sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡．从理论上讲，正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切．
知识点4三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数．
拓展在锐角A的三角函数的概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°<∠A<90°，三个比值是因变量．当∠A确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应．
知识点5互余两角的正弦与余弦的关系
如图1—3所示，∠A的对边恰是∠B的邻边，而∠B的对边也恰是∠A的邻边．
∵sinA＝，
cosB＝，
∴sinA＝cosB．同理可得cosA＝sinB，
又∠A十∠B＝90°，即∠B＝90°－∠A，
∴sinA=cos（90°－A）＝cosB，
cosA＝sin（90°－A）＝sinB．
也就是说，任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．
拓展此结论适用于所有两个角互为余角的情况，它们并不一定是同一直角三角形中的两个锐角．
规律方法小结在本节知识的学习中，一定要仔细体会数形结合的思想，掌握数形结合的方法．本节从正切、正弦、余弦的概念的引出到公式的推导，都体现了数形结合的思想方法．对于锐角三角函数的有关概念，应通过画图找出直角三角形中边、角之间的关系，加深对概念的理解．
本节内容是三角函数的基础知识，是全章的重点，也是难点，现将本节知识归纳如下（参照图1—3）:
sinA＝
sinB＝
∠A十∠B＝90°
课堂检测
基本概念题
1、在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则BC：
AC等于（）
A．3：
4B．4：
3
C．3：
5D．4：
5
2、若某人沿坡度i＝3：
4的斜坡前进10m，则他所在的位置比原来的位置升高了m．
基础知识应用题
3、在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．
（1）求AB的长；
（2）求sinA，cosA的值；
（3）求sin2A+cos2A的值；
（4）比较sinA与cosB的大小；
（5）比较tanA与的大小．
综合应用题
4、已知α为锐角，且tanα是方程x2－2x－3＝0的一个根，求tan2a+2tanα+1的值．
5、如图1－8所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AD＝6，BC＝14，S梯形ABCD＝40，求tanB的值．
6、求证：
平行四边形ABCD的面积S＝AB·BC·sinB（∠B为锐角）．
探索与创新题
7、已知a为锐角，且tana＝3，求的值．
8、如图l-12所示，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′P′B，且
B′P＝2，那么PP′的长为．（不取近似值，以下数值供解题使用：
sinl5°=，cos15°=）
9、在△ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84．
（1）求tan∠ACB的值；
（2）求sin∠BAC的值．
体验中考
1、如图1－15所示，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是（）
A．B．
C．D．
2、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=，那么BC的值为（）
A．2B．4C．4D．6
3、如图l-16所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE＝，则河堤的高BE为米．
4、如图1－17所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cosB＝，BC＝26．
（1）求cos∠DAC的值；
（2）求AD的长．
学后反思
附：
课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、┃分析┃根据题意画出图形，如图1-4所示，由正弦的概念可知sinA＝，∴sinA＝，设BC＝3k，AB＝5k，由勾股定理得AC＝＝＝4k，∴BC：
AC＝3k：
4k＝3：
4．故选A.
【解题策略】
（1）本例求BC：
AC的值，实际上就是求∠A的正切值，即tanA．
（2）解此类型题可根据题意画出图形，借助图形帮助分析．
2、┃分析┃如图1—5所示，由坡度的定义可知i＝tanA＝，设BC＝3km，则AC＝4km，由勾股定理得AB＝=5k（m），5k=10所以k=2，所以他所在的位置比原来的位置升高了BC＝3k＝6（m）．故填6．
【解题策略】
（1）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，即坡度是坡角的正切值．
（2）坡度通常用字母i表示．（3）坡度与坡角（用a表示）的关系是i＝tanα．
3、┃分析┃解本题的关键是求出sinA，cosA，cosB，tanA的值，而要求这些锐角的三角函数值，关键在于正确理解正弦、余弦、正切的概念，找准与之相关的边。
解：
（1）∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13．
（2）sinA＝
（3）∵sin2A＝
∴sin2A+cos2A＝＋＝1．
（4）∵cosB＝∴sinA＝cosB．
（5）∵tanA＝，∴tanA＝．
【解题策略】正确运用正弦、余弦、正切的概念是解此类题的关键．
4、┃分析┃利用解一元二次方程的方法解答此题．
解：
解方程x2－2x－3＝0，得xl＝3，x2＝一1．
∵tanα是方程x2－2x一3＝0的一个根，且α为锐角，∴tanα＝3，
∴tan2a+2tana+l＝（tana+1）2＝（3+1）2＝16．
【解题策略】本题应注意：
若a为锐角，则tana>0．
5、┃分析┃要求tanB，应把∠B置于一个直角三角形中，图中没有包含∠B的直角三角形，因此，应通过添加辅助线构造包含∠B的直角三角形．
解：
过A作AE⊥BC于E，∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴BE=（BC－AD）=×（14－6）＝4．
∵S梯形ABCD＝（AD十BC）·AE，即40＝·（6十14）·AE，∴AE＝4．
在Rt△AEB中，tanB＝=＝1．
【解题策略】对于梯形与三角函数的综合题，通常利用高线来构造直角三角形，再求锐角三角函数值
6、┃分析┃因为要证的等式中包含sinB，所以想到构造包含∠B的直角三角形，可过A作AE⊥BC于E，借助构造的Rt△AEB来证明．
证明：
如图1－9所示，过A作AE⊥BC于E，
在Rt△AEB中，sinB＝，即AE＝AB·sinB，
∴S□ABCD＝BC·AE＝AB·BC·sinB．
【解题策略】有关等腰三角形、梯形、平行四边形的三角函数问题，常作其高，转化为直角三角形问题来解决．
7、┃分析┃由于a为锐角，且tana已知，可构造包含a的直角三角形，利用三角函数的定义求出sina，cosa的值．本题也可根据同角三角函数的关系tana＝，将所求式子的分子、分母都除以cosa，再代值即可．
解法1：
如图1-11所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A＝a，
∵tana＝=3，∴设AC＝k，则BC＝3k，
∴AB＝
∴sina=
∴
解法2：
∵a为锐角，∴cosa≠0，∴
∵tana＝=3，∴原式==.
【解题策略】掌握各三角函数之间的关系是熟练解题和简便解题的基础，应结合题型灵活运用三角函数之间的关系式．
8、┃分析┃如图1－13所示，连接PP′，过点B作BC⊥PP′，垂足为C．∵∠PBP′＝30°，BP=BP′，∴在Rt△PCB中，∠PBC＝15°，∴PC＝BPsin∠PBC=2×sinl5°＝，∴pp′＝2PC＝.故填．
【解题策略】这是典型的已知等腰三角形的腰和顶角，求底边的问题．这类问题通常都是作底边上的高，利用等腰三角形三线合一的性质，得到两个全等的直角三角形，然后解直角三角形．类似地，还可以转化为已知底边和一角，求腰长或某一角的三角函数值的问题．
9、┃分析┃为了求出tan∠ACB，sin∠BAC的值，应分别构造以∠ACB，∠BAC为内角的直角三角形．
解：
（1）如图1－14所示，过点A作AE⊥BC于E，
则S△ABC=BC·AE，即·14·AE=84，
∴AE＝12．在Rt△AEB中，
BE==9，
∴CE＝BC－BE=14－9＝5，
在Rt△AEC中，tan∠ACE＝．
（2）由
（1）知CE＝5，AE＝12，
在Rt△AEC中，AC＝13，
过点C作CD⊥AB于D，则S△ABC＝AB·CD，
即·15·C
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