完整版勾股定理典型题总结较难.docx
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完整版勾股定理典型题总结较难
勾股定理
一.勾股定理证明与拓展模型一
思考：
如下图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和
正方形，上述四种情况的面积有和关系?
岛0
S.
也/
例1、有一个面积为
1的正方形，经过一次
“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方
形（如图1），其中,
长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是
圉1
三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2）,如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生
变式1:
在直线I上依次摆放着七个正方形（如图1所示）.已知斜放置的三个正方形的面积
分别是
S4=
半圆，则阴影部分的面积为
C
B
ABC中，/ACB=90°
AOBC=6,空白部分面积为
变式2:
如图，四边形ABCD中，AD//BC,/ABC+/DCB=90°且BC=2AD，以AB、BC、
DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3,S3=9，求S2.
（变式3）
10cm，在AB的同侧，分别以ABBCAC为直径作三个
（难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△以^ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若10.5，则阴影部分面积
a
W17
F
.V
模型二
内弦图
外弦图
例题2.四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图所示，它
是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为
5。
求中间小正方形的面积为
已知大正
变式1:
如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案,
方形面积为25，小正方形面积为1，
若用X、y表示直角三角形的两直角边（
xy），下
列四个说法：
①X2y225，②X
y2，③2xy125，④xy9
.其中说法正
确的有
（填序号）.
（变式1）
变式2:
如图，正方形ABCD的边长为
10，AG=CH=8BG=DH=6连接GH，则线段GH的长
变式3:
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”
，后人称为“赵爽弦
图”（如图5），图6是由弦图变化得到的，他是由八个全等的直角三角形拼接而成。
记图中
正方形ABCD正方形
EFGH正方形MNKT的面积分别为S、圧、$，若S+82+&=10,贝US=
二.勾股定理及逆定理分类讨论思想：
（易错点）
例题1、
在RtAABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为
变式1:
已知在△ABC中，AB=17,AC=10,BC边上的高等于8,则^ABC的周长为
变式2：
在^ABC中，AB=15,AC=13高AD=12,则三角形的周长是
变式3：
在^ABC中，AB=2J5，AC=4，BC=2以AB为边向△ABC外做△ABD，使△ABD为
等腰直角三角形，则线段CD的长为
方程思想:
AD，使点D落
例题2、已知：
如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边在BC边上的点F处，已知AB8cm,BC10cm,求：
（1）EC的长；
（2）求FEC的
面积;
例题3.在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13求^ABC的面积。
思考记忆：
正三角形，边长为a,面积为
变式1:
如图所示，已知△ABC中，/C=90°,AB的垂直平分线交BC?
于M交AB于N,若
AC=4,MB=2MC求AB的长.
他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了
2米，当他把绳子的
下端拉开旗杆底部8米时，发现绳子的末端刚好接触地面，旗杆的高度为
变式3:
小溪旁长着两棵树，恰好隔岸相望，一棵树A高30尺，一棵树B高20尺，两棵树
之间距离恰好为50尺，每棵树顶部都停有一只小鸟，忽然两只鸟同时看到两树间水面游出
一只小鱼，他们立刻以相同的速度飞去抓鱼，结果同时到达目标，问游鱼出现在距离A多少
尺?
构造直角三角形:
例题4四边形ABCD中，/A=135,/B=/D=90,BC恢,AD=2,则四边形
ABCD的面积是
变式1.如图，在四边形ABCD中B则AD=.
变式2:
如下（右）图一副直角三角板放置,
AC=5,CD的长.
/A=30°点D在AB上,/ACD=15°AD=]V1,
135o,C120o,AB苗,BC373,CD6,
点C在FD的延长线上，AB//CF,/F=/ACB=90°
变式3:
如图，△ABC中，AB=AC,则BC=变式4：
如图所示，P为ABC边BC上一点，且PC=2PB已知ABC=45,APC60,
求ACB的度数。
C
BN4,CP=5,求/APB的度数.
转化思想
例5.等边三角形ABC内一点P,AP=3,
PC=j7;求:
Rt△ABC中，/
CAB=90°,卩是^ABC内一点，且PA=1,PB=3,
/CPA的大小。
变式2:
如图,
O是等边△ABC内一点,
0A=3,OB=4,OC=5，将线段BO以点B为旋转中
心逆时针旋转
60°得到线段B0',下列结论:
其中正确的结论是
（只填正确的序号）
②点O与O的距离为4;
9后
⑤S^aoc+Saaob=6+
4
BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到;
③/AOB=150°;④四边形AOBO的面积为63J3;
DAE45,且BD3,CE4,求DE的
变式3.如图所示，在RtABC中，BAC90,ACAB,长.
变式4如图，△ABC是直角三角形，/CAB=90°,MCN45.
（1）当点M、N在AB上时，求证：
MN2AM2BN2
以上结论是否成立？
若不成立,
（2）将MCN绕点C旋转，当点M在BA的延长线上时,
请说明理由.
直角的判定:
例5、已知△ABC的三边
2
a、b、c满足条件a
b2
c2
33810a24b26c，求证:
△ABC是直角三角形.
变式1、如图，在四边形
ABCD中,
B90、
AB
BC4、
CD12、AD13，求
四边形ABCD的面积。
D
变式2如图RtABC中，ACB90
，CD
AB于D点，AC
b,BCa，CDh.
11
h2；（3）abc
h；（4）以ab、h、
1
有下列四种说法：
（1）ab=ch
（2）a2
ch为三边的三角形是直角三角形。
其中正确的有
（填序号）
格点问题
例6、如图，2X2的方格中小正方形的边长是
为（）
A、
B、
C迈
10
D、
A
1，点A、B
3/5
""F
变式1、
如图，方格纸中小正方形的边长为
△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上,
小明在观察探究时发现：
①△ABC勺形状是等腰三角形；ABC勺周长是2屮0+它2:
③
4
△ABC的面积是5;④点C到AB边的距离是討10.你认为小明观察的结论正确的序号有
EI【III
!
吧
J赳
变式2、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为
1,则网格上的三角形ABC中，边长
为无理数的边数是（）
A.0
变式3、如图，正方形网格中的△ABC
若小方格边长为
1,则^ABC是（）
A.直角三角形B.锐角三角形C.
钝角三角形D.
以上答案都不对
变式4、如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形
ABCD勺面积是（）
A.25B.12.5C.9
D.8.5
C
C
£
Zl
、
\
A
7
0
/
/
/
\
/
D
A
B
C
三.勾股定理实际应用最短路径问题例题1如图，长方体的长为15，宽为10，高为20,点B离点C的距离为5，已知蚂蚁如果
要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是（
B.25
c.1oV55
D.35
变式1、如图，一个无盖的长廊体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由
A出发，在盒子表面上爬到点
G，已知AB7、BC5、CG
求这只蚂蚁爬行的最短距离
bA
变式2图
变式2、如图，长方体的底面边长分别为
变式3图
1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A
开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要
cm;如果从点A
开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,所用细线最短需要
cm。
变式3、如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，
在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器
上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）
A.13cmB.2也TTcmC.cmD.^Mcm
影响判定问题
例题2如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在
点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。
该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？
试说明理由。
4北
沿BC方向以
过多长时间从
的危险，正在
D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才
变式1如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心,15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km那么台风中心经
B点移到D点？
如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏
C
，点A处有一所中学，那么拖拉机在公路MN
公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/QPN=30
周围100m以内会受到噪音的影响，
可脱离危险?
变式2:
如图，
AP=160m。
假设拖拉机行驶时，
上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？
请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
变式3:
某公司的大门如图所示,其中四边形ABCD是长方形,上部是以AD为直径的半圆,其中AB=2.3m,BC=2m,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5m,
宽为1.6m，问这辆卡车能否通过公司的大门？
并说明你的理由
A.（吉
）6B.（吉
）7C.（
V2
2
2
2
为（）
）6D.（乎）7
、选择题
1、以a、b、
A.a=1,b=2,
2、如图，在
综合练习
c三边长能构成直角三角形的是（
c=3B.a=32,b=42,c=52C.aVS,b^l,c卫D.a=5,b=6,c=7
RtAABC中,
ACB90°BC3,AC4,AB的垂直平
分线DE交BC的延长线于点
E.，则CE的长为（
-）
A、
25
6
D、2
A
C
3、如图，正方形ABCD的边长为2,其面积标记为
边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外
作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则
Si，以CD为斜
%
S9的值
E
D
二、填空题
1、如图，已知AB=16，DA丄AB于点A，CB丄AB于点B，
DA=10，CB=2,
AB上有一点E使
DE+EC最短，那么DE+EC的最短距离为
2、如图，已知△ABC中，/ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线|1,|2,
13上，且11，12之间的距离为2，12，13之间的距离为3，则AC的长是
3、如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为
3:
4:
5，按图中方法分别将其对折,
使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重叠部分面
知S+S3=39
则纸片A的面积是
（结果保留
4、如图，在同一平面内，两条平行高速公路I1和12间有一条Z”型道路连通，其中AB段与咼速公路11成30°夹角，长为20km,BC段与AB、CD段都垂直.长为10km，CD段长为30km，则高速公路间的距离为根号）
"3创
5、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过
4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要
2,则
6、（整体思想）已知Rt△ABC的周长是44j3，斜边上的中线长是
7、直角三角形周长为13cm，斜边长为5cm,
求直角三角形的面积
&四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形
ABCD,过各较长直
角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形
EFGH已知AM为RtAABM较长直角边,
AM=2西EF,则正方形ABCD的面积为
（用含s的式子表示）
（1）说明：
be2CF2EF2
三、解答题
1.在等腰直角三角形中，AB=AC点D是斜边BC的中点，点E、F分别为ABAC边上的点,
且DE1DF。
（2）若BE=12,CF=5,试求DEF的面积。
ZCES=45®.AE=^EC.WB£=
.CD=
钊4用
Zc\D、C三点在w-张rt找rilftBD.BE;以下W个站论：
①BD=g^SDlCfit@ZXCf4.ZZJj?
C=4y:
④片BJ・其中站论止修的
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