高三一轮复习函数的性质含答案docx.docx
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函数的性质及其应用
教师用
函数的基本性与函数的合运用是高考函数内容考的重中之重，其中函数
性与奇偶性是高考命的必考内容之一，
有具体函数，会涉及抽象函数。
函数性是函
数在定域内某个区上的性，
函数奇偶性是函数在整个定域上的性。
研究基本性，
不可忽略定域函数性的影响。
函数定域体了函数像左右方向的延伸程度，
而
域又表了函数像在上下方向上的延伸程度。
函数性要深入复，
深刻理解性
定，熟运用性定明或判断一个函数的性，
掌握区的求法，
掌握
性与奇偶性之的系。
掌握性的重要运用，如求最、解不等式、求参数范等，掌
握抽象函数性的判断方法等等。
要充分重运用方程与函数、
等价、分及数
形合等数学思想，运用分离量方法解决函数相关，
并函数性分析解决函数
合。
一、函数与反函数
例1．
（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，以A定域，B域的函数共有
6个．
解：
从A到B建立映射共有
23=8个，其中由2个映射的像集是{4}和{5}
，把2个映
射去掉，其它映射的像集都是
{4，5}，函数的本是一个数集到另一个数集的映
射，所以，构成以A定域，B域的不同的函数共有
82=6个，故答案6．
（2）、（2012?
徐区一模）已知函数
f（x）=x21的定域D，域{1，0，1}，
确定的集合D最多有9个．
解：
∵f（x）
2
=x1，∴f（0）=1，f（±1）=0，f（±）=1
因此，定域
D有：
{0，1，}，{0，1，}，{0，1，}，{0，1，}，{0，
1，1，}，{0，1，1，}，{0，1，，}，
{0，1，，}，{0，1，1，，}共9种情况，故答案：
9
（3）（2013?
上海）区I上有定的函数
g（x），g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知
定域[0，3]的函数y=f（x）有反函数
y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，
4]）=[0，1）．若方程f（x）x=0有解x
，x=
2
．
0
0
解：
因g（I）={y|y=g（x），x∈I}
，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，
1），
所以于函数
f（x），当x∈[0，1），f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）x=0
即f（x）=x无解；当x∈[1，2），f（x）∈[0，1），所以方程
f（x）x=0即f
（x）=x无解；所以当x∈[0，2）方程f（x）x=0即f（x）=x无解，又因方
程f（x）x=0有解x0，且定域[0，3]，故当x∈[2，3]，f（x）的取属
于集合（∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x
）=x，只有x
0
=2，故答案：
0
0
2．
二、函数域及最求法
例2、
（1）（2011?
上海）g（x）是定在R上，以1周期的函数，若函数
f（x）=x+g
（x）在区[0，1]上的域[2，5]，f（x）在区[0，3]
上的域
[2，7]．
解：
g（x）R上周期1的函数，g（x）=g（x+1）函数f（x）=x+g（x）在区
[0，1]【正好是一个周期区度】的域是
[2，5]，令x+1=t，当x∈[0，1]
，t=x+1∈[1，2]，此，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）
=[x+g（x）]+1，所以，在
t∈[1，2]，f（t）∈[1，6]⋯
（1）
同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]，t=x+2∈[2，3]
此，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x）=[x+g（x）]+2
所以，当t∈[2，3]，f（t）∈[0，7]⋯
（2）
由已知条件及
（1）
（2）得到，f（x）在区[0，3]上的域[2，7]
故答案：
[2，7]．
（2）（2013?
黄浦区二模）已知，若存在区
[a，b]?
（0，+∞），使得
{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，数m的取范是
（0，4）．
解：
∵f（x）=4在（0，+∞）是增函数，∴f（x）在x∈[a，b]上域
[f（a），f（b）]，所以f（a）=ma且f（b）=mb，即4=ma且4=mb，
2
2
2
所以ma
4a+1=0且mb4b+1=0，所以mx4x+1=0必有两个不相等的正根，故
m≠0，∴，解得0＜m＜4．
∴数m的取范是（0，4）．故答案：
（
0，4）．
（3）．（2012?
虹口区一模）已知函数
f（x）=2x+a，g（x）=x26x+1，于任意的都能找到，
2
1
[2，6]．
使得g（x）=f
（x），数a的取范是
解：
∵函数f（x）=2x+a，g（x）=x26x+1，∴x1∈[1，1]，f（x）的域就是
[a2，a+2]，要使上述范内能找到
x2足g（x2）=f（x1），即g（x）的域
要包含[a2，a+2]，∵g（x）是一个二次函数，在[1，1]上减，
∴域[4，8]，因此，解得2≤a≤6．故答案：
[2，6]．
三、函数性与奇偶性
例3、
（1）（2013?
阳一模）已知函数
2
（1，3）．
若f（2m+1）＞f（m2），数m的取范是
解：
∵x≤1，函数y=x2+2x+1=（x1）2+2，在（∞，1]上增；x＞1
，函数
3
2
y=x+1在（1，+∞）上增，又
x≤1，x+2x+1≤2，x＞1，
x3+1＞2，∴函数，∴函数在
R上增，
∴2m+1＞m22，∴m22m3＜0，∴1＜m＜3，故答案：
（1，3）
（2）已知是R上的增函数，那么a的取范是
（1，3）．
解：
∵是R上的增函数，
∴∴a∈（1，3）故答案：
（1，3）
（3）（2012?
上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g
（1）=1，g
（1）
=3．
解：
由意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2
∴g（x）+g（x）=f（x）+2+f（x）+2=4，又g
（1）=1
∴1+g
（1）=4，解得g
（1）=3，故答案3
（4）f（x）R上的偶函数，g（x）R上的奇函数且（1，3），g（x）=f（x1），
f（2012）+f（2013）=3．
解：
由f（x）R上的偶函数，g（x）R上的奇函数，得f（x）=f（x），g（
x）=g（x），且g（0）=0，由g（x）=f（x1），得f（x）=g（x+1）=g（x
1）=f（x2）=f（x+2），即f（x）=f（x+2），所以f（x+4）=f（x+2）
=[f（x）]=f（x），故f（x）是周期4的周期函数，所以f（2012）=f（4×503）
=f（0）=g
（1）=g
（1）=3，f（2013）=f（4×503+1）=f
（1）=f
（1）=g（0）
=0，所以f（2012）+f（2013）=3，故答案：
3．
四、函数的周期性
例4、
（1）已知奇函数足的
。
解：
（2）函数y=f（x）是定在R上的奇函数，且足f（x2）=f（x）一切x∈R都成立，又当x∈[1，1]，f（x）=x3，下列四个命：
①函数y=f（x）是以4周期
的周期函数；②当x∈[1，3]，f（x）=（2x）3；③函数y=f（x）的象关于x=1
称；④函数y=f（x）的象关于（2，0）称．其中正确的命是①②③④．
解：
∵函数y=f（x）是定在R上的奇函数，∴f（x）=f（x），
∵f（x2）=f（x）一切x∈R都成立，∴f（x4）=f（x），∴函数y=f（x）
是以4周期的周期函数，故①正确．当x∈[1，3]，x2∈∈[1，1]，f（x2）=（x2）3=f（x），∴f（x）=（2x）3，故②正确．∵f（x2）=f（x），
∴f（1+x）=f（1x），∴函数y=f（x）的象关于x=1称，故③正确．∵当x∈[1，3]，f（x）=（2x）3，∴f
（2）=0，∵f（x2）=f（x），
∴f（x2）=f（x）=f（x）=f（x2），∴f（x+2）=f（x2），∴函
数y=f（x）的象关于（2，0）称．故正确的命有①②③④，故答案
①②③④．
（2）若f（n）n2+1（n∈N*）的各位数字之和，如
142+1=197，1+9+7=17f（14）
=17，f
（n）=f（n），f
（n）=f[f
（n）]，⋯，f
（n）=f[f
*
1
k
（n）]k∈N，
1
2
k+1
f2010（8）=
8．
解：
f（18）=f（8）=64+1=656+5=11，f（28）=f[f（18）]=f（11）=121+1=122=1+2+2=5f3（8）=f[f2（8）]=f（5）=25+1=26=8，f4（8）=f[f3（8）]=f（8）⋯所以f2010（8）=f3（8）=8，故答案：
8
五、函数像的称性
例5、
（1）已知函数y
f（2x1）偶函数，
函数y
f（2x）像关于直
称，函数y
f（x）像关于直
称。
解：
y
f（2x）像关于直
x
1
f（x）像关于直x
1称。
称，函数y
2
（2）．
1006．
解：
若a+b=1，f（a）+f（b）==
===1，
所以
=[f
（）+f（）]+[f（）+f（）]+⋯+[f
（）+f（）]
=1+1+⋯+1=1006．故答案：
1006．
（3）已知函数f（x）的定域
R，下列命中：
①若f（x2）是偶函数，函数
f（x）的象关于直
x=2称；
②若f（x+2）=f
（x2），函数f（x）的象关于原点称；
③函数y=f（2+x）与函数y=f（2x）的
象关于直
x=2称；④函数y=f（x2）与函数y=f（2x）的象关于直x=2
称．其中正确的命序号是
④
．
解：
①不正确．因f（x2）的象是由f（x）的象向右平移两个位而得到，合
f
（x2）是偶函数知，f（x）的象关于x=2称，
②由f（x+2）=f（x2）形得f（x+8）=f（x）是周期函数．不能得出函数
f（x）的
象关于原点称，故不正确．
③不正确，因函数
y=f（2+x）是由f（x）向左平移
2个
位，函数y=f（2x）的象是由f（x）的象向右平移2个位，故两函数的象仍
然关于原点对称．
④如图所示，正确．故答案为：
④
．六、函数性质的综合应用
例6、（2013?
上海春季）已知真命题：
“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）﹣b是奇函数”．
（1）将函数g（x）=x3﹣3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象
对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；
（2）求函数h（x）=图象对称中心的坐标；
（3）已知命题：
“函数y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）﹣b是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给
予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）．
解：
（1）平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3﹣3（x+1）2+2，整理得y=x3﹣
3
标是（1，﹣2）．
（2）设h（x）=的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）﹣b是奇函数．设
f（x）=h（x+a）﹣b则f（x）=﹣b，即f（x）=．由不等式的解集关于原点对称，得
a=2．
此时f（x）=﹣b，x∈（﹣2，2）．
任取x∈（﹣2，2），由f（﹣x）+f（x）=0，得b=1，所以函数h（x）=图象对称中心的坐标是（2，1）．
（3）此命题是假命题．举反例说明：
函数f（x）=x的图象关于直线y=﹣x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）﹣b，即y=x+a﹣b总不是偶函数．
修改后的真命题：
“函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是
“函数y=f（x+a）是偶函数”．
例7、已知函数f（x）=ax2+bx+1，a，b为实数，a≠0，x∈R，F（x）=，
（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）在
（1）的条件下，当x∈[﹣1，1]时，g（x）=f（x）+kx是单调函数，求实数k的取
值范围；
（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于0．解：
（1）依题意，有，解得，∴f（x）=x2+2x+1，
∴
（2）由
（1）得g（x）=f（x）+kx=x2+2x+1+kx=x2+（k+2）x+1，
∴函数g（x）的对称轴x=，∵g（x）在区间[﹣1，1]上是单调函数，
∴．解得k≥0，或k≤﹣4．
∴实数k的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞），
（3）∵f（x）=ax2+bx+1为偶函数，∴b=0，即f（x）=ax2+1（a＞0），
∴
∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，不妨设n＜0＜m，则有0＜﹣n＜m，
∴m﹣n＞0，m+n＞0．∵F（m）+F（n）=am2+1﹣an2﹣1=a（m+n）（m﹣n），
∴F（m）+F（n）＞0．
例8、（2012?
上海）已知f（x）=lg（x+1）
（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；
（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）
（x∈[1，2]）的反函数．
解：
（1）由解得：
﹣1＜x＜1．
由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：
1＜＜10，∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，
∴．由得：
．
（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）
=lg（3﹣x），由单调性可知y∈[0，lg2]，又∵x=3﹣10y，
∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．
例9、（2012?
卢湾区二模）对于定义域为D的函数y=f（x），若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式，则称M为函数y=f（x）的“均值”．
（1）判断1是否为函数
f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；
（2）若函数f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是
否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．
解：
（1）对任意的x1∈[﹣1，1]，有﹣x1∈[﹣1，1]，
当且仅当x2=﹣x1时，有，
故存在唯一x2∈[﹣1，1]，满足，
所以1是函数f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”．
（2）当a=0时，f（x）=﹣2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”为﹣3；
2
2
都有唯一的x2与之对应，从而有f（x）=ax﹣2x（1＜x＜2）单调，故有或，解得a≥1
或a＜0或，综上，a的取值范围是或a≥1．
（3）①当I=（a，b）或[a，b]时，函数f（x）存在唯一的“均值”．这时函数f（x）的“均值”为；
②当I为（﹣∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．
这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；
③当I=（a，+∞）或（﹣∞，a）或[a，+∞）或（﹣∞，a]或[a，b）或（a，b]时，函数f（x）不存在“均值”．
①当且仅当I形如（a，b）、[a，b]其中之一时，函数f（x）存在唯一的“均值”．
这时函数f（x）的“均值”为；
②当且仅当I为（﹣∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．
这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；
③当且仅当I形如（a，+∞）、（﹣∞，a）、[a，+∞）、（﹣∞，a]、[a，b）、
（a，b]其中之一时，函数f（x）不存在“均值”．
例10、已知函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=af（x），a是不为0的实常数．
（1）若当0≤x≤1时，f（x）=x（1﹣x），求函数y=f（x），x∈[0，1]的值域；
（2）在
（1）的条件下，求函数y=f（x），x∈[n，n+1），n∈N的解析式；
（3）若当0＜x≤1时，f（x）=3x，试研究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是否可能是单调函数若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由．
解：
（1）∵，∴．
（2）当n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时，fn（x）=afn﹣1（x﹣1）=a2fn﹣1（x﹣2）
n
n
═af1（x﹣n），fn（x）=a（x﹣n）（n+1﹣x）．
（3）当n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时，
f（x）=af
2
（x﹣2）
（x﹣1）=af
n﹣1
n
n﹣1
n
n
x﹣n
nx﹣n
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