全国卷Ⅱ理科.docx
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全国卷Ⅱ理科
全国卷Ⅱ（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．3＋i,1＋i＝（ ）
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋iD．2－i
解析：
3＋i,1＋i＝（3＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）＝4－2i,2＝2－i，选择D.
答案：
D
2．设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（ ）
A．{1，－3}B．{1,0}
C．{1,3}D．{1,5}
解析：
因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}，选择C.
答案：
C
3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：
“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
”意思是：
一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏B．3盏
C．5盏D．9盏
解析：
每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得a1（1－27）,1－2＝381，解得a1＝3，选择B.
答案：
B
4.
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）
A．90πB．63π
C．42πD．36π
解析：
法一：
由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V＝π×32×10－1,2×π×32×6＝63π.
法二：
依题意，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V＝π×32×7＝63π，选择B.
答案：
B
5．设x，y满足约束条件2x＋3y－3≤0，
2x－3y＋3≥0，
y＋3≥0，则z＝2x＋y的最小值是（ ）
A．－15B．－9
C．1D．9
解析：
法一：
作出不等式组2x＋3y－3≤0，
2x－3y＋3≥0，
y＋3≥0对应的可行域，如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A（0,1），B（－6，－3），C（6，－3），当直线z＝2x＋y过点B（－6，－3）时，z取得最小值，zmin＝2×（－6）－3＝－15，选择A.
法二：
易求可行域顶点A（0,1），B（－6，－3），C（6，－3），分别代入目标函数，求出对应的z的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.
答案：
A
6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种B．18种
C．24种D．36种
解析：
因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有C24C12C11,A22＝6种，再分配给3个人，有A33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36（种）．
答案：
D
7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：
你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：
我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩
B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩
D．乙、丁可以知道自己的成绩
解析：
依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选择D.
答案：
D
8.执行如图的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝（ ）
A．2B．3
C．4D．5
解析：
运行程序框图，a＝－1，S＝0，K＝1，K≤6成立；S＝0＋（－1）×1＝－1，a＝1，K＝2，K≤6成立；S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，K＝3，K≤6成立；S＝1＋（－1）×3＝－2，a＝1，K＝4，K≤6成立；S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，K＝5，K≤6成立；S＝2＋（－1）×5＝－3，a＝1，K＝6，K≤6成立；S＝－3＋1×6＝3，a＝－1，K＝7，K≤6不成立，输出S＝3.选择B.
答案：
B
9．若双曲线C：
x2,a2－y2,b2＝1（a>b，b>0）的一条渐近线被圆（x－2）2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ）
A．2B．3
C．2D．23,3
解析：
依题意，双曲线C：
x2,a2－y2,b2＝1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为bx－ay＝0.因为直线bx－ay＝0被圆（x－2）2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以|2b|,b2＋a2＝4－1，所以3a2＋3b2＝4b2，所以3a2＝b2，所以e＝1＋b2,a2＝1＋3＝2，选择A.
答案：
A
10．已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）
A．3,2B．15,5
C．10,5D．3,3
解析：
法一：
如图所示，将直三棱柱ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝5，AD1＝2.在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，所以B1D1＝12＋22－2×1×2×cos60°＝3，所以cos∠B1AD1＝5＋2－3,2×5×2＝10,5，选择C.
法二：
如图，设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1的中点，连接MN，NP，MP，则MN∥AB1，NP∥BC1，所以∠PNM或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．易知MN＝1,2AB1＝5,2，NP＝1,2BC1＝2,2.取BC的中点Q，连接PQ，MQ，可知△PQM为直角三角形，PQ＝1，MQ＝1,2AC.在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝4＋1－2×2×1×－1,2＝7，所以AC＝7，MQ＝7,2.在△MQP中，MP＝MQ2＋PQ2＝11,2，则在△PMN中，cos∠PNM＝MN2＋NP2－PM2,2·MN·NP＝5,22＋2,22－11,22,2×5,2×2,2＝－10,5，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为10,5.
答案：
C
11．若x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，则f（x）的极小值为（ ）
A．－1B．－2e－3
C．5e－3D．1
解析：
因为f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1，所以f′（x）＝（2x＋a）ex－1＋（x2＋ax－1）ex－1＝[x2＋（a＋2）x＋a－1]ex－1.因为x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，所以－2是x2＋（a＋2）x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′（x）＝（x2＋x－2）ex－1＝（x＋2）（x－1）ex－1.令f′（x）>0，解得x<－2或x>1，令f′（x）<0，解得－2（1）＝－1，选择A.
答案：
A
12．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·（PB＋PC）的最小值是（ ）
A．－2B．－3,2
C．－4,3D．－1
解析：
如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，3），B（－1,0），C（1,0），设P（x，y），则PA＝（－x，3－y），PB＝（－1－x，－y），PC＝（1－x，－y），所以PA·（PB＋PC）＝（－x，3－y）·（－2x，－2y）＝2x2＋2y－3,22－3,2，当x＝0，y＝3,2时，PA·（PB＋PC）取得最小值，为－3,2，选择B.
答案：
B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX＝__________.
解析：
依题意，X～B（100,0.02），所以DX＝100×0.02×（1－0.02）＝1.96.
答案：
1.96
14．函数f（x）＝sin2x＋3cosx－3,4x∈0，π,2的最大值是__________．
解析：
依题意，f（x）＝sin2x＋3cosx－3,4＝－cos2x＋3cosx＋1,4＝－cosx－3,22＋1，因为x∈0，π,2，所以cosx∈[0,1]，因此当cosx＝3,2时，f（x）max＝1.
答案：
1
15．等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则∑n,k＝11,Sk＝__________.
解析：
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意，a1＋2d＝3，
4a1＋6d＝10，即a1＋2d＝3，
2a1＋3d＝5，解得a1＝1，
d＝1，所以Sn＝n（n＋1）,2，因此∑n,k＝11,Sk＝21－1,2＋1,2－1,3＋…＋1,n－1,n＋1＝2n,n＋1.
答案：
2n,n＋1
16．已知F是抛物线C：
y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝__________.
解析：
法一：
依题意，抛物线C：
y2＝8x的焦点F（2,0），准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M（a，b）（b>0），所以a＝1，b＝22，所以N（0,42），|FN|＝4＋32＝6.
法二：
依题意，抛物线C：
y2＝8x的焦点F（2,0），准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|＝1－（－2）＝3，|FN|＝2|MF|＝6.
答案：
6
三、解答题（解答应写出文明说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A＋C）＝8sin2B,2.
（1）求cosB；
（2）若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.
解析：
（1）由题设及A＋B＋C＝π得
sinB＝8sin2B,2，故sinB＝4（1－cosB）．
上式两边平方，整理得
17cos2B－32cosB＋15＝0，
解得cosB＝1（舍去），或cosB＝15,17.
（2）由cosB＝15,17得sinB＝8,17，故S△ABC＝1,2acsinB＝4,17ac.又S△ABC＝2，则ac＝17,2.
由余弦定理及a＋c＝6得
b2＝a2＋c2－2accosB
＝（a＋c）2－2ac（1＋cosB）
＝36－2×17,2×1＋15,17
＝4.
所以b＝2.
18．（本小题满分12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：
kg），其频率分布直方图如下：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．
附：
P（K2≥k）
0.50
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2＝n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）．
解析：
（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”．
由题意知P（A）＝P（BC）＝P（B）P（C）．
旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
（0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040）×5＝0.62，
故P（B）的估计值为0.62.
新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为
（0.068＋0.046＋0.010＋0.008）×5＝0.66，
故P（C）的估计值为0.66.
因此，事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.4092.
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量<50kg
箱产量≥50kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
K2＝200×（62×66－34×38）2,100×100×96×104≈15.705.
由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为（0.004＋0.020＋0.044）×5＝0.34<0.5，
箱产量低于55kg的直方图面积为
（0.004＋0.020＋0.044＋0.068）×5＝0.68>0.5，
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
50＋0.5－0.34,0.068≈52.35（kg）．
19．（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝1,2AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
（1）证明：
直线CE∥平面PAB；
（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角MABD的余弦值．
解析：
（1）证明：
取PA的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝1,2AD.由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，又BC＝1,2AD，所以EF綊BC，四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF，又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，故CE∥平面PAB.
（2）由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，|AB|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则
A（0,0,0），B（1,0,0），C（1,1,0），P（0,1，3），PC＝（1,0，－3），AB＝（1,0,0）．
设M（x，y，z）（0BM＝（x－1，y，z），PM＝（x，y－1，z－3）．
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n＝（0,0,1）是底面ABCD的法向量，所以|cos〈BM，n〉|＝sin45°，|z|,（x－1）2＋y2＋z2＝2,2，
即（x－1）2＋y2－z2＝0. ①
又M在棱PC上，设PM＝λPC，则
x＝λ，y＝1，z＝3－3λ. ②
由①，②解得x＝1＋2,2，
y＝1
z＝－6,2（舍去），或x＝1－2,2，
y＝1，
z＝6,2，
所以M1－2,2,1，6,2，从而AM＝1－2,2,1，6,2.
设m＝（x0，y0，z0）是平面ABM的法向量，则m·AM＝0，
m·AB＝0，即（2－2）x0＋2y0＋6z0＝0，
x0＝0，
所以可取m＝（0，－6,2）．
于是cos〈m，n〉＝m·n,|m||n|＝10,5.
因此二面角MABD的余弦值为10,5.
20．（本小题满分12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：
x2,2＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP＝2NM.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1.证明：
过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
解析：
（1）设P（x，y），M（x0，y0），则N（x0,0），NP＝（x－x0，y），NM＝（0，y0）．
由NP＝2NM得x0＝x，y0＝2,2y.
因为M（x0，y0）在C上，所以x2,2＋y2,2＝1.
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
（2）证明：
由题意知F（－1,0）．设Q（－3，t），P（m，n），则
OQ＝（－3，t），PF＝（－1－m，－n），OQ·PF＝3＋3m－tn，
OP＝（m，n），PQ＝（－3－m，t－n）．
由OP·PQ＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由
（1）知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝ax2－ax－xlnx，且f（x）≥0.
（1）求a；
（2）证明：
f（x）存在唯一的极大值点x0，且e－2解析：
（1）f（x）的定义域为（0，＋∞）．
设g（x）＝ax－a－lnx，则f（x）＝xg（x），f（x）≥0等价于g（x）≥0.
因为g
（1）＝0，g（x）≥0，故g′
（1）＝0，而g′（x）＝a－1,x，g′
（1）＝a－1，得a＝1.
若a＝1，则g′（x）＝1－1,x.当01时，g′（x）>0，g（x）单调递增．所以x＝1是g（x）的极小值点，故g（x）≥g
（1）＝0.
综上，a＝1.
（2）证明：
由
（1）知f（x）＝x2－x－xlnx，f′（x）＝2x－2－lnx.
设h（x）＝2x－2－lnx，则h′（x）＝2－1,x.
当x∈0，1,2时，h′（x）<0；当x∈1,2，＋∞时，
h′（x）>0.所以h（x）在0，1,2单调递减，在1,2，＋∞单调递增．
又h（e－2）>0，h1,2<0，h
（1）＝0，所以h（x）在0，1,2有唯一零点x0，在1,2，＋∞有唯一零点1，且当x∈（0，x0）时，h（x）>0；当x∈（x0,1）时，h（x）<0；当x∈（1，＋∞）时，h（x）>0.
因为f′（x）＝h（x），所以x＝x0是f（x）的唯一极大值点．
由f′（x0）＝0得lnx0＝2（x0－1），故f（x0）＝x0（1－x0）．
由x0∈0，1,2得f（x0）<1,4.
因为x＝x0是f（x）在（0,1）上的最大值点，由e－1∈（0,1），f′（e－1）≠0得f（x0）>f（e－1）＝e－2.
所以e－2请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4 4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为2，π,3，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
解析：
（1）设P的极坐标为（ρ，θ）（ρ>0），M的极坐标为（ρ1，θ）（ρ1>0）．
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4,cosθ.
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ（ρ>0）．
因此C2的直角坐标方程为（x－2）2＋y2＝4（x≠0）．
（2）设点B的极坐标为（ρB，α）（ρB>0），
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB面积
S＝1,2|OA|·ρB·sin∠AOB
＝4cosα·|sinα－π,3|
＝2|sin2α－π,3－3,2|
≤2＋3.
当α＝－π,12时，S取得最大值2＋3.
所以△OAB面积的最大值为2＋3.
23．（本小题满分10分）选修4 5：
不等式选讲
已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：
（1）（a＋b）（a5＋b5）≥4；
（2）a＋b≤2.
证明：
（1）（a＋b）（a5＋b5）＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝（a3＋b3）2－2a3b3＋ab（a4＋b4）
＝4＋ab（a2－b2）2
≥4.
（2）因为（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
＝2＋3ab（a＋b）
≤2＋3（a＋b）2,4（a＋b）
＝2＋3（a＋b）3,4，
所以（a＋b）3≤8，因此a＋b≤2.
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