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高考数学常用公式精华总结

高中数学常用公式精华总结

1.元素与集合的关系

xAxCUA,xCUAxA.

2.德摩根公式

CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.

 

3.集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2n个;真子集有2n–1个;非空子集有2n–1个;非空

 

的真子集有2n–2个.

4.二次函数的解析式的三种形式

(1)

一般式f(x)

ax2

bxc(a

0)

;

(2)

顶点式f(x)

a(x

h)2

k(a

0);

(3)

零点式f(x)

a(x

x1)(x

x2)(a

0).

 

5.方程f(x)0

在(k1,k2)

上有且只有一个实根

与f(k1)f(k2)

0不等价,前者是后者的一个必

要而不是充分条件

.特别地,

方程ax2

bxc

0(a0)有且只有一个实根在

(k1,k2)内,等价于

f(k1)f(k2)0,或f(k1)

0且k1

b

k1k2,或f(k2)

0且k1k2

b

k2.

2a

2

2

2a

6.闭区间上的二次函数的最值

二次函数f(x)ax2

bx

c(a0)

在闭区间

p,q上的最值只能在x

b

处及区间的两端

2a

点处取得,具体如下:

(可画图解决问题)

b

p,q,则f(x)min

f(

b

f(p),f(q);

(1)当a>0时,若x

),f(x)max

max

b

2a

2a

p,q,f(x)max

maxf(p),f(q),f(x)minminf(p),f(q).

x

2a

b

b

p,q,则f(x)min

min

f(p),f(q)

,若x

p,q,则

(2)当a<0时,若x

2a

2a

f(x)max

maxf(p),f(q)

,f(x)min

min

f(p),f(q).

7.真值表

pq非pp或qp且q

1/15

8.常见结论的否定形式

原结论

反设词

原结论

反设词

不是

至少有一个

一个也没有

都是

不都是

至多有一个

至少有两个

大于

不大于

至少有n个

至多有(n

1)个

小于

不小于

至多有n个

至少有(n

1)个

对所有x,

存在某x,

p或q

p且

q

成立

不成立

对任何x,

存在某x,

p且q

p或

q

不成立

成立

9.四种命题的相互关系

原命题

互逆

逆命题

若p则q

若q则p

否命题

逆否命题

若非p则非q

互逆

若非q则非p

 

10.充要条件

(1)充分条件:

若p

q,则p是q充分条件.

(2

)必要条件:

q

p,则p是q必要条件.

(3

)充要条件:

p

q,且q

p,则p是q充要条件.

注:

如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.

11.函数的单调性

(1)设x1x2a,b,x1x2那么

 

(x

x

f(x)

f(x)

0

f(x1)

f(x2)

f(x)在a,b

2

0

1

1

2

x1

x2

(x1

x2)

f(x1)

f(x2)

0

f(x1)

f(x2)

f(x)在a,b

x1

0

x2

 

上是增函数;

 

上是减函数.

2/15

(2)设函数yf(x)在某个区间内可导,如果f(x)0,则f(x)为增函数;如果f(x)0,则

 

f(x)为减函数.

 

12.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;如果

 

函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.

 

13.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点

对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.

14.两个函数图象的对称性

(1)

函数y

f(x)与函数y

f(x)的图象关于直线

x

0(即y轴)对称.

(2)

同底的指数和对数函数互为反函数,图像关于直线

y=x对称。

15.

几个函数方程的周期(约定a>0)

f(x)

f(x

a),则f(x)的周期T=a;

16.分数指数幂

m

1

(1)

an

0,m,n

N,且n

1).

(a

nam

m

1

(2)

a

n

0,m,n

N,且n

1).

m(a

an

17.根式的性质

(1)(na)na.

(2)当n为奇数时,nan

a;

当n为偶数时,nan

a,a

0

|a|

.

a,a

0

18.有理指数幂的运算性质

(1)

aras

ars(a0,r,sQ).

(2)

(ar)s

ars(a

0,r,s

Q).

(3)

(ab)r

arbr(a

0,b

0,r

Q).

注:

若a>0,p是一个无理数,则ap表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.

19.指数式与对数式的互化式

3/15

logaNbabN(a0,a1,N0).

 

20.对数的换底公式

logaN

logmN

0

且a

1,

m0

且m1,

N

0).

(a

logma

推论log

a

m

b

n

nlog

a

b

a0

a1

m,n0

m1n1

N0

).

m

21.对数的四则运算法则

若a>0,a≠1,M>0,N>0,则

(1)

loga(MN)

logaM

loga

N;

(2)

loga

M

logaM

logaN;

N

(3)

logaMn

nlogaM(nR).

22.数列的同项公式与前n项的和的关系

a

s1,

n1

(数列{an}的前n项的和为sn

a1

a2

an).

n

sn

sn1,n

2

23.等差数列的通项公式

an

a1

(n1)d

dn

a1

d(n

N*);

其前n项和公式为

sn

n(a1

an)

na1

n(n

1)d

dn2

(a1

1d)n.

2

2

2

2

24.等比数列的通项公式an

a1qn1

a1qn(n

N*);

q

sn

a1(1qn),q1

或sn

a1

anq,q1

其前n项的和公式为

1q

1

q

.

na1,q

1

na1,q

1

25.同角三角函数的基本关系式

sin2cos21,tan=sin,

cos

27.正弦、余弦的诱导公式:

奇变偶不变,符号看象限。

28.和角与差角公式

sin()sincoscossin;

 

cos()coscossinsin;

 

4/15

tan(

tan

tan

.

1tan

tan

 

asin

bcos=a2

b2sin()

(辅助角

所在象限由点

(a,b)的象限决定,tan

b

).

a

29.二倍角公式

sin2

sin

cos.

cos2

cos2

sin2

2cos2

1

12sin2

.

tan2

2tan

.

1

tan2

30.三角函数的周期公式

函数y

sin(

x

),x∈R及函数y

cos(x

),x∈R(A,ω,

为常数,且A≠0,ω>0)的

周期T

2

函数y

tan(

x

),x

k

k

Z(A,ω,

为常数,且

A≠0,ω>0)的周期T.

2

31.正弦定理

a

b

c

2R.

sinAsinBsinC

32.余弦定理

a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.

33.面积定理

(1)S

1aha

1bhb

1chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高).

2

2

2

(2)S

1absinC

1bcsinA

1casinB.

2

2

2

34.三角形内角和定理

在△ABC中,有ABCC(AB)

 

sinC=sin(A+B),cosC=-cos(A+B),tanC=-tan(A+B)

35.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数,那么

(1)结合律:

λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律:

(λ+μ)a=λa+μa;

(3)第二分配律:

λ(a+b)=λa+λb.

36.向量的数量积的运算律:

5/15

(1)a·b=b·a(交换律);

(2)

(a)·b=

(a·b)=a·b=a·(

b);

(3)

(a+b)·c=a·c+b·c.

37.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e1+λ2e2.

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

38.向量平行的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b0,则ab(b0)x1y2x2y10.

39.a与b的数量积(或内积)

a·b=|a||b|cosθ.

40.a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.

41.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1x2,y1y2).

 

(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1x2,y1y2).

 

(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),

则ABOB

OA(x2x1,y2y1).

(4)

设a=(x,y),

R,则a=(

x,y).

(5)

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=(x1x2

y1y2).

42.两向量的夹角公式

cos

x1x2

y1y2

(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

y12

x22

x12

y22

43.平面两点间的距离公式

dA,B=|AB|

ABAB

(x2x1)2

(y2y1)2(A(x1,y1),B(x2,y2)).

44.向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b0,则

 

A||bb=λax1y2x2y10.

 

6/15

ab(a0)a·b=0x1x2y1y20.

45.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为

A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是

G(x1x2x3,y1

y2y3).

3

3

46.三角形四“心”向量形式的充要条件

设O为ABC所在平面上一点,角

A,B,C所对边长分别为

a,b,c,则

(1)O为

ABC的外心

2

OB

2

2

OA

OC.

(2)O为

ABC的重心

OA

OB

OC0.

(3)O为

ABC的垂心

OAOB

OBOC

OCOA.

(4)O为

ABC的内心

aOA

bOB

cOC

0.

47.常用不等式:

(1)a,b

R

a2

b2

2ab(当且仅当a=b时取“=”号).

(2)a,b

R

a

b

ab(当且仅当a=b时取“=”号).

2

(3)a3

b3

c3

3abc(a

0,b0,c0).

(4)a

b

a

b

a

b.

48.均值定理

已知x,y都是正数,则有

(1)若积xy是定值p,则当xy时和xy有最小值2p;

(2)若和xy是定值s,则当xy时积xy有最大值1s2.

4

49.一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0),如果a与ax2bxc同

 

号,则其解集在两根之外;如果a与ax2bxc异号,则其解集在两根之间.简言之:

同号两根之

外,异号两根之间.

x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2);

 

7/15

xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).

50.含有绝对值的不等式当a>0时,有

xa

x2

2

axa.

a

xa

x2

a2

xa或x

a.

51.指数不等式与对数不等式

(1)当a1时,

af(x)

ag(x)

f(x)g(x);

f(x)

0

loga

f(x)

loga

g(x)

g(x)

0

.

f(x)

g(x)

(2)当

0

a

1

时,

af(x)

ag(x)

f(x)g(x);

f(x)

0

loga

f(x)

loga

g(x)

g(x)

0

f(x)

g(x)

52..斜率公式

k

y2

y1(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)).

x2

x1

53.直线的五种方程

(1)点斜式

y

y1

k(x

x1)(直线l过点P1(x1,y1),且斜率为k).

(2)斜截式

y

kx

b(b为直线l在y轴上的截距).

(3)两点式

y

y1

x

x1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1x2)).

y2

y1

x2

x1

xy

(4)截距式1(a、b分别为直线的横、纵截距,a、b0)

ab

(5)一般式AxByC0(其中A、B不同时为0).

 

54.两条直线的平行和垂直

8/15

(1)

若l1

:

y

k1x

b1,l2:

yk2x

b2

①l1||l2

k1k2,b1

b2;

②l1l2

k1k2

1.

(2)

若l1

:

A1xB1y

C1

0,l2:

A2x

B2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零,

 

①l1||l2

A1

B1

C1

A2

B2

C2

②l1l2

A1A2

B1B2

0;

55.四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程:

经过定点

 

00

0

的直线系方程为

0

0

(除直线

xx0

),其

P(x

y)

yy

k(xx

中k是待定的系数;经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为

A(x

x0)B(y

y0)

0,其中A,B是

待定的系数.

(2)

共点直线系方程:

经过两直线l1:

A1xB1yC1

0,

l2:

A2x

B2yC2

0的交点的直线系方

程为(A1xB1yC1)

(A2x

B2y

C2)

0(除l2),其中λ是待定的系数.

(3)

平行直线系方程:

直线

y

kxb中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系方程.与直线

Ax

ByC0平行的直线系方程是

Ax

By

0(

0),λ是参变量.

(4)

垂直直线系方程:

与直线AxBy

C

0(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是

BxAy

0,

 

λ是参变量.

56.点到直线的距离

d

|Ax0

By0

C|(点P(x0,y0),直线l:

AxByC0).

A2

B2

57.

Ax

By

C

0或

0所表示的平面区域

设直线l:

Ax

By

C

0,则AxByC0或

0所表示的平面区域是:

若B

0,当

B与Ax

ByC同号时,表示直线

l的上方的区域;当

B与AxBy

C异号时,

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