知识讲解空间向量及其线性运算.docx
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知识讲解空间向量及其线性运算
空间向量及其线性运算
【学习目标】
1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法与字母表示方法；2．掌握空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）及其运算律；3．掌握数量积的概念及其几何意义，掌握数量积的运算律；4．掌握空间向量的共线定理和共面定理，并能用它们分析解决有关问题．
【要点梳理】
要点一：
空间向量的相关概念
1．空间向量的定义：
空间向量：
空间中，既有大小又有方向的量；空间向量的表示：
一种是用有向线段AB表示，A叫作起点，B叫作终点；一种是用小写字母a（印刷体）表示，也可以用a（而手写体）表示．
向量的长度（模）：
表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作|AB|或|a|.
向量的夹角：
过空间任意一点O作向量a，b的相等向量OA和OB，则AOB叫作向量a，b的夹角，记作a，b，规定0a，b．如图：
要点诠释：
（1）空间中点的一个平移就是一个向量；
（2）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关.只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；
（3）要确定向量a，b的夹角必须将它们平移到同一起点；
（4）当a，b=0或时，向量a，b平行，记作ab；当a，b=时，向量a，b垂直，记作
2
ab.
2．空间向量的有关概念：
零向量：
长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：
0与任意向量平行．
单位向量：
长度为1的空间向量，即|a|1．
相等向量：
方向相同且模相等的向量．
相反向量：
方向相反但模相等的向量．
共线向量：
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平
行向量．a平行于b记作a//b，此时．a，b=0或a，b=．
共面向量：
平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
要点诠释：
（1）当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
（2）向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间
任意两个向量是共面的．
（3）对于任意一个非零向量a，我们把a叫作向量a的单位向量，记作a0.a0与a同向.a00
要点二：
空间向量的加减法
1．向量加法与减法的定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）
2．向量加减法的运算律
交换律：
abba；
结合律：
（ab）ca（bc）.
要点诠释：
（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．
（3）空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：
A1A2A2A3A3A4An1AnA1An
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：
要点三：
空间向量的数乘运算
1．向量数乘的定义：
空间向量a与实数的乘积a仍是一个向量，称为向量的数乘运算．满足：
（1）|a|=|||a|．当>0时，a与a方向相同；
（2）当>0时，a与a方向相同；当<0时，向相反；当=0时，a=0．
如右图所示．
2．向量数乘的运算律
分配律：
（a+b）=a+b，（+）a=a+a（，R）；
结合律：
（μa）=（μ）a（，R）．
要点诠释：
（1）实数与空间向量a的乘积a（∈R）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向伸长或缩短或改为反方向的向量，当0<<1时，向量缩短；当>1时，向量伸长；当<
0时，改为反方向的向量．
（2）注意实数与向量的积的特殊情况，当=0时，a=0；当≠0时．若a≠0时，有a≠0．
（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：
+a，－a无意义．
要点四：
空间向量的数量积
1．数量积的定义
空间中两个向量a和b的数量积是一个数，等于|a||b|cos〈a，b〉，记作a·b，即a·b=|a||b|cos〈a，b〉．
要点诠释：
（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．
（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．
2.空间向量数量积的性质
设a,b是非零向量，e是单位向量，则
abab0；
3．空间向量的数量积满足如下运算律：
（1）交换律：
a·bb·a；
（2）分配律：
a·（bc）a·ba?
cb+a·c；
（3）（a）·b=a?
b．
要点诠释：
（1）对于三个不为0的实数a、b、c，若a?
ba?
c，则bc；对于三个不为0的向量，若abbc不能得出bc，即向量不能约分．
kk
（2）若a?
bk，不能得出ak（或bk），就是说，向量不能进行除法运算．
ba
（3）对于三个不为0的实数，a、b、c有abcabc，对于三个不为0的向量a、b、c，
有abcabc，向量的数量积不满足结合律．
要点五：
共线定理
1.共线定理
空间任意两个向量a与b（b≠0）共线的充要条件是存在实数，使ab．
要点诠释：
（1）此定理可分解为以下两个命题：
①a∥b（b≠0）存在唯一实数，使得a=b；
②存在唯一实数，使得a=b（b≠0），则a∥b．
（2）b≠0不可丢掉，否则实数就不唯一．
（3）当b=0时，对于任意一个向量a，a∥b恒成立.
2．共线定理的用途：
①判定两条直线平行（进而证线面平行）；
②证明三点共线．
注意：
证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法．证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．
要点六：
共面定理
1．共面向量的定义
通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
注意：
空间任两个向量是共面的，但空间任三个向量就不一定共面了．2．共面向量定理．
如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序
推论：
空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使
上式叫做平面MAB的向量表达式．3．共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②证明线面平行（进而证面面平行）【典型例题】类型一：
空间向量的线性运算
例1.已知平行六面体ABCDA'B'C'D'，M是AA
CG∶GA＇=2∶1，设CD=a，CB=bC，C'=c，试用a、b、c表示CA
思路点拨】要想用a、b、c表示所给出的向量，只需结合图形充分利用空间向量的线性运算律即
可．
解析】如图所示．
CACBBAab．
CA'CAAA'CACC'abc．
CMCAAMCBCD
11
CC'abc．
22
22CGCA'（abc）．
33
【总结升华】在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换．例如，在求CA'时，
利用了AA'CC'，把AA'转化为CC'．把一个向量用其他向量来表示，其实质就是把一个向量进行分
1的交点．若ABa，
解，这也是为学习向量共面定理和向量的空间坐标表示奠定基础．举一反三：
【变式1】如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与
ADb，AA1c，则下列向量中与BM相等的向量是（）
答案】
M为BC的中点，
试用向量a、b、c来表示向量CA、CA'.
答案】CA=ab；CA'abc
在平行六面体ABCDA'B'C'D'中，四边形ABCD是平行四边形，
CACBCDbaab.
又因为四边形ACC'A'为平行四边形，
∴CA'CACC'CBCDCC'abc.
A．①②B．②③
【思路点拨】在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后像平面向量求和那样，运用向量运算定律、平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求解．
【答案】A
【解析】
①（A1D1A1A）ABA1D1AA1BABD1；
②（BCBB1）D1C1BCBB1C1D1BC1C1D1BD1；
③（ADAB）DD1BDD1DBDDD1BDDD12DD1BD12DD1BD1；
【总结升华】化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时既可转化为加法，也可按减法法则进行运算，加、减之间可以相互转化．表达式中各向量系数相等时，根据数乘分配律，可以把相同的系数提到括号外面．
量：
0．
答案】向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则，封闭图形，首尾连接的向量的和为
1
（OAOBOC）.
3
思路点拨】先在ΔOBC中考虑中线OD，然后在ΔOAD中考虑G为AD的分点，分成的比是2：
1，
两次使用向量的运算性质，把相关向量用OA,OB,OC表示即可．【解析】如图所示，
∵G是ΔABC的重心，
∴AG2GD，D为BC的中点，
∴OGOAAG2ADOA2（ODOA）OA
33
21
[（OBOC）OA]OA
32
1
（OAOBOC）
3
【总结升华】
（1）灵活应用向量的运算法则是解此类题目的关键；
1
（2）此类例题常用到结论：
若OD是ΔOBC的中线，则有OD2（OBOC）
举一反三：
变式1】在如图所示的平行六面体中，求证：
ACAB'AD'2AC'．
答案】证明如下：
【答案】21，14，34
1）如图所示，
1
取AA'的中点为E，则1AA'EA'
2
取F为D'C'的一个三等分点，则D'F2AB
3
又BCA'D'，ABD'C'，
12
∴AA'BCABEA'A'D'D'FEF．（表示法不唯一）23
1
2）MNMBBN
11
12，14，
类型二：
空间向量的数量积
例5．已知向量ab，向量c与a,b的夹角都是60，且|a|1,|b|2,|c|3，试求：
1）（a2bc）2；
（2）（3a2b）（b3c）．
cos6032
思路点拨】和平面向量一样，空间向量数量积运算类似于多项式的乘法.解析】∵向量ab，向量c与a,b的夹角都是60，且|a|1,|b|2,|c|3，
∴a21,b4,c29,ab0,acac
1）（a2bc）2=a2（2b）2c22a2b2ac4bc
＝1+16+9+0-3-12=11；
2277
（2）（3a2b）（b3c）=3ab3a3c2b2b3c＝0--8+18=.
22
【总结升华】向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同.
举一反三：
【变式1】设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60°，且|a|=5，|b|=3，|c|=8，那么a3c3b-2a=；2ab-3c=.
【答案】-62；373
a3c3b2a
=3ab2a29cb6ac
2
3abcos902a9cbcos606accos60
62
2
.同理可得2ab3c=373
变式2】已知：
abc0，|a|3,|b|1,|c|4，试计算abbcca.
答案】
13
abc0，
可得
222
ab）c（ab）c0|a2||b2||2c2|a2bb2cc.0a
|a|3,|b|1,|c|4，
abbcca13.
E、F、
例6.如右图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，G分别是AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积．
1）ABAC；
（2）ADBD；（3）GFAC；
4）EFBC．
思路点拨】首先要在空间四边形中选一组恰当的基底解析】在空间四边形ABCD中，
∵|AB||AC|a，AB,AC60，
点
1）
12
∴ABACaacos60a2．
2
2）
∵|AD|a，|BD|a，AD,BD60，
∴ADBDa
12cos60a2．
2
3）
∵|GF|21a，
|AC|a，又GF//AC，∴GF,AC
1212
∴GFACa2cosa2．
2
12
1
4）∵|EF|2a，|BC|a，EF//BD，
∴EF,BCBD,BC60，∴EFBC
1a2cos601a2
24
总结升华】求空间向量数量积的运算同平面向量一样，
关键在于确定两个向量之间的夹角以及它
们的模，利用公式：
ababcosa，b即可顺利计算．
【高清课堂：
空间向量的数量积399424例题1】
举一反三：
变式】已知在长方体
ABCDA'B'C'D'?
中，ABAA'2，AD4，E为
侧面AA'B'B的中心，
F为A'D'的中点．求下列向量的数量积：
1）BCED'；
2）
EFFC'．
答案】
（1）BCED'BC（EA'A'D'）BCEA'BCA'D'04416
（2）EFFC'（EA'A'F）（FD'D'C'）EA'FD'EA'D'C'A'FFD'A'FD'C'
04400.
类型三：
共线向量定理的应用
例7．证明：
在四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分．
此点称为四面体的重心）
【思路点拨】如图．在四面体ABCD中，E、F、G、H、P、Q分别是所在棱的中点，要证明EF、GH、PQ相交于一点O，且O为它们的中点．
11
【解析】∵E、G分别为AB、AC的中点，∴EG//BC，同理HF//BC，
22
∴EG//HF．
从而四边形EGFH为平行四边形，故其对角线EF、GH相交于一点O，且O为它们的中点．连接OP、OQ．
只要能证明向量OPOQ，就可以说明P、O、Q三点共线，且O为PQ的中点．
事实上，OPOGGP，OQOHHQ，而O为GH的中点，∴OGOH0，
GP//1CD，
2
1QH//CD．
2
1
∴GPCD，QHCD．
22
1
2．
11
∴OPOQOGOHGPHQ0CDCD0．
22
∴OPOQ．
∴PQ经过O点，且O为PQ的中点．
即证得EF、GH、Q相交于点O，且O为它们的中点，故原命题得证．
【总结升华】利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形．直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．
举一反三：
【变式1】设e1、e2是平面上不共线的向量，已知AB2e1ke2，CBe13e2，CD2e1e2，
若A、B、D三点共线，求k的值．
答案】8由共线的向量定理列出关系式．
∵BDCDCB（2e1e2）（e13e2）e14e2，AB2e1ke2．
答案】用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行．
证明：
设AB
a，ADb，AA1c，则EGED1D1G1（ab），
ACab2EG，∴EG//AC，∴EG∥AC
又∵EFED1D1F1b1c1（bc），
222
∴B1CB1C1C1Cbc2EF，∴EF//B1C，EF∥B1C．
又∵EG与EF相交，AC与B1C相交，∴平面EFG∥平面AB1C．
类型四：
共面向量及应用
例8．已知ABCD，从平面AC外一点O引向量OEkOA,OFKOB,OGkOC,OHkOD，
1）求证：
四点E,F,G,H共面；
∴EF//AB,EG//AC
所以，平面AC//平面EG．【总结升华】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．
举一反三：
122
【变式】已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP1OA2OB2OC，试判断：
555
答案】由题意：
5O
点P与A,B,C是否一定共面？
OPOA2OB2OC，
∴（OPOA）2（OBOP）2（OCOP），
∴点P与A,B,C共面．
例9．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点．
求证：
B1C∥平面ODC．
【总结升华】
（1）利用共面向量定理证明线面平行时，只需考虑一个向量可以用平面内的两个不共线的向量表示即可．
（2）利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面．
举一反三：
高清课堂：
空间向量及其线性运算399109例题1】
变式1】已知斜三棱柱ABCA1B1C1，设ABa，ACb，
AA1c．在面对角线AC1和棱BC上分别取点M和N，AMkAC1，
BNkBC（0k1）．
求证：
MN与向量a，c共面．
答案】证明如下：
AMkAC1，∴MAkAC1k（bc）
MNMAABBNk（bc）ak（ba）（1k）akc
MN与向量a，c共面．
【变式2】如右图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点
11
M，N分别在对角线BD，AE上，且BMBD，ANAE．
33
求证：
MN∥平面CDE．
【答案】
1
证明：
如题图，因为M在BD上，且BMBD，
3
所以MB1BD1DA1AB．
333
同理AN1AD1DE．
33
所以MNMBBAAN1DA1ABBA1AD1DE
3333
2121
BADECDDE．
3333
又CD与DE不共线，
根据向量共面的充要条件可知
MN，CD
DE共面．
由于MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE．
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