全国卷Ⅱ理科.docx

1、全国卷理科全国卷(理科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分 ，考试时间120分钟第卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)13i,1i()A12i B12iC2i D2i解析：3i,1i(3i)(1i),(1i)(1i)42i,22i，选择D.答案：D2设集合A1,2,4，Bx|x24xm0若AB1，则B()A1，3 B1,0C1,3 D1,5解析：因为AB1，所以1B，所以1是方程x24xm0的根，所以14m0，m3，方程为x24x30，解得x1或x3，所以B1,3，选择C.答案：C3我国古代数学名著算法

2、统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏 B3盏C5盏 D9盏解析：每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为an，则前7项的和S7381，公比q2，依题意，得a1(127),12381，解得a13，选择B.答案：B4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90 B63C42 D36解析：法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半

3、径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V32101,232663.法二：依题意，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V32763，选择B.答案：B5设x，y满足约束条件2x3y30，2x3y30，y30，则z2xy的最小值是()A15 B9C1 D9解析：法一：作出不等式组2x3y30，2x3y30，y30对应的可行域，如图中阴影部分所示易求得可行域的顶点A(0,1)，B(6，3)，C(6，3)，当直线z2xy过点B(6，3)时，z取得最小值，zmin2(6)315，选择A.法二：易求可行域

4、顶点A(0,1)，B(6，3)，C(6，3)，分别代入目标函数，求出对应的z的值依次为1，15,9，故最小值为15.答案：A6安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A12种 B18种C24种 D36种解析：因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作先把4项工作分成3组，即2,1,1，有C24C12C11,A226种，再分配给3个人，有A336种，所以不同的安排方式共有6636(种)答案：D7甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲

5、看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩解析：依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选择D.答案：D8.执行如图的程序框图，如果输入的a1，则输出的S()A2 B3C4 D5解析：运行程序框图，a1，S0，K1，K6成立；S0(1)11，a1，K2

6、，K6成立；S1121，a1，K3，K6成立；S1(1)32，a1，K4，K6成立；S2142，a1，K5，K6成立；S2(1)53，a1，K6，K6成立；S3163，a1，K7，K6不成立，输出S3.选择B.答案：B9若双曲线C：x2,a2y2,b21(ab，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则C的离心率为()A2 B3C2 D23,3解析：依题意，双曲线C：x2,a2y2,b21(a0，b0)的一条渐近线方程为bxay0.因为直线bxay0被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，所以|2b|,b2a241，所以3a23b24b2，所以3a2b2，所以e1b2,a2132

7、，选择A.答案：A10已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A3,2 B15,5C10,5 D3,3解析：法一：如图所示，将直三棱柱ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1BC1，所以B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角因为ABC120，AB2，BCCC11，所以AB15，AD12.在B1D1C1中，B1C1D160，B1C11，D1C12，所以B1D11222212cos 603，所以cosB1AD1523,25210,5，选择C.法二：如图，设M，N，P分

8、别为AB，BB1，B1C1的中点，连接MN，NP，MP，则MNAB1，NPBC1，所以PNM或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角易知MN1,2AB15,2，NP1,2BC12,2.取BC的中点Q，连接PQ，MQ，可知PQM为直角三角形，PQ1，MQ1,2AC.在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosABC412211,27，所以AC7，MQ7,2.在MQP中，MPMQ2PQ211,2，则在PMN中，cosPNMMN2NP2PM2,2MNNP5,222,2211,22,25,22,210,5，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为10,5.答案：C11若x2是函数f(x)(x2ax

9、1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A1 B2e3C5e3 D1解析：因为f(x)(x2ax1)ex1，所以f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1x2(a2)xa1ex1.因为x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，所以2是x2(a2)xa10的根，所以a1，f(x)(x2x2)ex1(x2)(x1)ex1.令f(x)0，解得x1，令f(x)0，解得2x0)，所以a1，b22，所以N(0,42)，|FN|4326.法二：依题意，抛物线C：y28x的焦点F(2,0)，准线x2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|1(2

10、)3，|FN|2|MF|6.答案：6三、解答题(解答应写出文明说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin2B,2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC的面积为2，求b.解析：(1)由题设及ABC得sin B8sin2B,2，故sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，或cos B15,17.(2)由cos B15,17得sin B8,17，故SABC1,2acsin B4,17ac.又SABC2，则ac17,2.由余弦定理及ac6得b2a2c

11、22accos B(ac)22ac(1cos B)36217,2115,174.所以b2.18(本小题满分12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.

12、01)附：P(K2k)0.500.0100.001k3.8416.63510.828K2n(adbc)2,(ab)(cd)(ac)(bd)解析：(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”由题意知P(A)P(BC)P(B)P(C)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62，故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.0680.0460.0100.008)50.66，故P(C)的估计值为0.66.因此，事件A的概率估计值为0.620.660.409

13、2.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg的直方图面积为(0.0040.0200.044)50.340.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为500.50.34,0.06852.35(kg)19(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBC1,2AD，BADABC90，E是PD的中点(1)证明：直线CE平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值解析：(1)证明：取PA

14、的中点F，连接EF，BF.因为E是PD的中点，所以EFAD，EF1,2AD.由BADABC90得BCAD，又BC1,2AD，所以EF綊BC，四边形BCEF是平行四边形，CEBF，又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.(2)由已知得BAAD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，|AB|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，3)，PC(1,0，3)，AB(1,0,0)设M(x，y，z)(0x1)，则BM(x1，y，z)，PM(x，y1，z3)因为BM与底面ABCD所成的角为45，而n(0,0,1)是底

15、面ABCD的法向量，所以|cosBM，n|sin 45，|z|,(x1)2y2z22,2，即(x1)2y2z20.又M在棱PC上，设PM PC，则x，y1，z33.由，解得x12,2，y1z6,2(舍去)，或x12,2，y1，z6,2，所以M12,2,1，6,2，从而AM12,2,1，6,2.设m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则mAM0，mAB0，即(22)x02y06z00，x00，所以可取m(0，6,2)于是cosm，nmn,|m|n|10,5.因此二面角MABD的余弦值为10,5.20(本小题满分12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x2,2y21上，过M作x轴的垂线，垂足

16、为N，点P满足NP2 NM.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且OPPQ1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，NP(xx0，y)，NM(0，y0)由NP2 NM得x0x，y02,2y.因为M(x0，y0)在C上，所以x2,2y2,21.因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)证明：由题意知F(1,0)设Q(3，t)，P(m，n)，则OQ(3，t)，PF(1m，n)，OQPF33mtn，OP(m，n)，PQ(3m，tn)由OPPQ1得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以OQPF

17、0，即OQPF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.21(本小题满分12分)已知函数f(x)ax2axxln x，且f(x)0.(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e2f(x0)22.解析：(1)f(x)的定义域为(0，)设g(x)axaln x，则f(x)xg(x)，f(x)0等价于g(x)0.因为g(1)0，g(x)0，故g(1)0，而g(x)a1,x，g(1)a1，得a1.若a1，则g(x)11,x.当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增所以x1是g(x)的极小值点，故g(x)g(1)0.综上，a1.(2)证

18、明：由(1)知f(x)x2xxln x，f(x)2x2ln x.设h(x)2x2ln x，则h(x)21,x.当x0，1,2时，h(x)0.所以h(x)在0，1,2单调递减，在1,2，单调递增又h(e2)0，h1,20；当x(x0,1)时，h(x)0.因为f(x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一极大值点由f(x0)0得ln x02(x01)，故f(x0)x0(1x0)由x00，1,2得f(x0)f(e1)e2.所以e2f(x0)0)，M的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|14,cos .由|OM|OP|16得C2的极坐标方程为4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)

19、2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)，由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB面积S1,2|OA|BsinAOB4cos |sin,3|2|sin2,33,2|23.当,12时，S取得最大值23.所以OAB面积的最大值为23.23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知a0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明：(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)23(ab)2,4(ab)23(ab)3,4，所以(ab)38，因此ab2.