第一章 直角三角形的边角关系.docx

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第一章直角三角形的边角关系

九年级数学下册·BS

（这是边文，请据需要手工删加）

　知识的圣殿　学生的盛宴

（这是边文，请据需要手工删加）

第一章

直角三角形的边角关系

课题：

锐角三角函数

（一）　正切

【学习目标】

1．经历探索直角三角形中某锐角确定后其对边与邻边的比值也随之确定的过程，理解正切的意义．

2．能够用表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度，并能够用正切进行简单的计算．

【学习重点】

理解锐角三角函数正切的意义，用正切表示倾斜程度以及坡度．

【学习难点】

在现实情境中理解正切的意义．

行为提示：

创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．

行为提示：

认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．

方法提示：

要求锐角A的正切值，应先根据已知条件求出∠A所在直角三角形中∠A的对边和邻边的值，再求出tanA的值．

知识链接：

当直角三角形一个锐角的大小确定时，其对边与邻边的比值也会随之确定，这一点可通过相似三角形证明．

情景导入　生成问题

旧知回顾：

1．如图，两个斜坡AB和EF，哪个更陡一些？

你是如何判断的？

解：

EF更陡．∵

＝

<

＝1，∴EF更陡．

（第1题图）

（第2题图）

2．如图，梯子AB沿墙OA下滑到CD处，OA＝OD＝4，OB＝OC＝3，梯子在AB或CD处哪个更陡一些？

如何用图上数据判定？

解：

AB更陡.

＝

，

＝

.∵

>

，∴AB更陡．

自学互研　生成能力

阅读教材P2～P3，完成下面的内容：

什么是锐角的正切？

如何表示？

答：

在直角三角形中，如果一个锐角确定，那么这个角的对边与邻边的比便随之确定．在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝

.

范例1：

（广州中考）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA＝（　D　）

A.

　　　　　　B.

　　　　　　C.

　　　　　　D.

（范例1题图）

（仿例1题图）

（仿例2题图）

仿例1：

如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，BC＝4，AC＝3，设∠BCD＝α，则tanα的值为（　B　）

A.

B.

C.

D.

学习笔记：

给学生说明坡度⇔坡角正切值，使用中两者相同．

求一个角的正切，必须在直角三角形中，若锐角所在的三角形不是直角三角形，应先通过作辅助线构造直角三角形．

方法提示：

积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听，做每步运算都要有理有据，避免知识上的混淆及符号等错误．　　仿例2：

（烟台中考）如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB于点E，交BD于点F，且点E是AB的中点，则tan∠BFE的值是（　D　）

A.

　　　　　　B．2　　　　　　C.

　　　　　　D.

仿例3：

在直角坐标系xOy中，点P（4，y）在第一象限内，且OP与x轴正半轴的夹角为60°，则y的值是（　B　）

A.

B．4

C．8D．2

阅读教材P3～P4，完成下面的内容：

什么是坡度？

坡度与坡角的正切值有何关系？

答：

坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度或坡比．很显然坡度即坡角的正切值．坡角的正切值越大，坡度越陡．

范例2：

如图为一水库大坝的横断面，坝高h＝6m，迎水坡AB＝10m，斜坡的坡度角为α，则迎水坡的坡度是

．

（范例2题图）

（仿例1题图）

仿例1：

如图，河堤横断面是梯形，上底为4m，堤高为6m，斜坡AD的坡比为1∶3，斜坡BC的坡角为45°，则河堤的横断面的面积为（　A　）

A．96m2B．48m2C．192m2D．84m2

仿例2：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为

．

（仿例2题图）

（仿例3题图）

仿例3：

如图，某人从山脚A走了300m的山路，爬到了120m高的小山顶B处，该山路的坡度为

．

交流展示　生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一　正切的定义

知识模块二　坡度

检测反馈　达成目标

【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．

课后反思　查漏补缺

1．收获：

________________________________________________________________________

2．存在困惑：

________________________________________________________________________

课题：

正弦和余弦

【学习目标】

1．理解正弦函数和余弦函数的意义，能根据边长求出锐角的正弦值和余弦值，准确分清三种函数值的求法．

2．经历探索知道直角三角形中某锐角确定后，它的对边、邻边和斜边的比值也随之确定，能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算．

【学习重点】

正确运用三角函数值表示直角三角形中两边之比．

【学习难点】

用函数观点理解正弦、余弦和正切．

行为提示：

点燃激情，引发学生思考本节课学什么．

行为提示：

教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．

方法指导：

正弦、正切、余弦的概念易混淆，需仔细区分，可以简记为：

正切对比邻，正弦对比斜，余弦邻比斜．情景导入　生成问题

旧知回顾：

1．什么叫锐角A的正切？

答：

在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝

.

2．什么是坡度？

答：

正切也经常用来描述山坡的坡度，坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度．坡度即坡角正切值．

自学互研　生成能力

阅读教材P5～P6，完成下面的内容：

什么是锐角A的正弦和余弦？

如何表示？

答：

在Rt△ABC中，如果锐角A确定时，那么∠A的对边与斜边的比，邻边与斜边的比也随之确定．

（1）在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝

；

（2）在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝

；

（3）锐角A的正弦、余弦和正切都叫做∠A的三角函数．

范例1：

（温州中考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是（　D　）

A.

　　　　　B.

　　　　　C.

　　　　　D.

仿例1：

在直角三角形ABC中，∠C＝90°，tanA＝

，那么sinB＝

．

仿例2：

如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DE＝6cm，sinA＝

，则菱形ABCD的面积是__60__cm2.

（仿例2题图）

（变例1题图）

变例1：

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝

，则tanB的值为

．

学习笔记：

由三角函数定义可知：

正切、正弦、余弦的定义是在直角三角形中相对其锐角而定义的，它们实质上是两条线段的长度之比，它只是一个数值而没有单位，其大小与角的大小有关，而与三角形的三条边长无关．

行为提示：

积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听，做每步运算都要有理有据，避免知识上的混淆及符号等错误．　　变例2：

等腰三角形腰长为6cm，底边长为10cm，则底角的正切值为

．

阅读教材P5～P6，完成下面的内容：

范例2：

（乐山中考）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（　D　）

A.

　　　　　B.

　　　　　C.

　　　　　D.

（范例2题图））　　　　

（仿例1题图））

仿例1：

如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（　D　）

A.

B.

C.

D.

仿例2：

（常州中考）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx＋b与x轴交于点A，与y轴交于点B，且过点P（1，1），tan∠ABO＝3，那么点A的坐标是（－2，0）或（4，0）．

仿例3：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝

，则斜边上的高等于

．

交流展示　生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一　正弦和余弦的概念

知识模块二　锐角三角函数的应用

检测反馈　达成目标

【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．

课后反思　查漏补缺

1．收获：

________________________________________________________________________

2．存在困惑：

________________________________________________________________________

课题：

30°，45°，60°角的三角函数值

【学习目标】

1．能推导并熟记30°，45°，60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数．

2．能熟练计算含有30°，45°，60°角的三角函数的运算式．

【学习重点】

熟记30°，45°，60°角的三角函数值，并熟练进行计算．

【学习难点】

理解30°，45°，60°角的三角函数值推导过程，从而牢记三角函数值．

行为提示：

点燃激情，引发学生思考本节课学什么．

行为提示：

教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．

方法指导：

结合三角函数值随角的变化规律，记准特殊角的三角函数值．情景导入　生成问题

旧知回顾：

1．锐角A的三角函数有哪几种？

如何表示？

答：

将锐角A的正弦、余弦、正切统称为∠A的三角函数．

sinA＝

　cosA＝

　tanA＝

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝

，则sinA＝

，cosA＝

．自学互研　生成能力

知识模块一　30°，45°，60°角的三角函数值

阅读教材P8～P9，完成下面的内容：

1．如何得30°，45°，60°角的三角函数值？

答：

观察一副直角三角板，如图

（1），

设BC＝1，则AB＝2，AC＝

，由此可得30°，60°角的三角函数值．如图

（2），设AC＝BC＝1，则AB＝

，由此可得45°角的三角函数值．

2．填写下表，并归纳锐角三角函数值随角度变化规律.

　　　　角度

三角函数　　　

30°

45°

60°

sinα

cosα

tanα

1

　　锐角的正弦、正切值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小．

范例1：

cos60°的相反数是（　C　）

A.

　　　　　　　B.

　　　　　　　C．－

　　　　　　　D．－

仿例1：

在△ABC中，若

＋

＝0，则∠C度数是（　D　）

A．30°B．45°C．60°D．90°

仿例2：

若α为锐角，且3tan（90°－α）＝

，则α为（　C　）

A．30°B．45°C．60°D．75°

学习笔记：

记准特殊角的三角函数值．

锐角A正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小．另外，一个锐角的正弦等于它余角的余弦，互余两角正切值互为倒数可适当学习．

行为提示：

找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．　　仿例3：

在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，

＝

，cosA＝

，则△ABC三个角的大小关系是（　D　）

A．∠C>∠A>∠B　　　　　　　B．∠B>∠C>∠A

C．∠A>∠B>∠CD．∠C>∠B>∠A

仿例4：

计算：

（1）sin260°＋cos260°－tan45°；

（2）cos230°·tan30°－tan45°·cos45°.

解：

（1）原式＝0；

（2）原式＝

.

知识模块二　30°，45°，60°角的三角函数值的应用

阅读教材P8～P9，完成下面的内容：

范例2：

（邵阳中考）如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2000m，则他实际上升了1000m.

仿例1：

身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放飞线长分别为30m，25m和20m，线与地面所成的角度分别为30°，45°和60°，假设风筝线是拉直的，三人所放风筝（　B　）

A．甲的最高　　　B．乙的最高　　　C．丙的最高　　　D．丙的最低

仿例2：

如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB＝AC，若过点C作CD⊥AB于D，则∠BCD＝15°，根据此图计算tan15°＝2－

．

仿例3：

（龙东中考）△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠BAC＝30°，则△ABC的面积为2

＋

或2

－

．

交流展示　生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一　30°，45°，60°角的三角函数值

知识模块二　30°，45°，60°角的三角函数值的应用

检测反馈　达成目标

【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．

课后反思　查漏补缺

1．收获：

________________________________________________________________________

2．存在困惑：

________________________________________________________________________

课题：

三角函数的计算

【学习目标】

1．学习任意锐角三角函数值的求法，并能够结合实例进行相关计算．

2．运用计算器求出任意锐角的三角函数值，并能用给定的三角函数值求出相应的度数．

【学习重点】

运用计算器求出任意锐角的三角函数值或由已知三角函数值求出相应的度数．

【学习难点】

领会锐角度数及其相应三角函数值大小变化规律．

行为提示：

创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．

行为提示：

认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．情景导入　生成问题

旧知回顾：

1．填表.

　　　　角度

三角函数　　　

30°

45°

60

sinα

cosα

tanα

1

2．如图，BC＝3m，从B点望旗杆顶端A的视角为65°，怎样求旗杆AC的长呢？

学习本节课，将帮助你解答这个问题．

自学互研　生成能力

阅读教材P12～P13，完成下面的内容：

锐角A为特殊角，可求得三角函数值．

如果锐角不是特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？

答：

利用计算器可求一般角的三角函数值．

范例1：

用计算器计算sin24°的值，以下按键顺序正确的（　A　）

A.

　　　　　　B.

C.

D.

仿例1：

sin65°，cos65°，tan65°的大小关系是（　D　）

A．tan65°

C．cos65°

仿例2：

下列四个计算结果中最大的是（　D　）

A．sin48°＋cos48°B．sin48°＋tan48°

C．cos48°＋tan48°D．tan48°＋

学习笔记：

熟记用计算器计算三角函数的步骤，对结果精确程度要求准确．

行为提示：

在群学后期，教师可有意安排每组的展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．有展示，有补充、有质疑、有评价穿插其中．

仿例3：

用计算器求锐角三角函数值（精确到0.001）：

（1）tan55°≈1.428；　　　　　　

（2）cos35°≈0.819．

（3）sin50°26′18″≈0.771；　　　　（4）tan15°15′≈0.273．

仿例4：

如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3m，引桥的坡角∠ABC为15°，则引桥的水平距离BC的长是11.2m.（精确到0.1m）

阅读教材P13～P14，完成下面的内容：

范例2：

根据下列条件，求锐角度数．

（1）若sinα＝0.6785，则∠α＝42°43′36″；

（2）若cosα＝

，则∠α＝54°44′8″；

（3）若tanα＝35.6，则∠α＝88°23′28″．

仿例1：

比较锐角α，β大小：

已知sinα＝0.47，tanβ＝52.3，则α__<__β.

仿例2：

用“<”连接下列各题中的锐角α，β，γ.

（1）若sinα＝0.123，sinβ＝0.8456，sinγ＝0.5678，则α，β，γ的大小关系为α<γ<β；

（2）若cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024，则α，β，γ的大小关系为β<γ<α.

仿例3：

已知tanα＝

，则锐角α的取值范围是（　B　）

A．0°<α<30°　　　　　　　　B．30°<α<45°

C．45°<α<60°D．60°<α<90°

交流展示　生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一　用科学计算器求锐角三角函数值

知识模块二　用科学计算器求锐角的度数

检测反馈　达成目标

【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．

课后反思　查漏补缺

1．收获：

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2．存在困惑：

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课题：

解直角三角形

【学习目标】

1．理解解直角三角形的定义，能通过已知条件正确选用关系式解直角三角形．

2．熟练应用勾股定理，直角三角形两锐角关系，边角关系解直角三角形，培养分析能力和计算能力．

【学习重点】

学会运用已知条件解直角三角形．

【学习难点】

根据条件选择适当的方法解直角三角形．

行为提示：

点燃激情，引发学生思考本节课学什么．

行为提示：

认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．

知识链接：

解直角三角形，就是已知直角三角形除直角五个元素中的两个元素（其中必须有一个是边），求出另三个元素的过程．

情景导入　生成问题

旧知回顾：

1．直角三角形三边之间有什么关系？

答：

勾股定理：

a2＋b2＝c2.

2．直角三角形两锐角之间有何关系？

答：

互余：

∠A＋∠B＝90°.

3．直角三角形边与角之间有何关系？

答：

锐角三角函数sinA＝

，cosA＝

，tanA＝

.

自学互研　生成能力

阅读教材P16～P17，完成下面的内容：

1．什么叫解直角三角形？

答：

由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．

2．解直角三角形一般有哪些类型？

答：

①已知两边解直角三角形；②已知一边和一锐角解直角三角形．

范例1：

在Rt△ABC中，∠C＝90°.

（1）若c＝6

，a＝6，则b＝6，∠B＝45°，∠A＝45°；

（2）若a＝3，b＝

，则∠A＝60°，∠B＝30°，c＝2

．

仿例1：

（连云港中考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝

，AC＝

，则∠A的度数为（　D　）

A．90°　　　　　B．60°　　　　　C．45°　　　　　D．30°

仿例2：

如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tanC等于（　B　）

A.

B.

C.

D.

仿例3：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝4

，解这个直角三角形．

解：

∵tanA＝

＝

＝

，∴∠A＝60°，∠B＝30°，AB＝2AC＝8

.

方法指导：

解直角三角形时，关键要正确地选用锐角三角函数，否则会出现计算困难，甚至无法计算．

学习笔记：

在运用锐角三角函数解题时，必须首先建立直角三角形，原题中没有直角三角形时，一般作垂线段，构造直角三角形求解．

行为提示：

找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决.

阅读教材P16～P17，完成下面的内容：

范例2：

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝

，则BC的长为（　A　）

A．4　　　　　B．2

　　　　　C.

　　　　　D.

仿例1：

如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，且CD＝2，DE＝1，则BC的长为（　B　）

A．2B.

C．2

D．4

（仿例1题图））　　　　　

（仿例2题图））

仿例2：

如图，在△ABC中，cosB＝

，sinC＝

，AC＝5，则△ABC的面积是（　A　）

A.

B．12C．14D．21

仿例3：

等边三角形的高为2，则它的边长是（　C　）

A．4B.

C.

D．2

交流展示　生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一　已知两边解直角三角形

知识模块二　已知一边和一锐角解直角三角形

检测反馈　达成目标

【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．

课后反思　查漏补缺

1．收获：

________________________________________________________________________

2．存在困惑：

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