步步高版高考物理全国通用考前三个月配套课件+配套文档专题14 数学方法的应用.docx

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步步高版高考物理全国通用考前三个月配套课件+配套文档专题14数学方法的应用

考题一　常用的数学知识

1.罗列物理中常用数学方法，熟悉其内容及其变形.

2.熟悉数学在物理题中应用的特点.

3.理解物理公式或图象所表示的物理意义，不能单纯地从抽象的数学意义去理解物理问题，防止单纯从数学的观点出发，将物理公式“纯数学化”的倾向.

例1　如图1所示，AB是竖直平面内圆心为O、半径为R的圆上水平方向的直径，AC是圆上的一条弦.该圆处在某一匀强电场中，电场线与圆平面平行，将一质量为m、电荷量为q的带正电小球从圆周上A点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆周上的不同点，若到达C点时小球的动能最大，已知∠BAC＝α＝30°，重力加速度为g，则电场强度E的最小值为（　　）

图1

A.

B.

C.

D.

解析　小球到达C点动能最大，说明C点是重力场和电场形成的复合场中的等效最低点，即重力和电场力的合力沿OC方向，对小球受力分析，如图所示，

利用矢量三角形可知：

当电场力垂直于OC时，电场力最小，Fmin＝mgsin30°＝

mg，即Emin＝

，A正确.故选A.

答案　A

变式训练

1.如图2所示，在斜面上有四条光滑细杆，其中OA杆竖直放置，OB杆与OD杆等长，OC杆与斜面垂直放置，每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），四个环分别从O点由静止释放，沿OA、OB、OC、OD滑到斜面上所用的时间依次为t1、t2、t3、t4.下列关系不正确的是（　　）

图2

A.t1>t2B.t1＝t3

C.t2＝t4D.t2

答案　C

解析　以OA为直径画圆建立等时圆模型，小滑环受重力和支持力，由牛顿第二定律得：

a＝gcosθ（θ为杆与竖直方向的夹角）

由图中的直角三角形可知，小滑环的位移x＝2Rcosθ

由x＝

at2，得：

t＝

＝2

＝2

，t与θ无关，可知从圆上最高点沿任意一条弦滑到底端所用时间相同，故沿OA和OC滑到底端的时间相同，即t1＝t3，OB不是一条完整的弦，时间最短，即t1＞t2，OD长度超过一条弦，时间最长，即t2＜t4.故A、B、D正确，C不正确，因本题选不正确的，故选C.

2.如图3所示，穿在一根光滑固定杆上的小球A、B通过一条跨过定滑轮的细绳连接，杆与水平面成θ角，不计所有摩擦，当两球静止时，OA绳与杆的夹角为θ，OB绳沿竖直方向，则下列说法正确的是（　　）

图3

A.A可能受到2个力的作用

B.B可能受到3个力的作用

C.A、B的质量之比为tanθ∶1

D.A、B的质量之比为1∶tanθ

答案　D

解析　对A球受力分析可知，A受到重力、绳子的拉力以及杆对A球的弹力，三个力的合力为零，故A错误；对B球受力分析可知，B受到重力、绳子的拉力，两个力合力为零，杆对B球没有弹力，否则B不能平衡，故B错误；分别对A、B两球受力分析，运用合成法，如图，根据共点力平衡条件，得：

FT＝mBg

根据正弦定理得：

＝

因定滑轮不改变力的大小，故绳子对A的拉力等于对B的拉力，得mA∶mB＝1∶tanθ，故C错误，D正确，故选D.

3.如图4所示，将两个质量均为m，带电荷量分别为＋q、－q的小球a、b，用两细线相连并悬挂于O点，置于沿水平方向的匀强电场中，电场强度为E，且Eq＝mg，用力F拉小球a，使整个装置处于平衡状态，且两条细线在一条直线上，则F的大小可能为（　　）

图4

A.3mgB.

mg

C.mgD.

mg

答案　A

解析　先分析b的平衡：

由于Eq＝mg，所以两线与竖直方向夹角为45°.再分析整体平衡：

两电场力抵消，转变成典型的三力平衡问题，画矢量三角形如图所示，

F的最小值Fmin＝2mgsin45°＝

mg，则应满足F≥

mg，故A正确.

4.物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只需要通过一定的分析就可以判断结论是否正确.如图5所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R1和R2的圆环，两圆环上的电荷量均为q（q>0），而且电荷均匀分布.两圆环的圆心O1和O2相距为2a，连线的中点为O，轴线上的A点在O点右侧与O点相距为r（r

图5

A.E＝

C.E＝

答案　D

解析　令R1＝R2＝0，A点电场强度不为0，排除A、B.或令r＝a，E的结果应该只与R1有关，与R2无关，排除A、B；当r＝a时，A点位于圆心O2处，带电圆环O2由于对称性在A点的电场为0，根据微元法可以求得此时的总电场强度为E＝E1＝

，将r＝a代入C、D选项可以排除C选项.故选D.

考题二　数学知识的综合应用

1.结合实际问题，将客观事物的状态关系和变化过程用数学语言表达出来，经过数学推导和求解，求得结果后再用图象或函数关系把它表示出来.

2.一般程序

审题―→过程分析―→建立模型―→应用数学思想或方法―→求解并验证.

3.弄清物理公式的运用条件和应用范围；注意数学的解与物理解的统一.

例2　如图6甲所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝30°时，可视为质点的一小物块恰好能沿着木板匀速下滑.若让该小物块从木板的底端以大小恒定的速度v0沿木板向上运动（如图乙），随着θ的改变，小物块沿木板滑行的距离s将发生变化，重力加速度为g.

图6

（1）求小物块与木板间的动摩擦因数；

（2）当θ角满足什么条件时，小物块沿木板上滑的距离最小，并求出此最小值.

解析　

（1）由题知，当θ＝30°时，对物块受力分析得：

mgsinθ＝μFN

FN＝mgcosθ

联立得：

μ＝tanθ＝tan30°＝

.

（2）小物块向上运动，则有：

mgsinθ＋μmgcosθ＝ma

物块的位移为x：

v

＝2ax

x＝

＝

令：

tanα＝μ，当θ＋α＝90°时，x最小

此时有：

θ＝60°

有：

xmin＝

＝

.

答案　

（1）

（2）θ＝60°　

变式训练

5.如图7所示，在“十”字交叉互通的两条水平直行道路上，分别有甲、乙两辆汽车运动，以“十”字中心为原点，沿直道建立xOy坐标系.在t＝0时刻，甲车坐标为（1,0），以速度v0＝km/s沿－x轴方向做匀速直线运动，乙车沿＋y方向运动，其坐标为（0，y），y与时间t的关系为y＝

m，关系式中k>0，问：

图7

（1）当k满足什么条件时，甲、乙两车间的距离有最小值，最小值为多大？

（2）当k为何值时，甲车运动到O处，与乙车的距离和t＝0时刻的距离相同？

答案　

（1）0

m　

（2）

解析　

（1）t时刻两车坐标：

甲车：

x＝（1－kt）m，乙车：

y＝

m

t时刻两车相距

s＝

＝

＝

m

当t＝

s时，甲、乙两车间的距离有最小值.

最小值为smin＝

m，其中k满足0

（2）当t＝0时，甲车坐标为（1,0），乙车坐标为（0,1），此时两车距离s0＝

m.

当甲车运动到O处时，kt＝1m，

乙车y＝

m＝

m

两式联立解得：

k＝

.

6.一小球从h0＝45m高处自由下落，着地后又弹起，然后又下落，每与地面相碰一次，速度大小就变化为原来的k倍.若k＝

，求小球从下落直至停止运动所用的时间.（g取10m/s2，碰撞时间忽略不计）

答案　9s

解析　由运动学公式将小球每碰一次后在空中运动的时间的通项公式求出，然后再累加求和.

小球从h0处落到地面时的速度：

v0＝

，

运动的时间为：

t0＝

第一次碰地后小球反弹的速度：

v1＝kv0＝k

小球再次与地面碰撞之前做竖直上抛运动，这一过程球运动的时间：

t1＝

＝2k

则第n次碰地后，小球的运动速度的通项公式为：

vn＝kn

运动时间：

tn＝

＝2kn

所以，小球从下落到停止运动的总时间为：

t＝t0＋t1＋…＋tn＝

＋2k

＋…＋2kn

＝

＋2

（k＋k2＋…＋kn）.

上式括号中是一个无穷等比递减数列，由无穷等比递减数列求和公式，并代入数据得t＝9s.

7.一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度地释放，如图8所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？

图8

答案　当细绳与竖直方向的夹角余弦值为cosθ＝

时，重力的瞬时功率取得最大值

解析　如图所示，当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C时，重力的功率：

P＝mgvcosα＝mgvsinθ

小球从水平位置到图中C位置时，由机械能守恒有mgLcosθ＝

mv2

解得：

P＝mg

令y＝cosθsin2θ

因为y＝cosθsin2θ＝

＝

又因为2cos2θ＋sin2θ＋sin2θ＝2（sin2θ＋cos2θ）＝2（定值）.

所以当且仅当2cos2θ＝sin2θ时，y有最大值

由2cos2θ＝1－cos2θ

得cosθ＝

即：

当cosθ＝

时，功率P有最大值.

专题规范练

1.（多选）AOC是光滑的直角金属导轨，AO沿竖直方向，OC沿水平方向，ab是一根金属直棒，靠立在导轨上（开始时b离O点很近），如图1所示.它从静止开始在重力作用下运动，运动过程中a端始终在AO上，b端始终在OC上，直到ab完全落在OC上，整个装置放在一匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，则ab棒在运动过程中（　　）

图1

A.感应电流方向始终是b→a

B.感应电流方向先是b→a，后变为a→b

C.所受磁场力方向垂直于ab向上

D.所受磁场力方向先垂直于ab向下，后垂直于ab向上

答案　BD

解析　初始，ab与直角金属导轨围成的三角形面积趋于0，末状态ab与直角金属导轨围成的三角形面积也趋于0，所以整个运动过程中，闭合回路的面积先增大后减小.根据楞次定律的增反减同，判断电流方向先是逆时针后是顺时针，选项A错，B对.根据左手定则判断安培力可得安培力先垂直于ab向下，后垂直于ab向上，选项C错，D对.故选B、D.

2.如图2所示，斜面上固定有一与斜面垂直的挡板，另有一截面为

圆的光滑柱状物体甲放置于斜面上，半径与甲相同的光滑球乙被夹在甲与挡板之间，没有与斜面接触而处于静止状态.现在从球心O1处对甲施加一平行于斜面向下的力F，使甲沿斜面方向缓慢向下移动.设乙对挡板的压力大小为F1，甲对斜面的压力大小为F2，甲对乙的弹力大小为F3.在此过程中（　　）

图2

A.F1逐渐增大，F2逐渐增大，F3逐渐增大

B.F1逐渐减小，F2保持不变，F3逐渐减小

C.F1保持不变，F2逐渐增大，F3先增大后减小

D.F1逐渐减小，F2保持不变，F3先减小后增大

答案　B

解析　先对物体乙受力分析，受重力、挡板的支持力F1′和甲对乙的弹力F3，如图甲所示；甲沿斜面方向向下移动，α逐渐变小，F1′的方向不变，整个过程中乙物体保持动态平衡，故F1′与F3的合力始终与重力等大反向，由平行四边形定则知F3、F1′均逐渐减小，根据牛顿第三定律，乙对挡板的压力F1逐渐减小；再对甲与乙整体受力分析，受重力、斜面的支持力F2′、挡板的支持力F1′和推力F，如图乙所示；根据平衡条件有，F2′＝（M＋m）gcosθ，保持不变；由牛顿第三定律知甲对斜面的压力F2不变，选项B正确.故选B.

3.如图3所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A、B卫星的轨道半径分别为rA和rB，某时刻A、B两卫星距离达到最近，已知卫星A的运行周期为T.从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为（　　）