概率论与数理统计习题doc.docx

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概率论与数理统计习题doc

一、填空题

1.生产产品直到有5件正品为止，记录生产产品的总件数。

写出该随机试验的样本空间。

2.检验某种圆柱形产品，要求直径和长度合格才算合格。

以A记直径合格、B记长度合格，则直径合格但长度不合格可用集合表示为。

3.设A,3,C为随机事件，则至少出现一个，。

不出现应表示为。

4.若P（A）=0.6,P（AuB）=0.8，且A与8相互独立，则P（B）=。

5.已知事件A,B满足条件P（A）=0.4,P（B）=0.3,JELA9B互斥，则

P（AuB）=o

6.设A,B互斥，P（A）=0.3,P（B）=0.4,则P（AB）=。

7.已知p（A）=-fp（AiB）=-fp（B\A）=-9则p（AuB）=。

4*23

8.设某种动物由出生算起，活到20年以上的概率为0.8,活到70年以上的概率为0.2,问现在20岁的这种动物，它能活到70年以上的概率为。

9.两人独立地破译密码，他们单独译出密码的概率均为二则密码被译出的概率

2

为O

10.10件产品中有8件正品，2件次品，从中无放问任取2件产品，则恰有一件

次品的概率为o

二、某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产一种中成药，三地的供货量分别占40%,35%和25%,且用这三地的药材能生产出优等品的

概率分别为0.65,0.70和0.85o

（1）求从该药厂产品中任取出一件产品是

优等品的概率；

（2）如果取出的一件产品是优等品，求它的材料来自甲地的概率

三、一个箱中有20件产品，其中无次品的概率为0.8,有1件次品的概率为0.2；一位顾客从中随机抽取一件观察，若不是次品，则买下全部产品，否则不买，求顾客买下该产品的概率。

四、某保险公司把被保险人分为三类：

谨慎的、一般的、冒失的，统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30。

如果谨慎的占总的被保人数的20%,一般的占50%,冒失的占30%o

（1）求某被保人在一年内发生事故的概率；

（2）若此人在一年内发生事故，则他是谨慎的客户的概率是多少。

三、填空题

1.设离散型随机变量X的分布律为P（X=k）=b/（k=l,2,・・・）,且人>0,则

A=o

2.从1至10中任取一个数，记为X,若F（X=，）=&,（1=1,2,…,10）,则

K=o

3.已知随机变量X服从参数为；I的泊松分布，且P{X=0}=P{X=l}，则

A=O

4

4.今对正品率为一的一批电子元件进行测试，测到一件正品就停止，则测试次数X的分

5

布律是o

5.一均匀骰子在重复掷10次后，X表示点3出现的次数，则X服从二项分布,

其分布律为P{X=k）=o

6.用X表示某商店从早晨开始营业起到第一个顾客到达的等待时间（以分计），X

fl—r>0

的分布函数是F{x）='・则P（X<3}=,P{X=3}=

0,x<0

7.设随机变量X〜N（2,S）,且P（2

8.设随机变量X〜mi）,则有bX+〃〜

9.设随机变量X在［1,6］内服从均匀分布，贝J方程x2+Xx+1=0有实根的概率

为o

10.设X服从指数分布，则P{X〉1},P{X>2},P{X>3}之间的关系

是

二、设随机变量X的概率密度函数为/（*）=

asinx,0

0,*v0或x>〃;

（1）求0；

（2）求X的分布函数；（3）

三、设随机变量X的密度函数

/（x）=Ae*,—8

试求：

（1）常数A；

（2）分布函数F⑴；（3）P（X=2）；（4）P（|X|<1）。

0,x<0

四、己知连续型随机变量X的分布函数为0

1,x>\

求：

（1）常数c；

（2）X的概率密度函数；（3）概率P{-\

2

五、设随机变量X在区间（0,1）上服从均匀分布，求随机变量y=-2lnX的概率密度fY（y）

六、设随机变量X的概率密度为fx（x）=一，求随机变量Y=2X的概率

"（1+X）

四、填空题

1.己知随机变量X,Y的联合分布函数F（x,y）,则P{X<1}=

2.离散随机变量X与Y相互独立同分布，P{X=-1}=P{Y=T}=：

，P{X=1}=P{Y=1}=S.则P{X=Y}=o

3.已知X与F的联合分布律为：

25

p{x=o,y=o}=—,

P{X=0,K=1}=0,P{X=1,K=O}=j,P{X=l,y=l}=£

4.设二维随机变量（X,y）的分布律为

1

2

3

1

1

6

1

9

J_

18

2

13

a

fl

x和y相互独立，则。

=o

5.设二维随机变量（X,Y）的联合密度为/U,y）=W，0，<1,则常数

〔0,其他，

A=o

6.设二维随机变量（X,V）在矩形域D:

a

7.若（X,K）服从二维正态分布.其密度为

（》-//］广（-V-A1）（>t"A2）,（y

则X与丫相互独立的充

~7LP_T-

/（3）=I——

2切02』\_p

（7\（72

分必要条件是

p=。

8.设随机变量x和y是相互独立同分布的随机变量，且p{x=i}=p{f=1}=?

p{x=2}=p{v=2}=?

则p{x+y=2}=。

9.如果XRP（4）（i=l,2）,且相互独立，那么X1+X2口o

10.设X口N（m，’2）,ynN（%（y：

）,且相互独立，则

Z=X+K口o

二、离散型随机变量（X/）的概率分布如下表：

0

1

2

0

0.06

0.15

0.09

1

b

0.35

0.21

（1）求常数。

；

（2）问X与Y是否独立？

（3）求F{X〈1,YV1}

三、设二维随机变量（X,K）的联合概率密度为

4.8），（2-尤）,0,

0<%<1,0

（1）求X和Y的边缘概率密度；

（2）判断x和y是否相互独立。

四、设二维随机变量（x,y）的联合概率密度为

求（I）x和y的边缘概率密度；

（2）x和y是否相互独立?

五、填空题

1.从学校乘汽车到火车站途径三个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯是独立的，且概率都

为2/5,用X记途中遇到红灯的次数，则E（X）=e

2.若随机变量】满足E（X）=-1,Q（X）=2,则E（3X2-1）=。

3.已知随机变量X〜N（l,3）,K〜N（2,4）旦X,F相互独立，则顼2X-3K）—0

4.设随机变量X和V独立，则E（XY）=,

D（X±Y）=o

5.设随机变量X】,X2，X3独立，X］在［0,6］±服从均匀分布，X?

服从W,22）,

服从参数为4=3的泊松分布，记Y=Xl-2X2+3X3.则E（Y）=,

D（Y）=o

6.设E（X）=u，D（X）=cy\则对任意正数£,有P（|X-#|v£）>。

7.设随机变量X服从参数为人的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}・则D（X）

=0

8.设随机变量X〜N0,%2）,丫〜NE，。

；）,且相互独立.则对任意常数。

有6/X-bK服从的分布是o

9.设随机变量X的方差为2,则根据切比雪夫不等式有估计P{\X-E（X）\>2}

10.设随机变量X|,Xm・・,X〃独立同分布,期望为1、均方差为2,则〃充分大时，

近似地有£x,.□oi=l

二、设二维随机变量（x,r）的联合分布律如下：

求：

E（X）,D（X）。

X

0

1

2

0

0.06

0.15

0.09

1

a

0.35

0.21

三、设二维随机变量（x,y）的联合概率密度为

求E（XY）O

20,10

-5,其他

求销售一个零件的平均利润E（T）o

六、填空题

1.设从总体X抽样得到一个样本量为10的样本，其值为4.5,2.0,1.0,1.5,3.4,4.5,6.6,5.0,3.5,4.0,则样本均值元=，样本方差妒=。

2.若随机变量X〜/⑶，则E（X）=。

3.设随机变量X与K相互独立，X:

/（io）,Y：

Z2（5）,则E（X+2Y）二

4.设总体X,Y相互独立，且都服从正态分布N（0,4）,X”X2，X3，X4与匕，七,％，匕分

别是来自x,v的样本，则z=+—2+*3*%〜分布。

Jy：

+y；+y32+r42

5.设X|,X?

…,X〃为来自总体N（K）的一个样本，W已知，贝ij

6.已知总体X日N（0,32）,XPX2,---,X18为X的样木，则统计量

X3+...+X：

8.设总体X〜N（//,W）a，X2，…,X〃是来自总体X的样本，则随机变量灵〜

（/?

-l）S2X-JLI

—,S—,冷'

9.设随机变量7〜/（〃）,则广2〜o

10.设总体X的均值E（X）=jU和方差D（X）=S都存在，X“X2,…，X〃是取自X的样本，歹为样本均值，则顼不）=，D（X）=

二、己知（X|,Xu・・・，X〃）是泊松分布P（4）的样本，X^jS2分别为样本均值与样本

方差，试求:

（1）（X|,X2，・・・，X〃）的分布律;

（2）D（X）,E（S2）o

三、设总体X〜N（岫），XL…,X〃是X的样本.

（1）写出X|,X,,・・・，X〃的联合概率密度；

（2）求E（又）,D（X）,并写出样本均值又的概率密度。

四、设总体XQN（O,1）,X|,X2，X“X4为简单随机样本，当。

为何值时,

Xf

成+X；

服从F分布？

自由度是几？

七、填空题

1.设总体X服从参数为4的指数分布，1,1,2,2,3,3是总体的样本值，则4的矩估计值

2.设勺易，…叫是总体X口8（l,p）的样本值，其中〃个取值为1,则p的最大似然估计

值等于c

3.

设总体X具有分布律

其中eo<0v』是未知参数，己知取得了样本值：

-I,-1,0,2・则e的矩估

I3J

计值为；。

的最大似然估计值为

X"2，L,X〃是总体的样本，9Xn是样本观测值,则0日、J炬.伯计-电为；e的最大似然估计量为o

5.设x.x?

为总体X的一个样本,角=顼]+?

乂2,fi2=-xl+-x2均为〃的无偏

估计，则月和崖中较为有效的是O

6.设£（%）=//,D（X）=（y\XPX2是X的样本，令L+k*当〃是△的无偏估计量时，灯,化2满足的关系式为。

7.设总体X~N（/S）,X|,...,X〃是X的一个样本，S未知，则“的置信水平为1-a的置信区间是。

8.设总体X~N（收2）.现从总体取得容量为4样本值：

1.2,3.4,0.6,5.6.

若已知b=3,则关于“的置信水平为0.99的置信区间为。

二、设总体X的概率密度函数为

1--X

/•⑴二苛。

，企0,（°>o）

0,x<0.

叫，工2，・・・，工〃为其样本值。

求

（1）。

的矩估计值；

（2）。

的最大似然估计值。

三、设总体X具有分布律

X

1

2

3

P

伊

（14）2

其中。

（OvOvl）是未知参数，已知取得的样本值尤］=1,x2=2,=1,求。

的矩估计值和最大似然估计值。

四、设X】,X?

，…,X〃是来自总体X的简单随机样本且E（X）=",D（X）=a2,

Y表示样本均值，$2表示样本方差，记T=X2--S\证明：

E（T）=『°n

7

五、设4是参数e的无偏估计，且D（0）〉0,试证02=（0）~不是O2的无偏估计.