问题53 由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题届高三数学成功在我之优等生提分精品学生版.docx
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问题53由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题届高三数学成功在我之优等生提分精品学生版
专题五数列
问题三：
由复杂递推关系式求解数列的通项公式问题
一、考情分析
递推公式是给出数列的一种重要方法,常出现在客观题压轴题或解答题中，难度中等或中等以上.利用递推关系式求数列的通项时,通常将所给递推关系式进行适当的变
形整理,如累加、累乘、待定系数等,构造或转化为等差数列或等比数列,然后求通项.
二、经验分享
（1）已知Sn，求an的步骤
当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；（3）对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式
（2）已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：
如果
符号
正负相间，则符号可用（－1）n或（－1）n＋1来调节.
分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决.
对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决
此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察（观察规律）、比较（比较已知的数列）、归纳、转化（转化为等差、等比或其他特殊数列）等方法来解决.
（3）已知数列的递推关系求通项公式的典型方法
当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f（n）时，用累加法求解；当出现
＝f（n）时，用累乘法求解．
三、知识拓展
若数列
满足
，则数列
都是公差为a的等差数列，若数列
满足
，则数列
都是公比为
b的等比数列.
四、题型分析
（一）用累加法求数列的通项
【例1.】在数列
中,
则该数列的通项公式
=．
【小试牛刀】数列{an}满足a1＝1,a2＝2,an＋2＝2an＋1－an＋2.
（1）设bn＝an＋1－an,证明{bn}是
等差数列；
（2）求{an}的通项公式．
（二）利用累乘法求数列的通项
【例2】设
是首项为1的正项数列,且
则
.
【小试牛刀】【2018河南周口3月质检】数列
中，前
项和为
，
（1）求数列
的通项公式；
（2）令
，证明：
.
（三）用构造法求数列的通项
【例3】【江苏省泰州中学2018届高三12月月考2】已知数列
满足：
，
，（
），则数列
的通项公式为__________．
【小试牛刀】已知数列
满足
则
．
（四）利用
与
的关系求数列的通项
【例4】【浙江省温州市普通高中2017届高三8月模拟】已知数列
的前
项和为
（1）求
的通项公式；
（2）设
数列
的前
项和为
证明：
．
【小试牛刀】【河北省唐山市2018届高三第一次模拟】已知数列
为单调递增数列，
为其前
项和，
.
（1）求
的通项公式；
（2）若
，
为数列
的前
项和，证明：
（五）递推公式为
（其中
均为常数）.
【小试牛刀】【新疆兵团农二师华山中学2017届高三上学期学前考试】已知数列{an}前n项和为
Sn,满足Sn=2an-2n（n∈N*）．
（I）证明：
{an+2}是等比数列,并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列
{bn}满足bn=log2（an+2）,Tn为数列{
}的前n项和,若
对正整数a都成立,求a的
取值范围
五、迁移运用
1.【福建省福州市2018届高三上学期期末质检】1．【2017学年辽宁东北育才学校段考】设各项均为正数的数列
的前
项和为
且满足
．则数列
的通项公式是（）
A．
B．
C．
D．
2.【广东省惠州市2017届高三第一次调研考试】已知数列
满足
则
______.
3．【2017河北故城县高级中学上期中】若数列
满足
则
（）
A.
B.
C.
D.
4．【2017届黑龙江双鸭山一中高三上学期质检】数列
满足
对任意的
都有
则
（）
A、
B、
C、
D、
5.【2017河南西平县高
级中学十月月考】已知数列
满足
则
的通项公式是_______.
6.【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研考试】数列
满足
记
则数列
的前
项和
．
7．【2017四川省成都七中实验学校下期中】数列
满足：
且对任意的
都有：
则
8．【福建省莆田市2018届高三下学期教学质量检测】已知数列
满足
，
，则
__________．
9．【上海市长宁、嘉定区2018届高三第一次质量调研】已知数列
的前
项和为
，且
（
），若
则数列
的前
项和
_______________.
10．【吉林省长春市普通高中2018届高三质量监测】在数列
中，
，且对任意
，
成等差数列，其公差为
，则
________.
11．【黑龙江省佳木斯市
鸡东县第二中学2018届高三上学期第一次月考（】已知数列
中，
且
，则
__________．
12．【2017届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考】已知数列
满足
，且
，则
__________．
13.【2017届山东肥城市高三上学期升级统测】设数列
的前
和为
已知
.
（1）求出数列
的通项公式；
（2）求数列
的前
和为
.
14.【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知数列
的前
项和
满足：
（
为常数,且
）．
（1）求
的通项公式；
（2）设
若数列
为等比数列,求
的值；
（3）在满足条件
（2）的情形下,设
数列
的前
项和为
若不等式
对任意的
恒成立,求实数
的取值范围．
15.【山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中2017届高三第一次联考】已知数列
的前
项和
其中
.
（I）求
的通项公式；
（II）若
求
的前
项和
16.【浙江省金华、丽水、衢州市十二校2017届高三8月联考】已知数列
的各项都不为零,其前
项为
且满足：
．
（1）若
求数列
的通项公式；
（2）是否存在满足题意的无穷数列
使得
？
若存在,求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在,请说明理由．
17.
【山东省淄博市2018届高三3月模拟】已知
是公差为3的等差数列，数列
满足
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）求数列
的前
项和
．
18．【河南省南阳市2018届
高三上学期期末】已知数列
的前
项和为
，且满足
（
）．
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前
项和
．
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