利用零点分段法解含多绝对值不等式演示教学.docx
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利用零点分段法解含多绝对值不等式演示教学
利用零点分段法解含
多绝对值不等式
利用零点分段法解含多绝对值不等式
对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题，不少同学感到无从下手，下面介绍一种通法一一零点分段讨论法.
一、步骤
通常分三步：
⑴找到使多个绝对值等于零的点.
⑵分区间讨论，去掉绝对值而解不等式.一般地n个零点把数轴分为n+1段进行讨论.
⑶将分段求得解集，再求它们的并集.
二、例题选讲
例1求不等式X+2+X—1|>3的解集.
分析：
据绝对值为零时x的取值把实数分成三个区间，再分别讨论而去掉
解:
X+2匸
x2（x
x2（x
2），|x-1|=
2）
x1x1）
1x（x1）
绝对值.从而转化为不含绝对值的不等式.
故可把全体实数x分为三个部分：
①XV—2,②—21.
所以原不等式等价于下面三个不等式组:
（I）
不等式组（I）的解集是｛x|xv—2｝，
不等式组（n）的解集是，
不等式组（川）的解集是｛x|x>1｝.
综上可知原不等式的解集是｛x|xv—2或x>1｝.
例2解不等式X—1|+|2-x|>3-x.
解：
由于实数1,2将数轴分成（-s,1],（1,2],（2,+^）三部分，故分三个区间来讨论.
⑴当x<1时，原不等式可化为一（X-1）-（X-2）>x+3,即xv0.故不等式的解集是{x|xv0}.
⑵当1vx<2时，原不等式可化为（x-1）-（x-2）>x+3,即xv-2.故不等式的解集是.
⑶当x>2时，原不等式可化为（x—1）+（x—2）>x+3,即x>6.故不等式的解集是{x|x>6}.
综上可知，原不等式的解集是{x|xv0或x>6}.
例3已知关于x的不等式|x-5|+|x-3|va的解集是非空集合，求a的取值范围.
解：
Tx=5时，|x-5|=0;x=3时，|x-3|=0.
⑴当xW3时，原不等式可化为一x+5—x+3va,即卩a>8—2x,由xw3,所以—2x>-6,故a>2.
⑵当3vx<5时，原不等式可化为一x+5+x-3va,即卩a>2.
⑶当x>5时，原不等式可化为x—5+x—3va,即a>2x—8>10—8—2,故a>2.
综上知a>2.
无理不等式与绝对值不等式
•考试目标主词填空
1.含有绝对值的不等式
1f（x）|0）,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是—a2f（x）|>a（a>0）,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是f（x）>a或f（x）<—a.
3f（x）|>|g（x）|f2（x）>g2（x）.
2.无理不等式
对于无理不等式的求解，通常是转化为有理不等式（或有理不等式组）求解.
其基本类型有两类：
①..f（x）g（x）
g（x）0卡g（x）0
2或
f（x）g（x）2f（x）0
f（x）0
②f（x）g（x）
g（x）0.
2
f（x）g（x）
3•含有多个绝对值符号的不等式，通常是“分段讨论”，去掉绝对值符号
4.某些无理不等式和绝对值不等式，可用“换元法”或图像法求解
5•三角不等式
Ha|—|b||<|a±b|<|a|+|b|,此不等式可推广如下：
|ai+a2+a3+・・+an|三|ai|+|a2|+|a3|+・・+|an|当且仅当ai,a2,a3,・・an符号相同时取等
号.
•题型示例点津归纳
【例1】解无理不等式.
（1）x1>2;
⑵X1>2x—4;
⑶X1<2x+1.
【解前点津】
（1）因2>0,故原不等式可化为不等式组：
X14
（2）因右边2x符号不定，故须分两种情况讨论，（3）与
（2）类似，也须讨论.
X10X1
【规范解答】⑴化原不等式为：
X1ux1X5.
x14X5
x10
2x40
X10
（2）化原不等式为：
2x40或
（x1）（2x4）2
（3）化原不等式为两个不等式组：
x10
2x10
x1（2x1）2
【解后归纳】
x1
x1x0.
2
2
4x3x0
将无理不等式转化为有理不等式组，基本思路是分类讨论，
要注意解集的交、并运算•对于那些复杂的无理不等式，一般情况下读者不要去
研究它，避免消耗太多精力.
【例2】解下列含有绝对值的不等式：
2
（1）|X2-4|⑵|x+1|>|2x—1|;
（3）|x-1|+|2x+1|<4.
【解前点津】⑴可直接去掉绝对值符号，转化为-（x+2）（2）
1
两边平方，去掉绝对值符号；（3）当x=1,——时，有X-1=0及2x+1=0,故可分段讨
2
论，去掉绝对值符号.
【规范解答】
（1）原不等式可化为：
故原不等式的解集为[1,3]U{—2}.
（2）化原不等式为|x+1|2>|2x—1|2（2x—1）2—（x+1）2<0.
（2x—1+x+1）（2x—1—x—1）<03x（x—2）<001
⑶令x—1=0得x=1,令2x+1=0得x=——.
2
当x€,1时原不等式可化为：
—（x—1）—
（2x+1）<4
3x4
1
当x€J时，原不等式可化为：
一（x—1）+（2x+1）<4.
-2
x14
当x€（1,+x）时，原不等式可化为:
（x—1）+（2x+1）<4,故由1x-.
3x43
综上所述知:
3,2i，11,3雳为原不等式解集
【解后归纳】解含有两个或两个以上绝对值的不等式，一般方法是分段讨
论得出原不等式解集的子集，最后取并集，如何分段？
分几段？
这只须算出“分点”
即可，即“绝对值”为）时的变量取值，n个不同的分点，将数轴分割成了（n+1）段.
-3
【例3】若不等式.xax-的解集是（4,m）,求a,m的值.
2
【解前点津】在同一坐标系中作出两个函数y二、x（x>0）及y=ax+|（x>0）的图像.若y=..x的图像位于y=ax+|图像的上方，则与之对应的x的取值范围就是不等式的解.
不等式xax2的解即当yi=x的图像在y2=ax+|（x>0）的图像上方时相
1_|_|
x=4代入xax2得:
44a2
再求方程x8x2的另一个解，得：
x=36,即仆26.
【解后归纳】用图像法解不等式，须在同一坐标系中作出两个函数的图
像，且图像必须在“公共定义域内”，要确定那一部分的图像对应于不等式的解
【例4】解不等式|log2x|+|log2（2—x）|>1.
【解前点津】从x的可取值范围入手，易知0vx<2,当x分别在0,1及（1,2）
上取值时，可同时去掉两个绝对值符号.
【规范解答】Ix>0且2—x>0故0当x€0,1时，因Iog2xw0,log2（2—x）>0,故此时原不等式为：
2x
—Iog2x+log2（2—x）>1Iog2>Iog22
x
2x2x0x2.
0x13
当x€（1,2）时，因为Iog2x>0,log2（2—x）<0,故此时原不等式为:
故原不等式的解集为
【解后归纳】
本题利用对数函数的性质，去掉了绝对值符号，从而转化为
°，1
4,2.
分式不等式组.
5.2.3无理不等式的解法
、典型例题:
例1、解不等式3x4x30
例2、解不等式.x23x243x
例3、解不等式..2x26x4x2
例4、解不等式.2x1,x11
例5、解不等式x21ax1（a0）
例&解不等式32x.x11
三、小结:
四、反馈练习：
解下列不等式
1.2x3、3x5、5x6
2.3x3.x33xx3
3.、4Jx2x
4.（x1）x2x20
5.、2x.x11
第6课无理不等式与绝对值不等式习题解答
1.C对a=3进行检验，考虑不等式的几何意义.
2.C利用x>0,化简另一个不等式.
3.D由0147
4.B由4—x2>0且x+1>0且4—x2v（x+1）225.B分别画出:
y=.a2x2，与y=2x+a的图像，看图作答.
6.B|x—a|<&|y—a|<£|x—y|=|（x—a）—（y—a）|<|x—a|+y—a|<才s=2®
当|x—y|<2£时不能推出|x—a|<£Jfy—a|<£
7.A若0|lgc|>|lgb|>0,ac—1—（a+c）=ac+1—a—
c=（c—1）（a—1）<0,•••ac+18.B因x>0,当log2x<0时，不等式成立，此时00
时」2x+log2x|=2x+|log2x|.
9.B.4x2上丄当0x
10.由（|x|—1）（|x|—3）<01<|x|<3x€（—3,—1）U（1,3）.
11.由x>0知,x—x—2<0,（x—2）（-x+1）<00W.x<2012.考察y=1x2,y=x+a的图像，即直线y=x+a在半圆x2+y2=1（y>0）上方a€
（2,+x）.
3x0x30
13.
（1）化原不等式为:
x3（3x）或3x013x>1.
x10
（2）化原不等式为：
12x20
（x1）212x2
x1
22
x
22
3x22x0
原不等式解集为:
#|。
乎
11
解之:
XV—7或-VXW5或x>5,故原不等式解集为：
（一x，-7）u（-,+^）.
33
15.由a（a—x）>0x（1）当x>a时,a—2x<0,不等式成立，故-22
aq3aa
⑵当x<时,a—2x>0,平方得a（a—x）>（a—2x）2,0242
综上所述得：
0,a•
11
16.化原不等式为：
|2logax+1|—|logax+2|<，令t=logax,
1111
则|2t+1|—|t+2|<，解之得：
一1当a>1时,解集为C,3a）,
a
当0a
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