－1，1]上单调递减，

∴f（x）min＝f

（1）＝－4，f（x）max＝f（－1）＝20.

（3）由图可知，f（x）在[3，＋∞]上单调递增，

∴f（x）min＝f（3）＝－4，无最大值．

1．已知函数f（x）＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f（x）有最小值－2，则f（x）的最大值为（　　）

A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．2

【解析】　f（x）＝－（x2－4x＋4）＋a＋4＝－（x－2）2＋4＋a，∴函数f（x）图象的对称轴为直线x＝2，

∴f（x）在[0，1]上单调递增．

又∵f（x）min＝f（0）＝a＝－2，

∴f（x）max＝f

（1）＝－1＋4－2＝1.

【答案】　C

2．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B．[0，2]

C．（－∞，－2]D．[1，2]

【解析】　f（x）＝（x－1）2＋2，∵f（x）min＝2，f（x）max＝3，且f

（1）＝2，f（0）＝f

（2）＝3，

∴1≤m≤2，故选D.

【答案】　D

3．已知f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在区间[1，5]上的最小值为f（5），则a的取值范围是________．

【解析】　对称轴方程为x＝1－a，因为f（x）在区间[1，5]上的最小值为f（5），所以1－a≥5，得a≤－4.

【答案】　a≤－4

4．为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少燃气或燃煤），采用分段计费的方法计算．电费每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分每度按0.5元计算．

（1）设月用电x度时，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；

（2）小明家第一季度缴纳电费情况如下：

月份

一月

二月

三月

合计

交费金额

76元

63元

45.6元

184.6元

问小明家第一季度共用电多少度？

【解】　

（1）由题可得

y＝

（2）一月用电

x＋7＝76，即x＝138；

二月用电

x＋7＝63，即x＝112；

三月用电0.57x＝45.6，即x＝80；

∴138＋112＋80＝330（度）

∴第一季度共用电330度．