浙江省中考数学真题汇编专题2方程解析卷.docx

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浙江省中考数学真题汇编专题2方程解析卷

浙江省2017-2019年中考数学真题汇编专题2：

方程（解析卷）

姓名：

__________班级：

__________考号：

__________

一、、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

（2019年浙江省杭州市卷）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（　　）

A．2x+3（72﹣x）＝30B．3x+2（72﹣x）＝30

C．2x+3（30﹣x）＝72D．3x+2（30﹣x）＝72

【考点】由实际问题抽象出一元一次方程

【分析】直接根据题意表示出女生人数，进而利用30位学生种树72棵，得出等式求出答案．

解：

设男生有x人，则女生（30﹣x）人，根据题意可得：

3x+2（30﹣x）＝72．

故选：

D．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出男女生的植树棵树是解题关键．

（2019年浙江省台州市卷）一道来自课本的习题：

从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少？

小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程+＝，则另一个方程正确的是（　　）

A．+＝B．+＝C．+＝D．+＝

【考点】二元一次方程组的应用

【分析】直接利用已知方程得出上坡的路程为x，平路为y，进而得出等式求出答案．

解：

设未知数x，y，已经列出一个方程+＝，则另一个方程正确的是：

+＝．

故选：

B．

【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意得出等式是解题关键．

（2019年浙江省嘉兴市卷）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：

“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位），马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？

”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（　　）

A．B．

C．D．

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组

【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位），马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．

解：

设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：

．

故选：

D．

【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．

（2018年浙江省杭州市卷）某次知识竞赛共有20道题，规定：

每答对一道题得+5分，每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则（　　）

A．x﹣y=20B．x+y=20C．5x﹣2y=60D．5x+2y=60

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程

【分析】设圆圆答对了x道题，答错了y道题，根据“每答对一道题得+5分，每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分”列出方程．

解：

设圆圆答对了x道题，答错了y道题，

依题意得：

5x﹣2y+（20﹣x﹣y）×0=60．

故选：

C．

【点评】考查了由实际问题抽象出二元一次方程．关键是读懂题意，根据题目中的数量关系，列出方程，注意：

本题中的等量关系之一为：

答对的题目数量+答错的题目数量+不答的题目数量=20，避免误选B．

（2019年浙江省金华市、丽水市卷）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（　　）

A．（x﹣3）2＝17B．（x﹣3）2＝14C．（x﹣6）2＝44D．（x﹣3）2＝1

【考点】解一元二次方程﹣配方法．

【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．

解：

用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，

故选：

A．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

（2018年浙江省嘉兴市、舟山市卷）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：

画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（　　）

A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长

【考点】解一元二次方程﹣配方法；勾股定理

【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．

解：

欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：

画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，

设AD=x，根据勾股定理得：

（x+）2=b2+（）2，

整理得：

x2+ax=b2，

则该方程的一个正根是AD的长，

故选：

B．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

（2019年浙江省宁波市卷）能说明命题“关于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例为（　　）

A．m＝﹣1B．m＝0C．m＝4D．m＝5

【考点】命题与定理，根的判别式

【分析】利用m＝5使方程x2﹣4x+m＝0没有实数解，从而可把m＝5作为说明命题“关于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例．

解：

当m＝5时，方程变形为x2﹣4x+m＝5＝0，

因为△＝（﹣4）2﹣4×5＜0，

所以方程没有实数解，

所以m＝5可作为说明命题“关于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例．

故选：

D．

【点评】本题考查了命题与定理：

命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

（2018年浙江省台州市卷）甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后100s内，两人相遇的次数为（　　）

A．5B．4C．3D．2

【考点】一元一次方程的应用

【分析】可设两人相遇的次数为x，根据每次相遇的时间，总共时间为100s，列出方程求解即可．

解：

设两人相遇的次数为x，依题意有

x=100，

解得x=4.5，

∵x为整数，

∴x取4．

故选：

B．

【点评】考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：

首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．

（2019年浙江省宁波市卷）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元，若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（　　）

A．31元B．30元C．25元D．19元

【考点】二元一次方程的应用

【分析】设每支玫瑰x元，每支百合y元，根据总价＝单价×数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于x，y的二元一次方程，整理后可得出y＝x+7，再将其代入5x+3y+10﹣8x中即可求出结论．

解：

设每支玫瑰x元，每支百合y元，

依题意，得：

5x+3y+10＝3x+5y﹣4，

∴y＝x+7，

∴5x+3y+10﹣8x＝5x+3（x+7）+10﹣8x＝31．

故选：

A．

【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．

（2018年浙江省温州市卷）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（　　）

A．20B．24C．D．

【考点】数学常识；勾股定理的证明，一元二次方程的运用

【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程求出x的值，进而可求出该矩形的面积．

解：

设小正方形的边长为x，

∵a=3，b=4，

∴AB=3+4=7，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，

即（3+x）2+（x+4）2=72，

整理得，x2+7x﹣12=0，

解得x=或x=（舍去），

∴该矩形的面积=（+3）（+4）=24，

故选：

B．

【点评】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键．

二、、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

（2018年浙江省宁波市卷）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为　　．

【考点】二元一次方程组的解

【分析】根据平方差公式即可求出答案．

解：

原式=（x+2y）（x﹣2y）

=﹣3×5

=﹣15

故答案为：

﹣15

【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．

（2018年浙江省绍兴市卷）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：

一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果1托为5尺，那么索长为　　尺，竿子长为　　尺．

【考点】二元一次方程组的应用

【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

解：

设索长为x尺，竿子长为y尺，

根据题意得：

，

解得：

．

答：

索长为20尺，竿子长为15尺．

故答案为：

20；15．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

（2018年浙江省嘉兴市、舟山市卷）甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%，若设甲每小时检测x个，则根据题意，可列出方程：

　　．

【考点】由实际问题抽象出分式方程

【分析】根据“甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%”建立方程，即可得出结论．

解：

设设甲每小时检测x个，则乙每小时检测（x﹣20）个，

根据题意得，=（1﹣10%），

故答案为=×（1﹣10%）．

【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确找出等量关系是解题关键．

（2019年浙江省嘉兴市卷）在x2+　　+4＝0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根．

【考点】根的判别式

【分析】要使方程有两个相等的实数根，即△＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数即可．

解：

要使方程有两个相等的实数根，则△＝b2﹣4ac＝b2﹣16＝0

得b＝±4

故一次项为±4x

故答案为±4x

【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：

一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：

①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当△＝0时，方程有两个相等的实数根，③当△＜0时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．

（2018年浙江省杭州市卷）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：

①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=　　．

【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题），一元二次方程的应用

【分析】设AD=x，则AB=x+2，利用折叠的性质得DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，则可判断四边形AEFD为正方形，所以AE=AD=x，再根据折叠的性质得DH=DC=x+2，则AH=AE﹣HE=x﹣1，然后根据勾股定理得到x2+（x﹣1）2=（x+2）2，再解方程求出x即可．

解：

设AD=x，则AB=x+2，

∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，

∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，

∴四边形AEFD为正方形，

∴AE=AD=x，

∵把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，

∴DH=DC=x+2，

∵HE=1，

∴AH=AE﹣HE=x﹣1，

在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2，

∴x2+（x﹣1）2=（x+2）2，

整理得x2﹣6x﹣3=0，解得x1=3+2，x2=3﹣2（舍去），

即AD的长为3+2．

故答案为3+2．

【点评】本题考查了折叠的性质：

折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．

（2018年浙江省杭州市临安市卷）已知：

2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…，若10+=102×符合前面式子的规律，则a+b=　　．

【考点】二元一次方程组的应用

【分析】要求a+b的值，首先应该认真仔细地观察题目给出的4个等式，找到它们的规律，即中，b=n+1，a=（n+1）2﹣1．

解：

根据题中材料可知=，

∵10+=102×，

∴b=10，a=99，

a+b=109．

【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出式子的规律．

三、、解答题（本大题共8小题，共66分）

（2019年浙江省金华市、丽水市卷）解方程组

【考点】解二元一次方程组．

【分析】根据二元一次方程组的解法，先将式子①化简，再用加减消元法（或代入消元法）求解；

解：

，

将①化简得：

﹣x+8y＝5③，

②+③，得y＝1，

将y＝1代入②，得x＝3，

∴；

【点评】本题考查二元一次方程组的解法；熟练掌握加减消元法或代入消元法解方程组是解题的关键．

（2018年浙江省嘉兴市、舟山市卷）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：

解法一：

由①﹣②，得3x=3．

解法二：

由②，得3x+（x﹣3y）=2，③

把①代入③，得3x+5=2．

（1）反思：

上述两个解题过程中有无计算错误？

若有误，请在错误处打“ד．

（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．

【考点】解二元一次方程组

【分析】

（1）观察两个解题过程即可求解；

（2）根据加减消元法解方程即可求解．

解：

（1）解法一中的解题过程有错误，

由①﹣②，得3x=3“×”，

应为由①﹣②，得﹣3x=3；

（2）由①﹣②，得﹣3x=3，解得x=﹣1，

把x=﹣1代入①，得﹣1﹣3y=5，解得y=﹣2．

故原方程组的解是．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：

代入消元法与加减消元法．

（2017年浙江省金华市）解分式方程：

=．

【考点】解分式方程．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解：

去分母得：

2（x﹣1）=x+1，

解得：

x=3，

经检验x=3是分式方程的解．

【点评】本题考查了解分式方程,能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键,注意:

解分式方程一定要进行检验。

（2017年浙江省丽水市）解方程：

（x﹣3）（x﹣1）=3．

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．

解：

方程化为x2﹣4x=0，

x（x﹣4）=0，

所以x1=0，x2=4．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

（2018年浙江省杭州市临安市卷）

（1）化简÷（x﹣）．

（2）解方程：

+=3．

【考点】分式的混合运算；解分式方程

【分析】

（1）先计算括号内分式的减法，再计算除法即可得；

（2）先去分母化分式方程为整式方程，解整式方程求解的x值，检验即可得．

解：

（1）原式=÷（﹣）

=÷

=•

=；

（2）两边都乘以2x﹣1，得：

2x﹣5=3（2x﹣1），

解得：

x=﹣，

检验：

当x=﹣时，2x﹣1=﹣2≠0，

所以分式方程的解为x=﹣．

【点评】本题主要考查分式的混合运算与解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程和分式混合运算的步骤．

（2018年浙江省宁波市卷）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．

（1）求甲、乙两种商品的每件进价；

（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：

甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？

【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用

【分析】

（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；

（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．

解：

（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．

根据题意，得，=，

解得x=40．

经检验，x=40是原方程的解．

答：

甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；

（2）甲乙两种商品的销售量为=50．

设甲种商品按原销售单价销售a件，则

（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，

解得a≥20．

答：

甲种商品按原销售单价至少销售20件．

【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：

利润=售价﹣进价．

（2017年浙江省衢州市）根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业，第二产业，第三产业所占比例如图2所示．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求2016年第一产业生产总值（精确到1亿元）

（2）2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几？

（精确到1%）

（3）若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率（精确到1%）

【考点】一元二次方程的应用；扇形统计图；条形统计图．

【分析】

（1）2016年第一产业生产总值=2016年国民生产总值×2016年第一产业国民生产总值所占百分率列式计算即可求解；

（2）先求出2016年比2015年的国民生产总值增加了多少，再除以2015年的国民生产总值即可求解；

（3）设2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率为x，那么2017年我市国民生产总值为1300（1+x）亿元，2018年我市国民生产总值为1300（1+x）（1+x）亿元，然后根据2018年的国民生产总值要达到1573亿元即可列出方程，解方程就可以求出年平均增长率．

解：

（1）1300×7.1%≈92（亿元）．

答：

2016年第一产业生产总值大约是92亿元；

（2）（1300﹣1204）÷1204×100%

=96÷1204×100%

≈8%．

答：

2016年比2015年的国民生产总值大约增加了8%；

（3）设2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率为x，

依题意得1300（1+x）2=1573，

∴1+x=±1.1，

∴x=10%或x=﹣2.1（不符合题意，故舍去）．

答：

2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率约为10%．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用中增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2=后来的量，其中增长用+，减少用-．　

（2018年浙江省杭州市卷）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．

（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数．

（2）设BC=a，AC=b．

①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根吗？

说明理由．

②若AD=EC，求的值．

【考点】一元二次方程的解；直角三角形的性质；勾股定理

【分析】

（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD，计算即可；

（2）①根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可；

②根据勾股定理列出算式，计算即可．

解：

（1）∵∠ACB=90°，∠A=28°，

∴∠B=62°，

∵BD=BC，

∴∠BCD=∠BDC=59°，

∴∠ACD=90°﹣∠BCD=31°；

（2）①由勾股定理得，AB==，

∴AD=﹣a，

解方程x2+2ax﹣b2=0得，x==﹣a，

∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根；

②∵AD=AE，

∴AE=EC=，

由勾股定理得，a2+b2=（b+a）2，

整理得，=．

【点评】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．