浙江省中考数学复习练习三角形中的证明与计算解答题巩固集训.docx

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浙江省中考数学复习练习三角形中的证明与计算解答题巩固集训

第四单元　三角形

三角形中的证明与计算解答题巩固集训

（建议答题时间：

50分钟）

1.（2017大连）如图，在▱ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上．求证：

AE＝CF.

第1题图

2.在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，点P，D分别在边BC、AC上，AP2＝AD·AB.

（1）求证：

△APD∽△ACP；

（2）求∠APD的正弦值．

第2题图

3.（2017北京）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B，C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.

（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）；

（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．

第3题图

4.（2017株洲）如图，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC交于点G，连接CF.

（1）求证：

△DAE≌△DCF；

（2）求证：

△ABG∽△CFG.

第4题图

5.（2017重庆）在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M.点C是BM延长线上一点，连接AC.

（1）如图①，若AB＝3，BC＝5，求AC的长；

（2）如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点．求证：

∠BDF＝∠CEF.

第5题图

6.（2017天水）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：

△BPE≌△CQE；

（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：

△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长．

第6题图

7.（2017宿州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF＝∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．

（1）求证：

△BDE∽△CEF；

（2）当点E移动到BC的中点时，求证：

FE平分∠DFC.

第7题图

8.（2017东营）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝30°.

（1）求证：

△ABD∽△DCE；

（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；

（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

答案

1．证明：

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠BAC＝∠DCA，

∴∠BAE＝∠DCF，

又∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴∠E＝∠F＝90°，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（AAS），

∴AE＝CF.

2．

（1）证明：

∵AP2＝AD·AB，AB＝AC，

∴AP2＝AD·AC，

即＝，

又∵∠DAP＝∠PAC，

∴△APD∽△ACP；

（2）解：

如解图，过A作AH⊥BC于H，

∵AB＝AC，

∴CH＝BC＝×24＝12，

由

（1）知△APD∽△ACP，

∴∠APD＝∠ACP，

在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，

AH＝＝＝5

∴sin∠APD＝sin∠ACP＝＝.

第2题解图

3．解：

（1）∵∠ACP＝90°，

∴在Rt△ACP中，∠CAP＋∠APC＝90°，

∵HQ⊥AP，

∴在Rt△HPQ中，∠Q＋∠HPQ＝90°，

又∵∠APC＝∠HPQ，∠CAP＝α，

∴∠Q＝α，

又∵在等腰Rt△ABC中，

∠B＝∠BAC＝45°，

∴∠AMQ＝∠B＋∠Q＝45°＋α；

【一题多解】在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝∠B＝45°，

又∵∠CAP＝α，

∴∠HAM＝∠BAC－∠CAP＝45°－α，

又∵HQ⊥AP，

∴∠AMQ＝90°－∠HAM＝45°＋α.

（2）PQ＝BM.

证明：

如解图，连接AQ，过点M作MN⊥BQ于点N.

第3题解图

∵∠ACP＝90°，CQ＝CP，∠CAP＝α，

∴∠CAQ＝∠CAP＝α，AP＝AQ，PQ＝2CP，

又∵∠BAC＝45°，

∴∠MAQ＝∠BAC＋∠CAQ＝45°＋α，

∴∠MAQ＝∠AMQ，

∴AQ＝MQ，

∴AP＝MQ，

又∵MN⊥BQ，

∴∠ACP＝∠QNM＝90°，

在Rt△APC和Rt△QMN中，

，

∴Rt△APC≌Rt△QMN（AAS），

∴CP＝NM，

∴PQ＝2MN，

又∵在Rt△BMN中，∠B＝45°，

∴BM＝MN，

∴PQ＝BM.

4．证明：

（1）∵∠EDF＝∠ADC＝90°，

即∠EDF－∠ADF＝∠ADC－∠ADF，

∴∠EDA＝∠FDC，

∵△DEF为等腰直角三角形，

∴ED＝FD，

在△DAE和△DCF中，

∴△DAE≌△DCF（SAS）；

（2）∵△DAE≌△DCF，

∴∠DEA＝∠DFC，

∵∠DEF＋∠DFE＝90°，

∴∠DFC＋∠DFG＝90°，

∴∠CFG＝∠ABG＝90°，

∵∠AGB＝∠CGF，

∴△ABG∽△CFG.

5．解：

（1）∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，

∴AM＝BM＝AB·cos45°＝3×＝3，

则CM＝BC－BM＝5－3＝2，

∴AC＝＝＝；

（2）如解图，延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG.

由DM＝MC，∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，

∴△BMD≌△AMC（SAS），

∴AC＝BD，

又∵CE＝AC，

∴BD＝CE，

∵BF＝FC，∠BFG＝∠EFC，FG＝FE，

∴△BFG≌△CFE（SAS），

故BG＝CE，∠G＝∠E，

∴BD＝CE＝BG，

∴∠BDG＝∠G＝∠E，

即∠BDF＝∠CEF.

第5题解图

6．

（1）证明：

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，

又∵AP＝AQ，

∴BP＝CQ，

∵E是BC的中点，

∴BE＝EC，

∴在△BPE与△CQE中，

∴△BPE≌△CQE（SAS）；

（2）解：

∵∠BEF＝∠C＋∠CQE（外角定理），∠BEF＝∠BEP＋∠DEF，且∠C＝∠DEF＝45°，

∴∠CQE＝∠BEP，

在△BPE与△CEQ中，

∴△BPE∽△CEQ，

∴＝，

∴BE·CE＝BP·CQ，

又∵BE＝CE，

∴BE2＝BP·CQ，

当BP＝2，CQ＝9时，BE2＝2×9＝18，

∴BE＝3，

∴BC＝2BE＝6.

7．证明：

（1）∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵∠EBD＋∠BED＋∠EDB＝180°，

∠BED＋∠DEF＋∠FEC＝180°，

∵∠DEF＝∠B，

∴∠EDB＝∠FEC，

又∵∠B＝∠C，

∴△BDE∽△CEF；

（2）由

（1）知△BDE∽△CEF，

∴＝，∠B＝∠C＝∠DEF，

∵BE＝CE，∴＝，即＝，

∴△EDF∽△CEF，

∴∠DFE＝∠EFC，

∴FE平分∠DFC.

8．

（1）证明：

∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°，

∴∠ADE＝∠C＝∠B，

∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠EDC，

∴∠BAD＝∠CDE，

∵∠B＝∠C，

∴△ABD∽△DCE；

（2）如解图①，过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△ABF中，∠B＝30°，AB＝2，

第8题解图①

∴AF＝1，BF＝，

∵AB＝AC，

∴BF＝CF＝.

∵△ABD∽△DCE，

∴＝，即＝，

整理得y＝x2－x＋2，

其中x满足0

（3）要使△ADE是等腰三角形，则分以下几种情况讨论，

①AD＝AE，此时∠ADE＝∠AED＝30°，

∴∠DAE＝120°，

即点D与点B重合，点E与点C重合，由题意知此情况不成立；

②AE＝DE，如解图②，此时∠EAD＝∠EDA＝30°，

第8题解图②

∴∠AED＝120°，

∴∠CED＝60°，

∵∠C＝30°，

∴∠EDC＝90°，

∴CE＝2DE＝2AE，

∴AE＝AC＝；

③AD＝DE，

∴∠DAE＝∠DEA，

∵∠ADE＝∠C，

∴△DAE∽△CAD，

∴△CAD是等腰三角形，

∴DC＝AC＝2.

∵∠ADE＝30°，

∴∠DEA＝（180°－∠ADE）＝75°，

∴∠DEC＝105°，

如解图③，过点E作EF⊥BC于点F，则∠CEF＝60°，∠DEF＝45°，

第8题解图③

∴DF＝EF，CF＝EF，

∴DF＋CF＝CD＝AD＝EF＋EF＝2，

解得EF＝－1，

∴EC＝2EF＝2－2，

∴AE＝AC－CE＝2－（2－2）＝4－2.

综上所述，AE＝或AE＝4－2.