高三一轮复习函数的性质含答案docx.docx

1、高三一轮复习函数的性质含答案docx函数的性质及其应用教师用函数的基本性 与函数的 合运用是高考 函数内容考 的重中之重，其中函数 性与奇偶性是高考命 的必考内容之一，有具体函数， 会涉及抽象函数。函数 性是函数在定 域内某个区 上的性 ，函数奇偶性是函数在整个定 域上的性 。研究基本性 ，不可忽略定 域 函数性 的影响。函数定 域体 了函数 像左右方向的延伸程度，而 域又表 了函数 像在上下方向上的延伸程度。 函数 性要深入复 ，深刻理解 性定 ， 熟 运用 性定 明或判断一个函数的 性，掌握 区 的求法，掌握 性与奇偶性之 的 系。掌握 性的重要运用，如求最 、解不等式、求参数范 等，掌握

2、抽象函数 性的判断方法等等。要充分重 运用方程与函数、等价 、 分 及数形 合等数学思想， 运用分离 量方法解决函数相关 ，并 函数 性分析解决函数 合 。一、函数与反函数例 1（ 1）已知 A=1 ， 2， 3 ， B=4 ，5 ， 以 A 定 域， B 域的函数共有6 个解：从 A 到 B 建立映射共有23=8 个，其中由 2 个映射的像集是 4 和 5，把 2 个映射去掉，其它映射的像集都是4 ， 5 ，函数的本 是一个数集到另一个数集的映射，所以，构成以 A 定 域， B 域的不同的函数共有8 2=6 个，故答案 6（2）、（2012?徐 区一模）已知函数f （x） =x 2 1 的定

3、 域 D， 域 1， 0， 1 ， 确定 的集合 D 最多有 9 个解： f （ x）2=x 1， f （ 0） = 1， f （ 1） =0， f （） =1因此，定 域D有： 0 ，1， ， 0 ， 1， ， 0 ， 1， ， 0 ， 1， ， 0 ， 1， 1， ， 0 ， 1， 1， ， 0 ，1， ，0 ， 1， ， 0 ， 1， 1， 共 9 种情况，故答案 ： 9（3）（2013?上海） 区 I 上有定 的函数g（x）， g（ I ） =y|y=g （ x），xI 已知定 域 0 ， 3 的函数 y=f （x）有反函数y=f 1（ x），且 f 1（ 0 ， 1）=1 ， 2），

4、 f 1（ 2，4 ） =0 ， 1）若方程 f （ x） x=0 有解 x， x =200解：因 g（ I ）=y|y=g （x）， xI， f 1（0 ， 1）=1 ， 2）， f 1（ 2， 4 ）=0 ，1），所以 于函数f （x），当 x0 ， 1） ， f （x）（ 2， 4 ，所以方程 f （ x） x=0即 f （ x）=x 无解；当 x1 ， 2） ， f （ x） 0 ， 1），所以方程f （ x） x=0 即 f（ x） =x 无解；所以当 x0 ， 2） 方程 f （x） x=0 即 f （ x） =x 无解，又因 方程 f （ x） x=0 有解 x0，且定 域 0

5、， 3 ，故当 x2 ， 3 ， f （ x）的取 属于集合（ ， 0） 1 ，2 （ 4，+），故若 f （ x）=x ，只有 x0=2，故答案 ：002二、函数 域及最 求法例 2、（ 1）（2011?上海） g（ x） 是定 在 R 上，以 1 周期的函数，若函数f （ x）=x+g（x） 在区 0 ，1 上的 域 2，5 ， f（ x） 在区 0 ，3上的 域 2，7 解： g（ x） R上周期 1 的函数， g（ x）=g（ x+1） 函数 f （ x）=x+g（ x）在区0 ，1 【正好是一个周期区 度】的 域是 2，5 ，令 x+1=t ，当 x0 ， 1 ， t=x+1 1 ，

6、 2 ，此 ， f （ t ）=t+g （ t ）=（ x+1） +g（ x+1） =（ x+1） +g（x）=x+g （x） +1 ，所以，在t 1 ， 2 ， f （ t ） 1，6 （ 1）同理，令 x+2=t ，在当 x0 ， 1 ， t=x+2 2 ， 3此 ， f （ t ） =t+g （ t ） =（ x+2） +g（ x+2） =（ x+2） +g（x） =x+g （ x） +2所以，当 t 2 ， 3 ， f （ t ） 0 ，7 （ 2）由已知条件及（ 1）（ 2）得到， f （x）在区 0 ， 3 上的 域 2， 7故答案 ： 2， 7 （2）（2013?黄浦区二模）已知

7、，若存在区 a ， b ? （ 0，+），使得y|y=f （ x），xa ， b=ma ， mb， 数 m的取 范 是（ 0， 4） 解： f （ x） =4 在（ 0，+）是增函数， f （ x）在 xa ， b 上 域 f （ a）， f （ b） ，所以 f （ a） =ma且 f （ b） =mb，即 4 =ma且 4 =mb，222所以 ma4a+1=0 且 mb 4b+1=0，所以 mx 4x+1=0 必 有两个不相等的正根，故m0，解得 0 m 4 数 m的取 范 是（ 0， 4）故答案 ：（0， 4）（3）（2012?虹口区一模）已知函数f （ x）=2x+a，g（x）=x2

8、6x+1， 于任意的都能找到，21 2， 6 使得 g（ x ） =f（ x ）， 数 a 的取 范 是解：函数 f （ x） =2x+a，g（ x） =x2 6x+1，x1 1，1 ， f （x）的 域就是a 2，a+2 ，要使上述范 内 能找到x2 足 g （ x2） =f （ x1），即 g（ x）的 域要包含 a 2， a+2 ， g（ x）是一个二次函数，在 1， 1 上 减， 域 4，8 ，因此，解得 2a6故答案 ： 2，6 三、函数 性与奇偶性例 3、（ 1）（2013? 阳一模）已知函数2（ 1， 3） 若 f （ 2m+1） f （ m 2）， 数 m的取 范 是解： x1

9、 ，函数 y= x2+2x+1= （ x 1）2+2，在（ ， 1 上 增； x 1 ，函数32y=x +1 在（ 1，+）上 增，又x1 ， x +2x+12， x1 ，x3+1 2，函数，函数在R 上 增，2m+1 m2 2，m2 2m 30， 1 m 3，故答案 ：（ 1， 3）（2）已知是 R 上的增函数，那么 a 的取 范 是（1， 3） 解：是 R 上的增函数， a（ 1， 3）故答案 ：（ 1，3）（3）（2012?上海）已知 y=f （ x）是奇函数，若 g（ x）=f （x） +2 且 g（ 1） =1， g（ 1）= 3 解：由 意 y=f （x）是奇函数， g（ x） =

10、f （ x） +2g（ x） +g（ x） =f （ x） +2+f （ x） +2=4，又 g（1） =11+g（ 1） =4，解得 g（ 1） =3，故答案 3（4） f （ x） R 上的偶函数， g（ x） R 上的奇函数且 （ 1， 3）， g（ x） =f （ x 1），f （ 2012） +f （ 2013） = 3 解：由 f （ x） R 上的偶函数， g（ x） R 上的奇函数，得 f （ x）=f （ x）， g（ x） = g（ x），且 g（ 0）=0，由 g（ x） =f （x 1），得 f （ x） =g（ x+1） = g（ x1）= f （ x 2）= f （

11、 x+2），即 f （ x）= f （ x+2），所以 f （ x+4）= f （ x+2）= f（ x）=f （ x），故 f（ x）是周期 4 的周期函数，所以 f（ 2012）=f（4503）=f （ 0）=g（ 1）= g（ 1）= 3， f （ 2013 ）=f （4503+1） =f （ 1）=f （ 1）=g（ 0）=0，所以 f （ 2012） +f （ 2013） = 3，故答案 ： 3四、函数的周期性例 4、（ 1）已知奇函数 足的 。解：（2） 函数 y=f （ x）是定 在 R 上的奇函数，且 足 f （ x 2） = f （ x） 一切 xR都成立，又当 x 1， 1

12、 ， f （ x） =x 3， 下列四个命 ：函数 y=f （ x）是以 4 周期的周期函数；当 x1 ， 3 ， f （ x）=（ 2 x） 3； 函数 y=f （ x）的 象关于 x=1称；函数 y=f （ x）的 象关于（ 2，0） 称其中正确的命 是 解：函数 y=f （x）是定 在 R 上的奇函数， f （ x） = f （ x），f （ x 2） = f （ x） 一切 xR都成立， f （ x 4） =f （ x），函数 y=f （ x）是以 4 周期的周期函数，故正确当 x1 ， 3 ， x 2 1，1 ， f （ x 2）=（ x 2）3= f （ x）， f （ x）=（

13、2 x）3，故正确 f （ x 2）= f （ x），f （ 1+x） =f （1 x），函数 y=f （ x）的 象关于 x=1 称，故正确当 x1 ， 3 ， f （ x）=（ 2 x） 3， f （ 2） =0， f （ x 2）= f （ x），f （ x 2） = f （ x） =f （ x） = f （ x 2）， f （ x+2）= f （ x 2），函数 y=f （ x）的 象关于（ 2， 0） 称故正确的命 有 ，故答案 （ 2）若 f （n） n2+1（nN* ）的各位数字之和，如14 2+1=197， 1+9+7=17 f （ 14）=17， f（ n） =f （ n），

14、 f（ n） =ff（n） ， f（ n） =ff*1k（ n）k N， 12k+1f 2010（8） =8 解： f （1 8）=f（ 8）=64+1=656+5=11，f （2 8）=ff （1 8）=f （11）=121+1=122=1+2+2=5 f 3（ 8） =ff 2（ 8）=f （ 5）=25+1=26=8， f 4（ 8）=ff 3（ 8） =f （ 8）所以 f 2010（ 8） =f 3（8） =8，故答案 ： 8五、函数 像的 称性例 5 、（ 1 ）已 知函数 yf (2 x 1) 偶 函数， 函数 yf (2 x) 像 关于 直 称，函数 yf ( x) 像关于直

15、称。解： yf (2 x) 像关于直 x1f ( x) 像关于直 x1 称。 称，函数 y2（2） 1006 解：若 a+b=1， f （ a）+f （ b） =1，所以=f（） +f （） +f （） +f （） + +f（） +f （） =1+1+1=1006故答案 ： 1006 （3）已知函数 f （ x）的定 域 R， 下列命 中：若 f （ x 2）是偶函数， 函数f （ x）的 象关于直 x=2 称；若 f （ x+2）= f（x 2）， 函数 f （ x）的 象关于原点 称；函数 y=f （ 2+x）与函数 y=f （ 2 x）的 象关于直 x=2 称； 函数 y=f （x 2）

16、与函数 y=f （2 x）的 象关于直 x=2称其中正确的命 序号是解：不正确因 f （ x 2）的 象是由 f （ x）的 象向右平移两个 位而得到， 合f（ x 2）是偶函数知， f （ x）的 象关于 x= 2 称，由 f （ x+2） = f （x 2） 形得 f （ x+8） =f （ x）是周期函数不能得出函数f （ x）的 象关于原点 称，故不正确不正确，因 函数y=f （ 2+x）是由 f （ x）向左平移2个 位，函数 y=f （ 2 x）的 象是由 f （ x）的 象向右平移 2个 位，故两函数的 象仍然关于原点对称如图所示，正确故答案为： 六、函数性质的综合应用例6、（2

17、013?上海春季）已知真命题：“函数 y=f （ x）的图象关于点 P（ a， b）成中心对称图形”的充要条件为“函数 y=f （ x+a） b 是奇函数”（1）将函数 g（ x）=x3 3x2 的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数 g（ x）图象对称中心的坐标；（2）求函数 h（ x）= 图象对称中心的坐标；（3）已知命题： “函数 y=f （ x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数 a 和 b，使得函数 y=f （x+a） b 是偶函数”判断该命题的真假如果是真命题，请给予证明；如果是假命题， 请说明理

18、由，并类比题设的真命题对它进行修改， 使之成为真命题（不必证明）解：（ 1）平移后图象对应的函数解析式为 y=（ x+1）3 3（ x+1）2 +2，整理得 y=x 33标是（ 1， 2）（ 2）设 h（ x）= 的对称中心为 P（ a，b），由题设知函数 h（ x+a） b 是奇函数设f（ x）=h（ x+a） b 则 f （ x）= b，即 f （ x）=由不等式的解集关于原点对称，得a=2此时 f （ x） = b，x（ 2， 2）任取 x（ 2，2），由 f （ x）+f （ x） =0，得 b=1，所以函数 h（ x）= 图象对称中心的坐标是（ 2， 1）（3）此命题是假命题举反例说

19、明：函数 f （ x）=x 的图象关于直线 y= x 成轴对称图象，但是对任意实数 a 和 b，函数 y=f （ x+a） b，即 y=x+a b 总不是偶函数修改后的真命题：“函数 y=f （ x）的图象关于直线 x=a 成轴对称图象”的充要条件是“函数 y=f （ x+a）是偶函数”例 7、已知函数 f （ x） =ax2+bx+1， a， b 为实数， a0，xR， F（ x） =，（1）若 f （ 1） =0，且函数 f （ x）的值域为 0 ，+），求 F（ x）的表达式；（2）在（ 1）的条件下，当 x 1，1 时， g（ x）=f （ x）+kx 是单调函数，求实数 k 的取值范

20、围；（3）设 mn 0， m+n 0， a0，且函数 f （ x）为偶函数，判断 F（m） +F（n）是否大于 0解：（ 1）依题意，有，解得， f （ x） =x2+2x+1，（ 2）由（ 1）得 g（ x） =f （ x） +kx=x 2+2x+1+kx=x 2+（ k+2） x+1，函数 g（ x）的对称轴 x=， g（ x）在区间 1， 1 上是单调函数，解得 k0，或 k 4实数 k 的取值范围为（， 4 0 ，+），（ 3） f （ x） =ax2+bx+1 为偶函数， b=0，即 f （ x） =ax2+1（ a0），mn 0， m+n0， a 0，不妨设 n 0 m，则有 0

21、n m，m n 0， m+n 0 F（ m） +F（ n） =am2+1an2 1=a（m+n）（ mn），F（ m） +F（ n） 0例8、（2012?上海）已知 f （x） =lg （x+1）（1）若 0 f （ 1 2x） f （x） 1，求 x 的取值范围；（2）若 g（ x）是以 2 为周期的偶函数，且当 0x1 时， g（ x）=f （ x），求函数 y=g（ x）（x1 ， 2 ）的反函数解：（ 1）由解得： 1x 1由0 lg （ 2 2x） lg （x+1） =lg 1 得： 1 10，x+1 0， x+1 2 2x 10x+10 ，由得：（ 2）当 x1 ， 2 时， 2x

22、0 ， 1 ， y=g（ x） =g（ x 2）=g（ 2 x）=f （ 2 x）=lg （ 3 x），由单调性可知 y0 ， lg2 ，又 x=3 10y，所求反函数是 y=3 10x，x0 ， lg2 例 9、（2012?卢湾区二模） 对于定义域为 D 的函数 y=f（ x），若有常数 M，使得对任意的 x1D，存在唯一的 x2D满足等式，则称 M为函数 y=f （ x）的“均值” （1）判断 1 是否为函数f（ x） =2x+1（ 1x1）的“均值”，请说明理由；（2）若函数 f （ x）=ax2 2x（ 1 x 2，a 为常数）存在“均值”，求实数 a 的取值范围；（3）若函数 f（

23、x）是单调函数， 且其值域为区间 I 试探究函数 f （ x）的“均值”情况 （是否存在、个数、大小等）与区间 I 之间的关系，写出你的结论（不必证明） 解：（ 1）对任意的 x1 1， 1 ，有 x1 1， 1 ，当且仅当 x2= x1 时，有，故存在唯一 x2 1， 1 ，满足，所以 1 是函数 f （x） =2x+1（ 1x1）的“均值”（ 2）当 a=0 时， f （ x） = 2x（ 1 x 2）存在“均值”，且“均值”为 3；22都有唯一的 x2 与之对应，从而有 f（ x）=ax 2x（ 1x 2）单调，故有或，解得 a1或 a 0 或，综上， a 的取值范围是或 a1（3）当

24、I= （ a， b）或 a ， b 时，函数 f （x）存在唯一的“均值”这时函数 f （ x）的“均值”为；当 I 为（， +）时，函数 f （ x）存在无数多个“均值”这时任意实数均为函数 f （x）的“均值”；当 I= （ a，+）或（， a）或 a ，+）或（， a 或 a ， b）或（ a， b 时，函数 f （ x）不存在“均值”当且仅当 I 形如（ a， b）、 a ， b 其中之一时，函数 f（ x）存在唯一的“均值”这时函数 f （ x）的“均值”为；当且仅当 I 为（， +）时，函数 f （ x）存在无数多个“均值”这时任意实数均为函数 f （x）的“均值”；当且仅当 I

25、形如（ a，+）、（， a）、 a ，+）、（， a 、a ， b）、（ a， b 其中之一时，函数 f （ x）不存在“均值”例10、已知函数 y=f （ x），xR满足 f （x+1） =af （ x）， a 是不为 0 的实常数（1）若当 0x1时， f （ x） =x（ 1 x），求函数 y=f （ x），x0 ， 1 的值域；（2）在（ 1）的条件下，求函数 y=f （ x），xn ， n+1），nN的解析式；（3）若当 0x1时， f （ x）=3x，试研究函数 y=f （ x）在区间（ 0，+）上是否可能是单调函数若可能，求出 a 的取值范围；若不可能，请说明理由解：（ 1），（2）当 nxn+1（n0，nZ）时， f n（ x） =af n 1（ x 1）=a2f n 1（x 2）nnaf 1（ xn）， f n（x） =a （ xn）（ n+1x）（ 3）当 nxn+1（n0，nZ）时，f （ x） =af2（x 2）（ x 1）=a fn 1nn 1nnx nnx n