高考数学常用公式精华总结.docx
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高考数学常用公式精华总结
高中数学常用公式精华总结
1.元素与集合的关系
xAxCUA,xCUAxA.
2.德摩根公式
CU（AB）CUACUB;CU（AB）CUACUB.
3．集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空
的真子集有2n–2个.
4.二次函数的解析式的三种形式
（1）
一般式f（x）
ax2
bxc（a
0）
;
（2）
顶点式f（x）
a（x
h）2
k（a
0）;
（3）
零点式f（x）
a（x
x1）（x
x2）（a
0）.
5.方程f（x）0
在（k1,k2）
上有且只有一个实根
与f（k1）f（k2）
0不等价,前者是后者的一个必
要而不是充分条件
.特别地,
方程ax2
bxc
0（a0）有且只有一个实根在
（k1,k2）内,等价于
f（k1）f（k2）0,或f（k1）
0且k1
b
k1k2,或f（k2）
0且k1k2
b
k2.
2a
2
2
2a
6.闭区间上的二次函数的最值
二次函数f（x）ax2
bx
c（a0）
在闭区间
p,q上的最值只能在x
b
处及区间的两端
2a
点处取得，具体如下：
（可画图解决问题）
b
p,q，则f（x）min
f（
b
f（p）,f（q）；
（1）当a>0时，若x
）,f（x）max
max
b
2a
2a
p,q，f（x）max
maxf（p）,f（q），f（x）minminf（p）,f（q）.
x
2a
b
b
p,q，则f（x）min
min
f（p）,f（q）
，若x
p,q，则
（2）当a<0时，若x
2a
2a
f（x）max
maxf（p）,f（q）
，f（x）min
min
f（p）,f（q）.
7.真值表
ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ
1/15
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
8.常见结论的否定形式
原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有n个
至多有（n
1）个
小于
不小于
至多有n个
至少有（n
1）个
对所有x，
存在某x，
p或q
p且
q
成立
不成立
对任何x，
存在某x，
p且q
p或
q
不成立
成立
9.四种命题的相互关系
原命题
互逆
逆命题
若ｐ则ｑ
若ｑ则ｐ
互
互
互
为
为
互
否
否
逆
逆
否
否
否命题
逆否命题
若非ｐ则非ｑ
互逆
若非ｑ则非ｐ
10.充要条件
（1）充分条件：
若p
q，则p是q充分条件.
（2
）必要条件：
若
q
p，则p是q必要条件.
（3
）充要条件：
若
p
q，且q
p，则p是q充要条件.
注：
如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
11.函数的单调性
（1）设x1x2a,b,x1x2那么
（x
x
）
f（x）
f（x）
0
f（x1）
f（x2）
f（x）在a,b
2
0
1
1
2
x1
x2
（x1
x2）
f（x1）
f（x2）
0
f（x1）
f（x2）
f（x）在a,b
x1
0
x2
上是增函数；
上是减函数.
2/15
（2）设函数yf（x）在某个区间内可导，如果f（x）0，则f（x）为增函数；如果f（x）0，则
f（x）为减函数.
12.如果函数f（x）和g（x）都是减函数,则在公共定义域内,和函数f（x）g（x）也是减函数;如果
函数yf（u）和ug（x）在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g（x）]是增函数.
13．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点
对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
14.两个函数图象的对称性
（1）
函数y
f（x）与函数y
f（x）的图象关于直线
x
0（即y轴）对称.
（2）
同底的指数和对数函数互为反函数，图像关于直线
y=x对称。
15.
几个函数方程的周期（约定a>0）
f（x）
f（x
a），则f（x）的周期T=a；
16.分数指数幂
m
1
（1）
an
0,m,n
N，且n
1）.
（a
nam
m
1
（2）
a
n
0,m,n
N，且n
1）.
m（a
an
17．根式的性质
（1）（na）na.
（2）当n为奇数时，nan
a；
当n为偶数时，nan
a,a
0
|a|
.
a,a
0
18．有理指数幂的运算性质
（1）
aras
ars（a0,r,sQ）.
（2）
（ar）s
ars（a
0,r,s
Q）.
（3）
（ab）r
arbr（a
0,b
0,r
Q）.
注：
若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
19.指数式与对数式的互化式
3/15
logaNbabN（a0,a1,N0）.
20.对数的换底公式
logaN
logmN
0
且a
1,
m0
且m1,
N
0）.
（a
logma
推论log
a
m
b
n
nlog
a
b
（
a0
且
a1
m,n0
且
m1n1
N0
）.
m
21．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
（1）
loga（MN）
logaM
loga
N;
（2）
loga
M
logaM
logaN;
N
（3）
logaMn
nlogaM（nR）.
22.数列的同项公式与前n项的和的关系
a
s1,
n1
（数列{an}的前n项的和为sn
a1
a2
an）.
n
sn
sn1,n
2
23.等差数列的通项公式
an
a1
（n1）d
dn
a1
d（n
N*）；
其前n项和公式为
sn
n（a1
an）
na1
n（n
1）d
dn2
（a1
1d）n.
2
2
2
2
24.等比数列的通项公式an
a1qn1
a1qn（n
N*）；
q
sn
a1（1qn）,q1
或sn
a1
anq,q1
其前n项的和公式为
1q
1
q
.
na1,q
1
na1,q
1
25.同角三角函数的基本关系式
sin2cos21，tan=sin，
cos
27.正弦、余弦的诱导公式：
奇变偶不变，符号看象限。
28.和角与差角公式
sin（）sincoscossin;
cos（）coscossinsin;
4/15
tan（
tan
tan
）
.
1tan
tan
asin
bcos=a2
b2sin（）
（辅助角
所在象限由点
（a,b）的象限决定,tan
b
）.
a
29.二倍角公式
sin2
sin
cos.
cos2
cos2
sin2
2cos2
1
12sin2
.
tan2
2tan
.
1
tan2
30.三角函数的周期公式
函数y
sin（
x
），x∈R及函数y
cos（x
），x∈R（A,ω,
为常数，且A≠0，ω＞0）的
周期T
2
；
函数y
tan（
x
），x
k
k
Z（A,ω,
为常数，且
A≠0，ω＞0）的周期T.
2
31.正弦定理
a
b
c
2R.
sinAsinBsinC
32.余弦定理
a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.
33.面积定理
（1）S
1aha
1bhb
1chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）.
2
2
2
（2）S
1absinC
1bcsinA
1casinB.
2
2
2
34.三角形内角和定理
在△ABC中，有ABCC（AB）
sinC=sin（A+B）,cosC=-cos（A+B）,tanC=-tan（A+B）
35.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么
（1）结合律：
λ（μa）=（λμ）a;
（2）第一分配律：
（λ+μ）a=λa+μa;
（3）第二分配律：
λ（a+b）=λa+λb.
36.向量的数量积的运算律：
5/15
（1）a·b=b·a（交换律）;
（2）
（a）·b=
（a·b）=a·b=a·（
b）;
（3）
（a+b）·c=a·c+b·c.
37.平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
38．向量平行的坐标表示
设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），且b0，则ab（b0）x1y2x2y10.
39.a与b的数量积（或内积）
a·b=|a||b|cosθ．
40.a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
41.平面向量的坐标运算
（1）设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），则a+b=（x1x2,y1y2）.
（2）设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），则a-b=（x1x2,y1y2）.
（3）设A（x1,y1），B（x2,y2）,
则ABOB
OA（x2x1,y2y1）.
（4）
设a=（x,y）,
R，则a=（
x,y）.
（5）
设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），则a·b=（x1x2
y1y2）.
42.两向量的夹角公式
cos
x1x2
y1y2
（a=（x1,y1）,b=（x2,y2））.
y12
x22
x12
y22
43.平面两点间的距离公式
dA,B=|AB|
ABAB
（x2x1）2
（y2y1）2（A（x1,y1），B（x2,y2））.
44.向量的平行与垂直
设a=（x1,y1）,b=（x2,y2），且b0，则
A||bb=λax1y2x2y10.
6/15
ab（a0）a·b=0x1x2y1y20.
45.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为
A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3）,则△ABC的重心的坐标是
G（x1x2x3,y1
y2y3）.
3
3
46.三角形四“心”向量形式的充要条件
设O为ABC所在平面上一点，角
A,B,C所对边长分别为
a,b,c，则
（1）O为
ABC的外心
2
OB
2
2
OA
OC.
（2）O为
ABC的重心
OA
OB
OC0.
（3）O为
ABC的垂心
OAOB
OBOC
OCOA.
（4）O为
ABC的内心
aOA
bOB
cOC
0.
47.常用不等式：
（1）a,b
R
a2
b2
2ab（当且仅当a＝b时取“=”号）．
（2）a,b
R
a
b
ab（当且仅当a＝b时取“=”号）．
2
（3）a3
b3
c3
3abc（a
0,b0,c0）.
（4）a
b
a
b
a
b.
48.均值定理
已知x,y都是正数，则有
（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p；
（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值1s2.
4
49.一元二次不等式ax2bxc0（或0）（a0,b24ac0），如果a与ax2bxc同
号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之间.简言之：
同号两根之
外，异号两根之间.
x1xx2（xx1）（xx2）0（x1x2）；
7/15
xx1,或xx2（xx1）（xx2）0（x1x2）.
50.含有绝对值的不等式当a>0时，有
xa
x2
2
axa.
a
xa
x2
a2
xa或x
a.
51.指数不等式与对数不等式
（1）当a1时,
af（x）
ag（x）
f（x）g（x）;
f（x）
0
loga
f（x）
loga
g（x）
g（x）
0
.
f（x）
g（x）
（2）当
0
a
1
时,
af（x）
ag（x）
f（x）g（x）;
f（x）
0
loga
f（x）
loga
g（x）
g（x）
0
f（x）
g（x）
52..斜率公式
k
y2
y1（P1（x1,y1）、P2（x2,y2））.
x2
x1
53.直线的五种方程
（1）点斜式
y
y1
k（x
x1）（直线l过点P1（x1,y1），且斜率为k）．
（2）斜截式
y
kx
b（b为直线l在y轴上的截距）.
（3）两点式
y
y1
x
x1（y1y2）（P1（x1,y1）、P2（x2,y2）（x1x2））.
y2
y1
x2
x1
xy
（4）截距式1（a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0）
ab
（5）一般式AxByC0（其中A、B不同时为0）.
54.两条直线的平行和垂直
8/15
（1）
若l1
:
y
k1x
b1，l2:
yk2x
b2
①l1||l2
k1k2,b1
b2;
②l1l2
k1k2
1.
（2）
若l1
:
A1xB1y
C1
0,l2:
A2x
B2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①l1||l2
A1
B1
C1
；
A2
B2
C2
②l1l2
A1A2
B1B2
0；
55．四种常用直线系方程
（1）定点直线系方程：
经过定点
00
0
的直线系方程为
0
0
）
（除直线
xx0
）,其
P（x
y）
yy
k（xx
中k是待定的系数;经过定点P0（x0,y0）的直线系方程为
A（x
x0）B（y
y0）
0,其中A,B是
待定的系数．
（2）
共点直线系方程：
经过两直线l1:
A1xB1yC1
0,
l2:
A2x
B2yC2
0的交点的直线系方
程为（A1xB1yC1）
（A2x
B2y
C2）
0（除l2），其中λ是待定的系数．
（3）
平行直线系方程：
直线
y
kxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线
Ax
ByC0平行的直线系方程是
Ax
By
0（
0），λ是参变量．
（4）
垂直直线系方程：
与直线AxBy
C
0（A≠0，B≠0）垂直的直线系方程是
BxAy
0,
λ是参变量．
56.点到直线的距离
d
|Ax0
By0
C|（点P（x0,y0）,直线l：
AxByC0）.
A2
B2
57.
Ax
By
C
0或
0所表示的平面区域
设直线l:
Ax
By
C
0，则AxByC0或
0所表示的平面区域是：
若B
0，当
B与Ax
ByC同号时，表示直线
l的上方的区域；当
B与AxBy
C异号时，
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