完整版勾股定理典型题总结较难.docx

1、完整版勾股定理典型题总结较难勾股定理一.勾股定理证明与拓展 模型一思考：如下图，以直角三角形 a、b、c为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系?岛 0S.也/例1、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图1），其中,长”了 2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是圉1三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生 出了 4个正方形（如图2）,如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生变式1:在直线I上依次摆放着七个正方形（如图1所示）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是S4 =

2、半圆，则阴影部分的面积为CBABC中，/ ACB= 90 AO BC= 6,空白部分面积为变式 2:如图，四边形 ABCD 中，AD / BC,/ ABC + / DCB=90 且 BC=2AD，以 AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为 S1、S2、S3，若S1=3 , S3=9，求S2.（变式3）10cm，在AB的同侧，分别以 AB BC AC为直径作三个（难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在 以 ABC的各边为边作三个正方形，点 G落在HI上，若 10.5，则阴影部分面积aW 17F.V模型二内弦图外弦图例题2.四年一度的国际数学大会于 2002年8月20日在北

3、京召开，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为5。求中间小正方形的面积为已知大正变式1:如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案,方形面积为25，小正方形面积为1，若用X、y表示直角三角形的两直角边（x y )，下列四个说法：X2 y2 25，Xy 2， 2xy 1 25， x y 9.其中说法正确的有（填序号）.（变式1）变式2:如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8 BG=DH=6 连接 GH，则线段 GH的长变式3 :我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称为“赵爽弦图”（如

4、图5），图6是由弦图变化得到的，他是由八个全等的直角三角形拼接而成。记图中正方形ABCD正方形EFGH正方形MNKT的面积分别为 S、圧、$，若S + 82+&=10,贝U S=二.勾股定理及逆定理 分类讨论思想：（易错点）例题1、在RtAABC中，已知两边长为 3、4，则第三边的长为变式1:已知在 ABC中，AB=17, AC=10, BC边上的高等于 8,则 ABC的周长为变式2：在 ABC中，AB=15,AC=13高AD=12,则三角形的周长是变式3：在 ABC 中，AB=2J5 ，AC=4，BC=2 以 AB 为边向 ABC 外做 ABD，使 ABD 为等腰直角三角形，则线段 CD的长

5、为方程思想:AD，使点D落例题2、已知：如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边 在BC边上的点F处，已知AB 8cm, BC 10cm,求：（1） EC的长；（2）求 FEC的面积;例题 3.在 ABC 中，AB=15, BC=14, AC=13 求 ABC的面积。思考记忆：正三角形，边长为 a,面积为变式1:如图所示，已知 ABC中，/ C=90, AB的垂直平分线交 BC?于 M交AB于N,若AC=4, MB=2MC求 AB的长.他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了2米，当他把绳子的下端拉开旗杆底部 8米时，发现绳子的末端刚好接触地面，旗杆的高度为变式3:小溪旁长着两棵树，恰好隔岸

6、相望，一棵树 A高30尺，一棵树B高20尺，两棵树之间距离恰好为50尺，每棵树顶部都停有一只小鸟，忽然两只鸟同时看到两树间水面游出一只小鱼，他们立刻以相同的速度飞去抓鱼， 结果同时到达目标， 问游鱼出现在距离 A多少尺?构造直角三角形:例题4四边形 ABCD中，/ A=135, / B=/ D=90 , BC恢,AD=2,则四边形ABCD的面积是变式1.如图，在四边形 ABCD中 B 则 AD = .变式2:如下（右）图一副直角三角板放置,AC=5 , CD 的长 ./ A=30 点 D 在 AB 上,/ ACD=15 AD=V1,135o, C 120o,AB 苗,BC 3 73,CD 6,

7、点 C在 FD 的延长线上，AB / CF, / F= / ACB=90 变式3:如图， ABC中，AB=AC , 则BC= 变式4：如图所示，P为 ABC边BC上一点，且PC=2PB已知 ABC =45 , APC 60 ,求 ACB的度数。CBN 4, CP= 5,求/ APB的度数.转化思想例5.等边三角形 ABC内一点P, AP= 3,PC=j7 ;求:Rt ABC 中，/CAB = 90,卩是 ABC 内一点，且 PA=1, P B=3,/ CPA的大小。变式2:如图,O是等边 ABC内一点,0A=3, OB=4, OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段B0,下列

8、结论:其中正确的结论是（只填正确的序号）点O与O的距离为4;9后 S aoc+Saaob=6+ 4BOA可以由 BOC绕点B逆时针旋转60得到;/ AOB=150 ;四边形AO BO的面积为6 3J3 ;DAE 45 ,且 BD 3,CE 4,求 DE 的变式3 .如图所示，在Rt ABC中，BAC 90 ,AC AB, 长.变式4如图， ABC是直角三角形，/ CAB =90 , MCN 45 .（1）当点M、N在AB上时，求证：MN2 AM 2 BN2以上结论是否成立？若不成立,（2）将 MCN绕点C旋转，当点M在BA的延长线上时,请说明理由.直角的判定:例5、已知 ABC的三边2a、b、

9、c满足条件ab2c2338 10a 24b 26c，求证: ABC是直角三角形.变式1、如图，在四边形ABCD 中,B 90、ABBC 4、CD 12、AD 13，求四边形ABCD的面积。D变式2如图Rt ABC中，ACB 90，CDAB于D点，ACb, BC a， CD h.1 1h2 ；( 3)a b ch ； (4)以 a b、h、1有下列四种说法：（1）ab=ch （2） a2c h为三边的三角形是直角三角形。其中正确的有（填序号）格点问题例6、如图，2 X 2的方格中小正方形的边长是为（）A、B、C迈10D、A1，点 A、B3/5F变式1、如图，方格纸中小正方形的边长为 ABC的三个

10、顶点都在小正方形的格点上,小明在观察探究时发现： ABC勺形状是等腰三角形；ABC勺周长是2屮0+它2:4 ABC的面积是5;点C到AB边的距离是 討10.你认为小明观察的结论正确的序号有EI 【II I! 吧 J 赳变式2、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形 ABC中，边长为无理数的边数是（ ）A. 0变式3、如图，正方形网格中的 ABC若小方格边长为1,则 ABC是 （ ）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对变式4、如图，小方格都是边长为 1的正方形，则四边形ABCD勺面积是（）A . 25 B. 12.5 C. 9D. 8.5CCZ

11、l、A70/DABC三.勾股定理实际应用 最短路径问题 例题1如图，长方体的长为15，宽为10，高为20,点B离点C的距离为5，已知蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B,需要爬行的最短距离是（B.25c.1oV5 5D.35变式1、如图，一个无盖的长廊体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A出发，在盒子表面上爬到点G，已知 AB 7、BC 5、CG求这只蚂蚁爬行的最短距离bA变式2图变式2、如图，长方体的底面边长分别为变式3图1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点 A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点 B,那么所用细线最短需要cm ;如果从点 A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,所用细线最短需要

12、cm。变式3、如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部 3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）A . 13cm B. 2也TTcm C. cm D. Mcm影响判定问题例题2如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从 A处运往正东方向的 M处，在点A处测得某岛C在北偏东60的方向上。该货船航行 30分钟到达B处，此时又测得该岛 在北偏东30的方向上，已知在 C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行， 该货船有无暗礁危险？试说明理由。4北沿B

13、C方向以过多长时间从的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才变式1如图，某沿海开放城市 A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心, 15km/h的速度向D移动，已知城市 A到BC的距离AD=100km那么台风中心经B点移到D点？如果在距台风中心 30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏C，点A处有一所中学， 那么拖拉机在公路 MN公路 MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN= 30周围100m以内会受到噪音的影响，可脱离危险?变式2:如图，AP= 160m。假设拖拉机行驶时，上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的

14、速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？变式3:某公司的大门如图所示,其中四边形ABCD是长方形,上部是以AD为 直径的半圆,其中AB =2.3 m, BC =2m ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5 m ,宽为1.6 m，问这辆卡车能否通过公司的大门？并说明你的理由A.(吉)6 B.(吉)7 C.(V2222为（ ）)6 D.(乎)7、选择题1、以 a、b、A.a=1, b=2,2、如图，在综合练习c三边长能构成直角三角形的是（c=3 B.a=32, b=42, c=52 C.aVS, bl, c卫 D.a=5, b=6, c=7RtA ABC 中,ACB 90 BC 3, AC

15、 4, AB 的垂直平分线DE交BC的延长线于点E.，则CE的长为（-)A、256D、2AC3、如图，正方形 ABCD的边长为2,其面积标记为边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S2，按照此规律继续下去，则Si，以CD为斜%S9的值ED二、填空题1、如图，已知 AB=16，DA丄AB于点A，CB丄AB于点B，DA=10，CB=2,AB上有一点E使DE+EC最短，那么DE+EC的最短距离为2、如图，已知 ABC中，/ ABC=90, AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线 |1, |2,13上，且11，12之间的距离为2，12，13之间的距离为

16、3，则AC的长是3、如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为3: 4: 5，按图中方法分别将其对折,使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点， 且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重叠部分面知 S+S3=39则纸片 A 的面积是,（结果保留4、如图，在同一平面内，两条平行高速公路I1和12间有一条Z”型道路连通，其 中AB段与咼速公路11成30夹角，长为20km, BC段与AB、CD段都垂直.长 为10km，CD段长为30km，则高速公路间的距离为 根号）3创5、如图，长方体的底面边长分别为 1cm和3cm高为6cm.如果用一根细线从点 A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要 2

17、,则6、（整体思想）已知Rt ABC的周长是4 4j3，斜边上的中线长是7、直角三角形周长为 13cm，斜边长为 5cm,求直角三角形的面积&四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD,过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为 S的小正方形EFGH已知 AM为RtAABM较长直角边,AM=2西EF,则正方形ABCD的面积为（用含s的式子表示）(1)说明：be2 CF2 EF2三、解答题1.在等腰直角三角形中， AB=AC点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB AC边上的点,且 DE1 DF。（2）若BE=12,CF=5,试求 DEF的面积。ZCES=45. AE=EC. W B=.CD=钊4用Zc D、C三点在w-张rt找r ilftBD. BE;以下W个站论：BD = g SDlCfit ZXCf4.ZZJj?C=4y :片BJ其中站论止修的