学年度最新高考数学 母题题源系列 专题10 几何体的表面积与体积 理.docx

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学年度最新高考数学母题题源系列专题10几何体的表面积与体积理

——教学资料参考参考范本——

2019-2020学年度最新高考数学母题题源系列专题10几何体的表面积与体积理

______年______月______日

____________________部门

【母题原题1】【20xx江苏，理10】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲．

点睛：

解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．

【母题原题2】【2017江苏，理6】如图,在圆柱内有一个球,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱的体积为,球的体积为,则的值是▲.

【答案】

【考点】圆柱体积

【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

【母题原题3】【20xx江苏，理9】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为

【答案】

【解析】由体积相等得：

【考点定位】圆柱及圆锥体积

【命题意图】高考主要考查几何体的表面积和体积，考查基本求解能力.

【命题规律】1.高考对立体几何的计算，主要是能利用公式求常见几何体（柱体、锥体、台体和球）的表面积与体积．同时还能解决距离、翻折、存在性等比较综合性的问题．2.高考中常见的题型：

（1）常见几何体的表面积与体积的计算；

（2）利用等积变换求距离问题；（3）通过计算证明平行与垂直等问题．

【方法总结】

1.几何体的表面积的求法

（1）求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．

（2）求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．

2.有关几何体体积的类型及解题策略

常见类型

解题策略

球的体积问题

直结利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径

锥体、柱体的体积问题

根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直结套用公式求解

不规则几何体的体积问题

常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解

1．【江苏省××市20xx届高三最后一卷---备用题数学试题】已知边长为2的等边三角形中，、分别为、边上的点，且，将沿折成，使平面平面，则几何体的体积的最大值为__________．

【答案】.

点睛：

求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:

配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.

2．【江苏省××市20xx届高三最后一卷---备用题数学试题】如图，已知圆锥的高是底面半径的倍，侧面积为，若正方形内接于底面圆，则四棱锥侧面积为__________．

【答案】.

【解析】分析：

设圆锥底面半径为，则高为，母线长为，

由圆锥侧面积为，可得，结合，利用三角形面积公式可得结果.

详解：

设圆锥底面半径为，则高为，母线长为，

因为圆锥侧面积为，

，，

设正方形边长为，则，

正四棱锥的斜高为，

正四棱锥的侧面积为，

故答案为.

点睛：

本题主要考查圆锥的性质、正四棱锥的性质，以及圆锥的侧面积、正四棱锥的侧面积，属于中档题，解答本题的关键是求得正四棱锥底面棱长与圆锥底面半径之间的关系.

3．【江苏省××市20xx届高三调研测试（三）数学试题】现用一半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________.

【答案】

点睛：

涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．

4．【江苏省南京师大附中20xx届高三高考考前模拟考试数学试题】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是______．

【答案】

点睛：

本题考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键．

5．【江苏省海门中学20xx届高三5月考试（最后一卷）数学试题】如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥底ABCD,底面ABCD是矩形，AB=2，AD=3，点E为棱CD上一点，若三棱锥E-PAB的体积为4，则PA的长为______.

【答案】4.

【解析】分析：

由题意结合三棱锥的体积公式求解PA的长度即可.

详解：

由题意可知，

点E到平面的距离为，

由三棱锥的体积公式可得：

，即：

.

点睛：

本题主要考查三棱锥的体积公式及其应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

6．【江苏省扬州树人学校20xx届高三模拟考试（四）数学试题】记棱长为1的正三棱锥的体积为，棱长都为1的正三棱柱的体积为，则__________．

【答案】.

点睛：

求椎体、柱体的体积时要按照体积公式分别求出底面面积和高，解题时注意一些中间结论的运用，如等边三角形的边长为时，则它的高为，面积为等，以提高运算的速度．

7．【江苏省××市第五中学校20xx届高三上学期期初考试数学（文）试题】已知圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，则圆锥和圆柱的表面积之比是______．

【答案】

【解析】

【分析】

分别求出圆锥和圆柱的表面积.

【详解】

圆锥的母线长，

，，

.

故答案为：

.

【点睛】

本题考查了旋转体的表面积计算，属于基础题.

8．【江苏省苏锡常镇四市20xx-20xx学年度高三教学情况调研

（二）数学试题】在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为____．

【答案】.

点睛：

（1）解答本题的关键是体积转化.如果直接求三棱锥的体积，点D到底面的高不是很好计算，所以考虑利用体积变换求体积，由于变到点M时，点M到底面的高计算比较方便，所以转化成求三棱锥M-BDC的体积.

（2）求几何体的体积常用的方法有直接法和体积变换，要根据具体情况，灵活选择.

9．【江苏省20xx年高考冲刺预测卷一数学】已知在体积为的圆柱中，，分别是上、下底面直径，且，则三棱锥的体积为__________．

【答案】

【解析】设上，下底面圆的圆心分别为，，圆的半径为

由已知，，则

是中点

到平面的距离与到平面的距离相等

故，

设三棱锥的高为

则，

10．【江苏省××市20xx届高三第一学期期末检测数学试卷】直三棱柱中，已知，，，，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．

【答案】