1213小学奥数练习卷知识点数列分组含答案解析.docx
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1213小学奥数练习卷知识点数列分组含答案解析
小学奥数练习卷（知识点：
数列分组）
题号
一
二
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人
得分
一．填空题（共11小题）
1．表中上一行的一个字与下一行对应的一个字作为一组，如第一组是（数，我），第二组是（学，们）．
数
学
是
思
维
的
体
操
数
学
是
思
维
的
体
操
数
学
…
我
们
参
加
希
望
杯
竞
赛
我
们
参
加
希
望
杯
竞
赛
…
那么第2005组是 ．
2．将下列10个数分成两组，每组5个，要求两组中各数的乘积相等：
6，8，9，13，21，26，35，44，50，55
请在下面写出你的思考过程． ．
3．把自然数1、2、3、4、…按照下面的顺序排列（横排叫行，竖排叫列）．1995这个数排在第 行第 列．
4．一列数，前3个是1，9，9，以后的每个数都是它前面相邻3个数的和除以3所得的余数，这列数中的第2005个数是 ．
5．右图是著名德国数学家莱布尼茨给出的三角形：
则排在由上而下的第10行中从右边数第三个位置的数是 ．
6．观察三角形数阵：
那么，由上而下的第22行中由左向右的第21个数是 ，2010是第 行第 个数．
7．自然数列1，2，3，…，n，…，它的第n组含有2n﹣1个数，第10组中各数的和是 ．
8．设自然数按下图的格式排列：
1251017…
4361118…
9871219…
1615141320…
2524232221…
…
（1）200所在的位置是第 行，第 列；
（2）第10行第10个数是 ．
9．将奇数按下列方式分组：
（1），（3，5），（7，9，11），（13，15，17，19），…．
（1）第15组中第一个数是 ；
（2）第15组中所有数的和是 ；
（3）999位于第 组第 号．
10．给定以下数列：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，…，
（1）
是第 项；
（2）第244项是 ；
（3）前30项之和是 ．
11．将自然数按下面的规律分组：
（1，2），（3，4，5，6），（7，8，9，10，11，12），（13，14，15，16，17，18，19，
20），…，第1991组的第一个数和最后一个数各是 ．
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人
得分
二．解答题（共13小题）
12．在下面的一列数中，只有一个九位数，它是 ．1234，5678，9101112，13141516，…
13．甲、乙两包糖的重量比是4：
1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7：
8，那么两包糖的总重量是多少克？
14．将偶数排成下表：
ABCDE
2468
16141210
18202224
32302826
…
那么，1998这个数在哪个字母下面？
15．在下面的数表中，第100行左边的第一个数是什么？
5432
6789
13121110
14151617
21201918
…
16．把自然数1～200按下面的方法分成A、B、C三组．试问：
（1）每组各有多少个数？
最后一个数各是多少？
（2）C组的第56个数是几？
（3）172在哪一组的第几个数？
17．自然数按下图所示的方法排列．问：
（l）射线b上第1995个数是几？
（2）数1995在哪条射线上？
18．有一数列：
101，203，105，207，109，211，…求这数列的前20项的和．
19．根据下图回答：
（1）第一行的第8个数是几？
（2）第五行第六列上的数是几？
（3）200的位置在哪一格（说出所在行和列的序号）？
20．一列数：
1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…，其中自然数n出现n次．那么，这列数中的第1999个数除以5的余数是 ．
21．有这样一列数：
123，654，789，121110，131415，181716，192021，…．还有另一列数：
1，2，3，6，5，4，7，8，9，1，2，1，1，1，0，1，3，1，4，1，5，1，8，1，7，1，6，1，9，2，0，2，1，…，第一列数中出现的第一个九位数是 ，第二列数的第1994个数在一列数中的第 个数的 位上．
22．1，1，2，2，3，3，1，1，2，2，3，3，1，1，…其中1，1，2，2，3，3这六个数字按此规律重复出现，问：
（1）第100个数是什么数？
（2）把第一个数至第52个数全部加起来，和是多少？
（3）从第一个数起，顺次加起来，如果和为304，那么共有多少个数字相加？
23．把由1开始的自然数依次写下来：
1234567891011121314…．
重新分组，按三个数字为一组：
123，456，789，101，112，131，…，
问第10个数是几？
24．有一列数：
1，1993，1992，1，1991，1990，1，…，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，求从第一个起到1993个数这1993个数之和．
参考答案与试题解析
一．填空题（共11小题）
1．表中上一行的一个字与下一行对应的一个字作为一组，如第一组是（数，我），第二组是（学，们）．
数
学
是
思
维
的
体
操
数
学
是
思
维
的
体
操
数
学
…
我
们
参
加
希
望
杯
竞
赛
我
们
参
加
希
望
杯
竞
赛
…
那么第2005组是 （维，杯） ．
【分析】分别观察上下二行，上一行8个字是按顺序重复的，下一行的9个字也是按顺序重复出现的，然后分别找出每一行第2005组中是规律的第几个字．
【解答】解：
2005÷8=250（组）…5（个），
在第一行规律中第5个字是：
维；
2005÷9=222（组）…7（个），
在第二行的规律中第7个字：
杯；
所以第2005组是：
（维，杯）．
【点评】先观察找出规律，然后找出第2005组中的是规律中的第几个字即可．
2．将下列10个数分成两组，每组5个，要求两组中各数的乘积相等：
6，8，9，13，21，26，35，44，50，55
请在下面写出你的思考过程． 44×13×21×50×6=55×26×35×8×9 ．
【分析】将这些数分解质因数，然后根据质因数的个数进行分组．
【解答】解：
6=2×3
8=2×2×2
9=3×3
13=13
21=3×7
26=2×13
35=5×7
44=2×2×11
50=2×5×5
55=5×11
从上面可以看出44和55肯定分在不同组，13和26分在不同组，顺着这个思路不难得出下面的两组
44×13×21×50×6=55×26×35×8×9
【点评】此题只要保证两组算式中的相同质因数的个数相同即可．
3．把自然数1、2、3、4、…按照下面的顺序排列（横排叫行，竖排叫列）．1995这个数排在第 五百七十 行第 二 列．
【分析】把7个连续的数看成一组，每组中前三个数是一行，这三个数是从左到右增大的，后4个数在一行，这4个数按照从右到左增大的；先求出1995里面有多少个这样的一组，还余几，再根据余数进行推算．
【解答】解：
1995÷7=285；
没有余数，1995里面正好有中285组，是第285组的最后一个数，在第二列；
285×2=570；
所以1995是第五百七十行，第二列．
故答案为：
五百七十，二．
【点评】先找出这个数阵周期性的规律，再根据规律求解．
4．一列数，前3个是1，9，9，以后的每个数都是它前面相邻3个数的和除以3所得的余数，这列数中的第2005个数是 0 ．
【分析】根据题意，列出这个数列：
1、9、9、1、1、2、1、1、1、0、2、0、2、1、0、0、1、1、2、1…易见，从第四个数开始每十三个数一个循环．由于前面还有三个数，所以需用2005减去3得再除以13，即可得出答案．
【解答】解：
（2005﹣3）÷13=154，
2005为循环节中的最后一个，即0；
答：
这列数中的第2005个数是0．
故答案为：
0．
【点评】解答此题的关键是，根据题意，找出规律，再根据规律，列式解答即可．
5．右图是著名德国数学家莱布尼茨给出的三角形：
则排在由上而下的第10行中从右边数第三个位置的数是
．
【分析】通过对已知数据进行观察分析可发现各行的前后两个数分别为行数的倒数，倒数第二个数等于前一行的最后一个数与本行的最后一个数的差，倒数第三个数等于前一行的倒数第二个数与本行的倒数第二个数的差，根据此规律解题即可．
【解答】解：
因为第10行最后一个数是
，第9行最后一个数是
，第8行最后一个数是
，
所以第9行倒数第二个数是
﹣
=
，第十行倒数第二个数是
﹣
=
，
所以，第10行右数第三个数是
﹣
=
．
故答案为：
．
【点评】此题主要考查学生对规律型题的掌握情况，做此类题的关键是观察分析发现规律，根据规律解题．
6．观察三角形数阵：
那么，由上而下的第22行中由左向右的第21个数是 462 ，2010是第 45 行第 74 个数．
【分析】
（1）仔细观察：
从左到右，第几个数上的数就是几，而且第一行1个数，第二行3个数，第三5个数…，所以行数×2﹣1=个数，则第二十一行有：
21×2﹣1=41个数，到这一行为止，共有：
1+3+5+…+41=441个数，那第22行由左到右的第21个数是441+21=462．
（2）2010应该是第2010个数，那么1+3+5+…加到多少大概在2010左右呢？
由
（1）可知，第22行有22×2﹣1=43个数字，第这一行为止，共有1+3+5+…+43=484个数字，离2010个数字很远，试下到44行共有多少个数字，第44行有44×2﹣1=87个数字，到这一行为止共有：
1+3+5+…+87=（1+87）×44÷2=1936个数字，2010﹣1936=74，说明2010在第45行第74个数字．
【解答】解：
（1）通过分析数阵可知：
行数×2﹣1=该行数字个数，则第二十一行有：
21×2﹣1=41个数．
到这一行为止，共有：
1+3+5+…+41=441个数，那第22行由左到右的第21个数是441+21=462．
（2）从左到右，第几个数上的数就是几，2010应该是第2010个数；
可先试下到44行共有多少个数字，第44行有44×2﹣1=87个数字，到这一行为止共有：
1+3+5+…+87=（1+87）×44÷2=1936个数字，
2010﹣1936=74，说明2010在第45行第74个数字．
故答案为：
462、45、74．
【点评】完成此类题目的关健是认真分析数阵，找出其中数据的规律特点，从而据规律进行解答．
7．自然数列1，2，3，…，n，…，它的第n组含有2n﹣1个数，第10组中各数的和是 1729 ．
【分析】此题关键是读懂题意：
由题意知，第1组有2×1﹣1=1个数，即1．第2组有2×2﹣1=3个数，即1，2，3．以此类推．
【解答】第1组到第9组共有自然数：
1+3+5+…+（2×9﹣1）=
=81（个）．
因此，第10组第1号数是82，第10组有2×10﹣1=19个数，所以第10组各数之和为
．
故答案为：
1729．
【点评】由简单到复杂，学会从最基本的入手．
8．设自然数按下图的格式排列：
1251017…
4361118…
9871219…
1615141320…
2524232221…
…
（1）200所在的位置是第 4 行，第 15 列；
（2）第10行第10个数是 91 ．
【分析】
（1）我们看出：
第一竖列都是行号的平方数．如4=22，9=32，25=52…其数列发展也是按正方形来排列的1→2→3→4
，正好构成一个正方形，1→2→3→4→5→6→7→8→9又围成一个较大的正方形，其发展是按顺时针方向来旋转的．由此类推第14行第一列是142=196，此时也是此行最大．200只能在其外一圈的正方形上．200就出现在第15列第4行．
（2）第2题也可以得出第10行第1列为102=100，第10个数就得减9即得到91．
【解答】解：
（1）注意到第一列是完全平方数：
1，4，9，16，25，…
按
（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），分组，则200在196与225之间，属第15组，倒数第4个数，在第4行、第15列上．
（2）第10行第10个数是位于第10行第10列上的数91．
【点评】数列题目需要看其数字发展的规律，往往从平方，加减，方形，斜线等角度来观察．
9．将奇数按下列方式分组：
（1），（3，5），（7，9，11），（13，15，17，19），…．
（1）第15组中第一个数是 211 ；
（2）第15组中所有数的和是 3375 ；
（3）999位于第 32 组第 4 号．
【分析】从分组情况看第几组就有几个奇数如第3组就有三个奇数，第一题先看从第1组到第14组的奇数有多少个，再看下一个奇数是几，第二题利用等差数列来解题比较容易．第三题先求出大致是第几组再利用等差数列求是第几个数．
【解答】解：
（1）从第1组到第14组的奇数有1+2+3+…+14=
=105（个）．
因此，第15组最初一个数是第106个奇数：
2×106﹣1=211．
（2）在第15组中的数是以211为首项，公差为2，项数等于15的等差数列，其和是15×211+
×2=3375．
（3）设999位于第n组，因31×32=992，32×33=1056，所以n=32，第32组最初一个数是：
[2×（1+2+…+31）﹣1]+2=993．
因此，999是第32组的第4号数．
【点评】此题是数列的题目的典型应用，需要熟练掌握其中的方法与技巧，要用试一试的办法找其规律．
10．给定以下数列：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，…，
（1）
是第 429 项；
（2）第244项是
；
（3）前30项之和是 17
．
【分析】从给定的数列看数列中分母是几，以此为分母的数就有几个．比如：
分母是4，则以4为分母的数便有4个．同理分母是7的得数有7个，所以第一题分母是29分子是23则前面有28组数加23个数．第二、三题需要试一试前多少组共多少个数．找到合适的组数在确定第几个数．
【解答】
（1）以分母相同的分数分组，并记分母为n的分数属于第n组，从而
是第29组的第23号数，第n组由n个分数组成，从第1组到第28组有
1+2+3++28=
=406
个分数，因此
位于第406+23=429项．
（2）因21×20=420，22×21=462，23×22=506，故第244项在第22组，前21组有
=231个分数，从而第244项是居于第22组中的第13号数，是
．
（3）前30项之和为
1+
（1+2）+
（1+2+3）+…+
（1+2+…+7）+
+
=1
+2+
+3+
+4+
=10+
=17
．
故答案为：
429，
，17
．
【点评】这类题目需要求前几项的和及其变形应用，是有一定难度的．
11．将自然数按下面的规律分组：
（1，2），（3，4，5，6），（7，8，9，10，11，12），（13，14，15，16，17，18，19，
20），…，第1991组的第一个数和最后一个数各是 3962091 3966072 ．
【分析】每一组数的个数都在增加，第n组数的个数为2n个数，这组的第一个数就是前一组数的最后一个数+1，这个数是2+4+6+…+2（n﹣1）+1；当然，这组数的最后一个数是2+4+6+…+2n；当n=1991时，代入1991可得解．
【解答】解：
2+4+6+…+2（1991﹣1）+1
=2（1+2+3+…+1990）+1
=（1+1990）×1990+1
=3962091；
2+4+6+…+2×1991
=2×（1+2+3+…+1991）
=（1+1991）×1991
=3966072；
答：
第1991组的第一个数和最后一个数各是3962091、3966072；
故答案为：
3962091，3966072．
【点评】此题考查了数表中的规律，每一组数的个数为组数的2倍，正整数依次填入，发现规律，解决问题．
二．解答题（共13小题）
12．在下面的一列数中，只有一个九位数，它是 979899100 ．1234，5678，9101112，13141516，…
【分析】每4个相邻的正整数组成数列中的一个数，两位数中的前三个10、11、12已经和9组成了数列中的第三个数，余下的两位数还有99﹣9﹣3=87，87÷4=21…3，即有组成了21个8位数，余下的三个两位数是97、98、99和100组成第25个数列中的数979899100，刚好是一个九位数，从第26个数101102103104开始就至少是12位数，所以该数列只有一个九位数．
【解答】解：
99﹣9﹣3=87，
87÷4=21…3，
余下的三个两位数是97、98、99和100组成第25个数列中的数979899100，刚好是一个九位数，从第26个数101102103104开始就至少是12位数，所以该数列只有一个九位数．
故答案为：
979899100．
【点评】此题考查了数列中的规律．
13．甲、乙两包糖的重量比是4：
1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7：
8，那么两包糖的总重量是多少克？
【分析】把“甲、乙两包糖的重量比是4：
1”理解为甲包糖是两包糖的总重量的
，把后来“甲、乙两包糖的重量比变为7：
8”理解为后来甲包糖是两包糖的总重量的
，即两包糖总重的（
﹣
）是10克，把两包糖的总重量看作单位“1”，根据“对应数÷对应分率=单位“1”的量”进行解答即可．
【解答】解：
4+1=5，
7+8=15，
10÷（
﹣
），
=10÷
，
=30（克）；
答：
两包糖的总重量是30克．
【点评】解答此题的关键是抓住题中“两包糖的总重量”不变，判断出单位“1”，根据“对应数÷对应分率=单位“1”的量”进行解答即可．
14．将偶数排成下表：
ABCDE
2468
16141210
18202224
32302826
…
那么，1998这个数在哪个字母下面？
【分析】由图表看出：
偶数依次排列，每8个偶数一组依次按B、C、D、E、D、C、B、A列顺序排．看A列，E列得到排列顺序是以16为周期来循环的．求出1998里面有多少个这样的周期，还余几，
再根据余数判断．
【解答】解：
1998÷16=124…14
所以，1998与14同列在B列．
【点评】本题关键找出这个数表中数字循环的周期性规律，再根据规律求解．
15．在下面的数表中，第100行左边的第一个数是什么？
5432
6789
13121110
14151617
21201918
…
【分析】因为每行有4个数，前99行共有99×4=396（个）数；这个数表中开始的最小的一个数为2，奇数行是从右到左的顺序依次增加的；偶数行的数是从左到右依次增加的；整个数表可以看成是以2开始的自然数列，第100行的第一个数是第397个数，由此求解．
【解答】解：
99×4=396（个）；
又因为这个数表中开始的最小的一个数为2，所以，依数列的排列规律可知，第100行的左边第1个数为：
396+1+1=398；
答：
第100行左边的第一个数是398．
【点评】解决本题关键是找出这些数的排列规律，然后根据规律求解．
16．把自然数1～200按下面的方法分成A、B、C三组．试问：
（1）每组各有多少个数？
最后一个数各是多少？
（2）C组的第56个数是几？
（3）172在哪一组的第几个数？
【分析】完成本题目要根据数列的组数、数横排及竖排的排列特点及规律，结合高斯求和的有关知识进行解答．
【解答】解：
各组中偶数项中的数据及奇数项中的数据有以下特点：
奇数项：
A组：
6n﹣5，B组：
6n﹣4，C组：
6n﹣3，按竖列递增k=2n﹣1，
偶数项：
A组：
6n，B组：
6n﹣1，C组：
6n﹣2，按竖列递减k=2n；
每一组的第k项k=2n﹣1，k=2n，n=1，2，3…据此可知：
（1）200=6×33+2=6×34﹣4（属于B组奇数项），n=34，k=2n﹣1=67；
所以：
B组有67项最后一个数200，是B组的第67项；A组有67项，最后一个数199，是A组的第67项；
C组有66项，最后一个数196，是C组的第66项．
（2）C组k=56项n=28是：
6×28﹣2=166．
（3）172=6×28+4=6×29﹣2（C组偶数项），C组偶数项，n=29，k=2×29=58，
所以，172是C组的第58个数．
【点评】完成此类题目要认真分析式中数据的排列特点，找出规律进行解答．
17．自然数按下图所示的方法排列．问：
（l）射线b上第1995个数是几？
（2）数1995在哪条射线上？
【分析】通过观察可知，射线b上的数列为等差数列，公差为3，根据高斯求和有关公式可知：
末项=首项+（项数﹣1）×公差，所以射线b上第1995个数是2+（1995﹣1）×3；射线c上的数都为3的倍数，而1995÷3=665，1995为3的倍数，所以所以数1995在射线C上．
【解答】解：
（1）2+（1995﹣1）×3
=2+1994×3，
=5984；
答：
射线b上第1995个数是5984．
（2）因为射线c上的数都为3的倍数，又1995÷3=665，所以数1995在射线C上．
答：
数1995在射线C上．
【点评】完成本题要认真分析射上数列上数据的特点，找出其内在规律，然后据规律进行解答．
18．有一数列：
101，203，105，207，109，211，…求这数列的前20项的和．
【分析】把这列数字看成两列数，奇数项一列，偶数项一列；奇数列为：
101，105，109，…可以看成是公差为4的等差数列，共10项；偶数项为：
203，207，211，…可以看成是公差为4的等差数列，共10项；
根据等差数量求和公式求解．
【解答】解：
（1）101+（10﹣1）×4=137，
（101+137）×10÷2=1190，
203+（10﹣1）×4=239，
（203+239）×10÷2=2210，
前20项的和是：
1190+2210=3400．
答：
这数列的前20项的和是3400．
【点评】本题先把数量根据特点分组，再给各组找到规律，根据规律计算．
19．根据下图回答：
（1）第一行
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