Lagrange插值法.docx
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Lagrange插值法
《数值分析》实验报告
实验序号：
实验四实验名称:
Lagrange插值法
1、实验目的：
在数学分析中，用y=f（x）来描述一条平面直线，但是在实际问题中，函数y=f（x）往往是通过观测得到的一组数据来给出的，只是已知个别点的函数值，而非在整个区间上，插值法是应用十分广泛的一种方法。
本实验是用拉格朗日法来逼近被逼近函数，并画出其图像。
2、实验内容：
（1）实验分析：
当给出了n+1个节点上f（x）的一张函数表后，用Lagrange插值法求一个函数φ（x），并满足φ（x）是一个不超过n次的多项式；
当插值节点取的足够多时逼近函数φ（x）能够很好的逼近被逼近函数f（x）。
而插值函数φ（x）的次数就会相应地升高，高次的插值多项式就不一定收敛到相应的被逼近函数，就会产生Runge现象，本实验可以从函数的图像上清楚地看到这一现象。
先从特殊情况入手，研究线形插值和二次插值。
在线性插值中，若逼近函数用两点式表示出来，则有F（x）=y0*（（x-x1）/（x0-x1））+y1*（（x-x0）/（x1-x0））;过三个点的二次插值可以确定一条抛物线，经过化简之后，被逼近函数可以表示称F（x）=y0*（（x-x1）*（x-x2）/（x0-x1）/（x0-x2））+y1*（（x-x0）*（x-x2）/（x1-x0）/（x1-x2））+y2*（（x-x0）*（x-x1）/（x2-x0）/（x2-x1））;经过分析对比可以总结出：
对于具有n+1个节点的函数，都可以表示成该节点的函数值与其对应基函数的乘积的线形组合。
其中要求逼近函数是n次多项式，并且逼近函数过所有的型值点。
（1）原函数图像的绘制：
对于给定函数
。
在区间
上画出f（x）的函数图像。
（2）Lagrange插值函数图像的绘制：
根据题目要求取11个等距插值节点
，求出每一个结点处的基函数
（j=0,1,…n），然后根据Lagrange插值多项式的一般形式把
（x）写成与节点相对应的函数值
（i=0,1,2…n）与其插值基函数
（j=0,1,…n）的线形组合的形式。
即
3、实验代码：
//LDlg.cpp:
implementationfile
//
#include"stdafx.h"
#include"L.h"
#include"LDlg.h"
#ifdef_DEBUG
#definenewDEBUG_NEW
#undefTHIS_FILE
staticcharTHIS_FILE[]=__FILE__;
#endif
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
//CAboutDlgdialogusedforAppAbout
classCAboutDlg:
publicCDialog
{
public:
CAboutDlg（）;
//DialogData
//{{AFX_DATA（CAboutDlg）
enum{IDD=IDD_ABOUTBOX};
//}}AFX_DATA
//ClassWizardgeneratedvirtualfunctionoverrides
//{{AFX_VIRTUAL（CAboutDlg）
protected:
virtualvoidDoDataExchange（CDataExchange*pDX）;//DDX/DDVsupport
//}}AFX_VIRTUAL
//Implementation
protected:
//{{AFX_MSG（CAboutDlg）
//}}AFX_MSG
DECLARE_MESSAGE_MAP（）
};
CAboutDlg:
:
CAboutDlg（）:
CDialog（CAboutDlg:
:
IDD）
{
//{{AFX_DATA_INIT（CAboutDlg）
//}}AFX_DATA_INIT
}
voidCAboutDlg:
:
DoDataExchange（CDataExchange*pDX）
{
CDialog:
:
DoDataExchange（pDX）;
//{{AFX_DATA_MAP（CAboutDlg）
//}}AFX_DATA_MAP
}
BEGIN_MESSAGE_MAP（CAboutDlg,CDialog）
//{{AFX_MSG_MAP（CAboutDlg）
//Nomessagehandlers
//}}AFX_MSG_MAP
END_MESSAGE_MAP（）
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
//CLDlgdialog
CLDlg:
:
CLDlg（CWnd*pParent/*=NULL*/）
:
CDialog（CLDlg:
:
IDD,pParent）
{
//{{AFX_DATA_INIT（CLDlg）
//NOTE:
theClassWizardwilladdmemberinitializationhere
//}}AFX_DATA_INIT
//NotethatLoadIcondoesnotrequireasubsequentDestroyIconinWin32
m_hIcon=AfxGetApp（）->LoadIcon（IDR_MAINFRAME）;
}
voidCLDlg:
:
DoDataExchange（CDataExchange*pDX）
{
CDialog:
:
DoDataExchange（pDX）;
//{{AFX_DATA_MAP（CLDlg）
//NOTE:
theClassWizardwilladdDDXandDDVcallshere
//}}AFX_DATA_MAP
}
BEGIN_MESSAGE_MAP（CLDlg,CDialog）
//{{AFX_MSG_MAP（CLDlg）
ON_WM_SYSCOMMAND（）
ON_WM_PAINT（）
ON_WM_QUERYDRAGICON（）
ON_BN_CLICKED（IDC_LARGRI,OnLargri）
ON_BN_CLICKED（IDC_BUTTON2,OnButton2）
ON_BN_CLICKED（IDC_HERMITE,OnHermite）
//}}AFX_MSG_MAP
END_MESSAGE_MAP（）
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
//CLDlgmessagehandlers
BOOLCLDlg:
:
OnInitDialog（）
{
CDialog:
:
OnInitDialog（）;
//Add"About..."menuitemtosystemmenu.
//IDM_ABOUTBOXmustbeinthesystemcommandrange.
ASSERT（（IDM_ABOUTBOX&0xFFF0）==IDM_ABOUTBOX）;
ASSERT（IDM_ABOUTBOX<0xF000）;
CMenu*pSysMenu=GetSystemMenu（FALSE）;
if（pSysMenu!
=NULL）
{
CStringstrAboutMenu;
strAboutMenu.LoadString（IDS_ABOUTBOX）;
if（!
strAboutMenu.IsEmpty（））
{
pSysMenu->AppendMenu（MF_SEPARATOR）;
pSysMenu->AppendMenu（MF_STRING,IDM_ABOUTBOX,strAboutMenu）;
}
}
//Settheiconforthisdialog.Theframeworkdoesthisautomatically
//whentheapplication'smainwindowisnotadialog
SetIcon（m_hIcon,TRUE）;//Setbigicon
SetIcon（m_hIcon,FALSE）;//Setsmallicon
//TODO:
Addextrainitializationhere
returnTRUE;//returnTRUEunlessyousetthefocustoacontrol
}
voidCLDlg:
:
OnSysCommand（UINTnID,LPARAMlParam）
{
if（（nID&0xFFF0）==IDM_ABOUTBOX）
{
CAboutDlgdlgAbout;
dlgAbout.DoModal（）;
}
else
{
CDialog:
:
OnSysCommand（nID,lParam）;
}
}
//Ifyouaddaminimizebuttontoyourdialog,youwillneedthecodebelow
//todrawtheicon.ForMFCapplicationsusingthedocument/viewmodel,
//thisisautomaticallydoneforyoubytheframework.
voidCLDlg:
:
OnPaint（）
{
if（IsIconic（））
{
CPaintDCdc（this）;//devicecontextforpainting
SendMessage（WM_ICONERASEBKGND,（WPARAM）dc.GetSafeHdc（）,0）;
//Centericoninclientrectangle
intcxIcon=GetSystemMetrics（SM_CXICON）;
intcyIcon=GetSystemMetrics（SM_CYICON）;
CRectrect;
GetClientRect（&rect）;
intx=（rect.Width（）-cxIcon+1）/2;
inty=（rect.Height（）-cyIcon+1）/2;
//Drawtheicon
dc.DrawIcon（x,y,m_hIcon）;
}
else
{
CDialog:
:
OnPaint（）;
}
}
//Thesystemcallsthistoobtainthecursortodisplaywhiletheuserdrags
//theminimizedwindow.
HCURSORCLDlg:
:
OnQueryDragIcon（）
{
return（HCURSOR）m_hIcon;
}
voidCLDlg:
:
OnOK（）
{
intx00=300,y00=350,i,j;
doublex;
CDC*pDC=GetDC（）;
pDC->SetMapMode（MM_LOMETRIC）;
pDC->SetViewportOrg（x00,y00）;
//画坐标轴与原函数
for（i=-700;i<=700;i++）
{
pDC->SetPixel（i,0,RGB（0,0,0））;
pDC->SetPixel（0,i,RGB（0,0,0））;
}
for（x=-1;x<=1;x+=0.001）
{
doublej=400.0/（1+25*x*x）;
pDC->SetPixel（x*500,j,RGB（255,0,0））;
}
pDC->TextOut（-30,-10,"0"）;
pDC->TextOut（-30,430,"1"）;
pDC->TextOut（490,-10,"1"）;
pDC->TextOut（-490,-10,"-1"）;
pDC->MoveTo（-10,680）;//x箭头
pDC->LineTo（0,700）;
pDC->MoveTo（0,700）;
pDC->LineTo（10,680）;
pDC->MoveTo（680,10）;//y箭头
pDC->LineTo（700,0）;
pDC->MoveTo（700,0）;
pDC->LineTo（680,-10）;
pDC->TextOut（-30,700,"y"）;
pDC->TextOut（700,-10,"x"）;
}
voidCLDlg:
:
OnLargri（）
{
intx00=300,y00=350,i,j;
doublex;
CDC*pDC=GetDC（）;
pDC->SetMapMode（MM_LOMETRIC）;
pDC->SetViewportOrg（x00,y00）;
//画坐标轴
for（i=-700;i<=700;i++）
{
pDC->SetPixel（i,0,RGB（0,0,0））;
pDC->SetPixel（0,i,RGB（0,0,0））;
}
doubleyx[]={-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1};
pDC->TextOut（-30,-10,"0"）;
pDC->TextOut（-30,430,"1"）;
pDC->TextOut（490,-10,"1"）;
pDC->TextOut（-490,-10,"-1"）;
pDC->MoveTo（-10,680）;//x箭头
pDC->LineTo（0,700）;
pDC->MoveTo（0,700）;
pDC->LineTo（10,680）;
pDC->MoveTo（680,10）;//y箭头
pDC->LineTo（700,0）;
pDC->MoveTo（700,0）;
pDC->LineTo（680,-10）;
pDC->TextOut（-30,700,"y"）;
pDC->TextOut（700,-10,"x"）;
//拉格朗日差值的函数
doubleyy[12],lx[12],ly[12];
doublel_fenzi[12],l_fenmu[12];
doublel_x,l_y;
for（i=0;i<=10;i++）
{
yy[i]=1.0/（1+25*yx[i]*yx[i]）;
}
for（i=0;i<=10;i++）
{
l_fenmu[i]=1.0;
for（j=0;j<=10;j++）
{
if（i!
=j）
l_fenmu[i]=l_fenmu[i]*（yx[i]-yx[j]）;
}
}
doubleqq,pp;
for（qq=-1;qq<=1;qq+=0.0003）
{
for（i=0;i<=10;i++）
{
l_fenzi[i]=1.0;
for（j=0;j<=10;j++）
{
if（i!
=j）
l_fenzi[i]=l_fenzi[i]*（qq-yx[j]）;
}
}
pp=0;
for（i=0;i<=11;i++）
{
pp=pp+1.0/（1+25*yx[i]*yx[i]）*l_fenzi[i]/l_fenmu[i];
}
pDC->SetPixel（qq*500,pp*390+5,RGB（132,112,225））;
}
}
voidCLDlg:
:
OnButton2（）
{
intx00=300,y00=350,i,j;
doublex;
CDC*pDC=GetDC（）;
pDC->SetMapMode（MM_LOMETRIC）;
pDC->SetViewportOrg（x00,y00）;
//画坐标轴与原函数
for（i=-700;i<=700;i++）
{
pDC->SetPixel（i,0,RGB（0,0,0））;
pDC->SetPixel（0,i,RGB（0,0,0））;
}
doubleyx[]={-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1};
doubleyy[14];
for（i=0;i<=10;i++）
{
yy[i]=1.0/（1+25*yx[i]*yx[i]）;
}
pDC->TextOut（-30,-10,"0"）;
pDC->TextOut（-30,430,"1"）;
pDC->TextOut（490,-10,"1"）;
pDC->TextOut（-490,-10,"-1"）;
pDC->MoveTo（-10,680）;//x箭头
pDC->LineTo（0,700）;
pDC->MoveTo（0,700）;
pDC->LineTo（10,680）;
pDC->MoveTo（680,10）;//y箭头
pDC->LineTo（700,0）;
pDC->MoveTo（700,0）;
pDC->LineTo（680,-10）;
pDC->TextOut（-30,700,"y"）;
pDC->TextOut（700,-10,"x"）;
//线性分段差值的图像
CPenpen;
CPen*oldpen;
pen.CreatePen（PS_SOLID,5,RGB（0,0,0））;
oldpen=pDC->SelectObject（&pen）;
for（i=0;i<10;i++）
{
pDC->MoveTo（yx[i]*480,yy[i]*400）;
pDC->LineTo（yx[i+1]*480,yy[i+1]*400）;
}
}
voidCLDlg:
:
OnHermite（）
{
intx00=300,y00=350,i,j;
doublex;
CDC*pDC=GetDC（）;
pDC->SetMapMode（MM_LOMETRIC）;
pDC->SetViewportOrg（x00,y00）;
//画坐标轴与原函数
for（i=-700;i<=700;i++）
{
pDC->SetPixel（i,0,RGB（0,0,0））;
pDC->SetPixel（0,i,RGB（0,0,0））;
}
doubleyx[]={-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1};
doubleyy[12];
for（i=0;i<=10;i++）
{
yy[i]=1.0/（1+25*yx[i]*yx[i]）;
}
pDC->TextOut（-30,-10,"0"）;
pDC->TextOut（-30,430,"1"）;
pDC->TextOut（490,-10,"1"）;
pDC->TextOut（-490,-10,"-1"）;
pDC->MoveTo（-10,680）;//x箭头
pDC->LineTo（0,700）;
pDC->MoveTo（0,700）;
pDC->LineTo（10,680）;
pDC->MoveTo（680,10）;//y箭头
pDC->LineTo（700,0）;
pDC->MoveTo（700,0）;
pDC->LineTo（680,-10）;
pDC->TextOut（-30,700,"y"）;
pDC->TextOut（700,-10,"x"）;
//分段三次Hermite差值的函数
doublex0,x1,yd1,yd0,y1,y0;
for（i=0;i<10;i++）
{
x0=yx[i],x1=yx[i+1];
y0=1.0/（1+25*x0*x0）;
y1=1.0/（1+25*x1*x1）;
yd0=-（50*x0）*1.0/（（1+25*x0*x0）*（1+25*x0*x0））;
yd1=-（50*x1）*1.0/（（1+25*x1*x1）*（1+25*x1*x1））;
for（doubleqq=x0;qq{
doublepp=y0*（1+2*（qq-x0）/（x1-x0））*（qq-x1）/（x0-x1）*（qq-x1）/（x0-x1）
+y1*（1+2*（qq-x1）/（x0-x1））*（qq-x0）/（x1-x0）*（qq-x0）/（x1-x0）
+yd0*（qq-x0）*（qq-x1）/（x0-x1）*（qq-x1）/（x0-x1）
+yd1*（qq-x1）*（qq-x0）/（x1-x0）*（qq-x0）/（x1-x0）;
pDC->SetPixel（qq*500,pp*400,RGB（225,185,15））;
}
}
}
4.实验截图：
5.实验结果分析：
分析:
通过本次实验，我对用Lagrange插值法求f（x）的逼近函数
（x）有了更深刻的理解，学会了用程序来求解Lagrange插值基函数
（j=0,1,…n），求出逼近函数
（x）并绘制出其图像，进而可以通过函数图像很直观地看到Lagrange插值法的缺点，即当插值函数次数很高时出现了Runge现象。
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